Universitetet i Agder Fakultetet for teknologi og realfag Institutt for matematiske fag. Eksamen MA desember Lykke til!

Transkript

1 Universitetet i Agder Fakultetet for teknologi og realfag Institutt for matematiske fag Eksamen Emnekode: Emnenavn: MA-2 Lineær algebra Dato: Varighet:. desember Antall sider: Tillatte hjelpemidler: Kun skrivesaker Merknader: Alle deloppgavene teller likt. Oppgave Lykke til! a) Finn determinanten til matrisa A = 2 2 ved å utvikle langs første rad. utvikle langs andre kolonne. b) Avgjør om matrisa 2 B [ 5 er inversen til A. c) Hva menes med lineær uavhengighet i et vektorrom? La som vanlig P2 være vektorrommet av alle polynomer på formen a + bx + cx2 hvor a, b, c er reelle tall. d) Avgjør om vektorene i de to følgende delmengdene av henholdsvis R4 og IP2 er uavhengige:

2 2 i) { ii) { + 2t, 2 + t2, 4 4t + t2} e) Gitt identitetsmatrisa 2 = og la A være matrisa som ' framkommer ved å bytte de to radene i 2. Er det mulig å omforme 2 til A ved bare å bruke radoperasjonen "å legge et multiplum av den ene raden til den andre"? Oppgave 2 A og vektoren b, og la a være et reelt tall. Definer 2 A= 2 a+ 7,b= [7 a a) For hvilke verdier av a er matrisa A invertibel? b) Finn de verdiene av a som gjør at matriselikningen Ax = b har: uendelig mange løsninger. en løsning. ingen løsning. c) For hvilke verdier av a har matriselikningen Ax = c løsning for alle vektorer c E R? d) Hva menes med at en lineær transformasjon T : Rn Rrn er onto Rm? T : R --4 R ved Tx = Ax. e) For hvilke verdier av a er T onto R? Oppgave La V være et vektorrom. Hva vil det si at en delmengde U av V er et underrom av V? Gitt mengdene M = Alle vektorer [ ab hvor a > og b <. M2 = Alle matriser på formen [a b hvor a, b er reelle tall. Er M underrom av vektorrommet R2? Er M2 underrom av vektorrommet M2x2 av alle 2 X 2 matriser?

3 Definer en avbildning T : P2 ved at T(a bx ex2) =[ bl 2c Vis at T er en lineær transformasjon. Finn matriserepresentasjonen M til T med hensyn på basisen B = {, x, x2} for P2 og standardbasisen for R. Avgjør om T er -. Oppgave 4 Forklar hva det vil si at en kvadratisk matrise er ortogonaltdiagonaliserbar. 5 A =[ 5 Forklar hvorfor A ortogonalt-diagonaliserbar. Ortogonal-diagonaliser A. Skisser grafen til de punktene (x, y) E JR2som oppfyller likningen 5x2 6xy 5y2 = 2. Oppgave 5 A = Finn en basis for kolonnerommet Col(A) til A. Bestem dimensjonen til nullrommet og dimensjonen til radrommet til A. Finn en ortogonal basis for Col(A) Trond A. Abrahamsen Vegard Lima

4 NYi.foRsK Universitetet i Agder Fakultetet for teknologi og realfag Institutt for matematiske fag Eksamen Emnekode: MA-2 Emnenamn: Lineær algebra Dato:. desember 2 Lengde: Talet på sider: Tillatne hjelpemiddel: Merknader: Kun skrivesakar Alle deloppgåvene tel likt. Oppgåve Lukke til! a) Finn determinanten til matrisa A = 2 2 ved å utvikle langs første rad. utvikle langs andre kolonne. b) Avgjer om matrisa 2 B = 5 er inversen til A. c) Kva meiner vi med lineær uavhengighet i eit vektorrom? La som vanlegp2vere vektorromet av alle polynom på forma a+bx+cx2 der a, b,c er reelle tal. d) Avgjer om vektorane i dei to delmengda under, av høvesvis IR4 og IP2,er uavhengige:

5 2 i) { ' ii) { + 2t, 2 + t2, 4 4t + t2} e) Gitt identitetsmatrisa 2 =, og la A vere matrisa som kjem fram ved å byte dei to radene i 2. Er det mogleg omforme 2 til A ved bare å bruke radoperasjonen "å leggje eit multiplum av den eine rada til den andre"? Oppgåve 2 A og vektoren b, og la a vere eit reelt tal. 2 A= [2 a+ 7,b= [7. a a) Kva for verdiar av a gjer matrisa A invertibel? b) Finn dei verdiane av a som gjer at matriselikninga Ax = b har: uendeleg mange løysingar. ei løysing. inga løysing. c) Kva for verdiar av a gjer at matriselikninga Ax = c har løysing for alle vektorar c E R? d) Hva meiner vi med at en lineær transformasjon T Rrn er onto Rm? Definer T : P R ved Tx = Ax. e) Kva for verdiar av a gjer at T er onto R? Oppgåve La V vere eit vektorrom. Kva vil det seie at ei delmengde U av V er eit underrom av V? Gitt mengdene M = Alle vektorar [ ab der a > og b <. M2 [ a Alle matriser på forma der a, b er reelle tal. b Er M underrom av vektorromet R2? Er M2 underrom av vektorromet M2 x2 av alle 2 x 2 matriser?

6 Definer ei avbilding T : IP2 ved at T(a + bx -I-cx2)= [ Ob 2c i Vis at T er ein lineær transformasjon. Finn matriserepresentasjonen M til T med omsyn til basisen B = {,x, x2} for IP2og standardbasisen for R. Avgjer om T er -. Oppgåve 4 Forklar kva det vil seie at ei kvadratisk matrise er ortogonaltdiagonaliserbar. [ 5 - A= [ 5 i Forklar kvifor A ortogonalt-diagonaliserbar. Ortogonal-diagonaliser A. Skisser grafen til dei punkta (x, y) E R2 som oppfyller likninga 5x2 6xy + 5y2 = 2. Oppgåve 5 A= Finn ein basis for kolonneromet Col(A) til A. Finn dimensjonen til nullromet og dimensjonen til radromet til A. Finn ein ortogonal basis for Col(A). Trond A. Abrahamsen Vegard Lima