MAT-1004 Vårsemester 2017 Prøveeksamen

Transkript

1 MAT-1004 Vårsemester 017 Prøveeksamen Contents 0.1 Forord OPPGAVE OPPGAVE OPPGAVE 6 4 OPPGAVE 7 5 OPPGAVE 10 6 OPPGAVE 11 7 OPPGAVE 11 8 OPPGAVE 1 9 Formatering av svarene Rasjonale tall Matriser og vektorer Tupler Forord 1. Oppgavene nedenfor dekker nesten alle typer av oppgaver, som kan gis på eksamen. Prøveeksamenen er stor: den inneholder 4 deloppgaver (1abc, abcdefghijk, abcd, 4abcdefg, 5abc, 6, 7, 8abcd), noen delt opp i enda mindre deloppgaver. Tilsvarende deloppgaver på eksamen vil bli lettere beregningsmessig. Betrakt derfor denne prøveeksamenen som en tredobbel eksamen. 1

2 . En oppgave om komplekse matriser kan bli inkludert i eksamenen. Oppgave 8 er et typisk eksempel av en slik oppgave. Den ligner oppgave 4 fra eksamenen , men er litt vanskeligere. 1 OPPGAVE Vi ser på et lineært system Ax = b, der: A = b = 1 6a a a + a a + 1 a., a) Finn determinanten det A. Resultatet er et polynom det A = k 0 + k 1 a + k a. Du oppgir radvektoren [k 0, k 1, k ] i feltet 1a. b) For hvilke a R er systemet konsistent (dvs. at det har løsninger)? Svaret skal være på formen a s, der s er et rasjonalt tall. Du oppgir tallet s i feltet 1b. c) For hvilke a R har systemet uendelig mange løsninger? Svaret skal være på formen a = t, der t er et rasjonalt tall. Du oppgir tallet t i feltet 1c. Hint: se eksamensoppgaver , , og , samt Exercise 1.9, 1.07 og.8. OPPGAVE En del av oppgaven nedenfor er knyttet til Ch. 6 Inner Product Spaces. Vi betrakter vektorer fra R 5 både som kolonnevektorer og radvektorer. Gitt matrisen A =

3 Betrakt systemet Ax = b der x 1 x x = x x 4, b = x 5 Lag en utvidet matrise [ A b ], og bruk Gauss-Jordan for å få en annen matrise [ ] A b slik at A har en redusert trappeform (reduced row echelon form). Denne siste matrisen skal hjelpe deg til å løse alle deloppgaver nedenfor. Merknad. Istedenfor kolonnen b 1 b = b b b 4 b 1 b b b 4. i den utvidede matrisen [ A b ], kan du bruke en 4 4 identitetsmatrise. a) Finn en basis G = (g 1, g,..., g s ) for radrommet (the row space) row (A). Svaret skal gis i formen av et s-tuppel av radvektorer (som i Seksjon 9.). b) Gitt vektoren u = [ ] row (A). Finn koordinatvektoren [u] G til u mht basisen G du fant i deloppgave 1a. Svaret skal gis i formen av en kolonnevektor (som i Seksjon 9.) (u 1 ; u ;...; u s ) der u = u 1 g 1 + u g u s g s. Hint: hvis du skriver likningen u = u 1 g 1 + u g u s g s koordinatvis, får du et system med 5 likninger og s variabler. Du trenger ikke å bruke Gauss- Jordan på nytt for å løse systemet. Hvis du fikk basisen G ved hjelp av Gauss- Jordan, er den allerede god nok til å løse systemet med én gang. c) Finn en ortogonal basis for G = (g 1, g,..., g s) for radrommet (the row space) row (A). Svaret skal gis i formen av et s-tuppel av radvektorer.

4 la Hint: bruk Gram-Schmidt. d) For en vilkårlig kolonnevektor x = x 1 x x x 4 x 5 R5, T (x) = proj row(a) (x) være projeksjonen til vektoren x på underrommet row (A) (orthogonal projection of x on row (A)). T er en lineær operator T : R 5 R 5, derfor beskrives den som en matriseoperator T (x) = Bx, der B er en 5 5 matrise. Du oppgir matrisen B i svaret. Hint: se Oblig 6, oppgave 1f. e) Finn en basis J = (j 1, j,..., j u ) for nullrommet (the null space) Null (A). Svaret skal gis i formen av et u-tuppel av kolonnevektorer (som i Seksjon 9.). f) Gitt vektoren w = Null (A). Finn koordinatvektoren [w] J til w mht basisen J du fant i deloppgave 1e. Svaret skal gis i formen av en kolonnevektor (som i Seksjon 9.) w 1 w... w u der w = w 1 j 1 + w j w u j u. 4

5 Hint: hvis du skriver likningen w = w 1 j 1 + w j w u j u koordinatvis, får du et system med 5 likninger og u variabler. Du trenger ikke å bruke Gauss- Jordan på nytt for å løse systemet. Hvis du fikk basisen J ved hjelp av Gauss- Jordan, er den allerede god nok til å løse systemet med én gang. g) Finn en ortogonal basis J = (j 1, j,..., j v) for det ortogonale komplementet row (A) til radrommet (the orthogonal complement of the row space). Svaret skal gis i formen av et v-tuppel av kolonnevektorer. Hint: se Oblig 6, Oppgave 1b. h) For en vilkårlig kolonnevektor x = x 1 x x x 4 x 5 R5, la S (x) = proj row(a) (x) være projeksjonen til vektoren x på underrommet row (A) (orthogonal projection of x on row (A) ). S er en lineær operator S : R 5 R 5, derfor beskrives den som en matriseoperator S (x) = Mx, der M er en 5 5 matrise. Du oppgir matrisen M i svaret. i) Finn betingelsen for b for at systemet Ax = b er konsistent, dvs. har minst én løsning x. Betingelsen skal oppgis som en radvektor av lengde 4. k 1 b 1 + k b + k b + k 4 b 4 = 0, k i R, [k 1, k, k, k 4 ] Hint: se på den siste linjen i den utvidede matrisen [ A b ]. 5

6 j) Finn en basis H = (h 1, h,..., h t ) for kolonnerommet (the column space) col (A). Svaret skal gis i formen av et t-tuppel av kolonnevektorer (som i Seksjon 9.). k) Gitt vektoren v = col (A). Finn koordinatvektoren [v] H til v mht basisen H du fant i deloppgave 1d. Svaret skal gis i formen av en kolonnevektor (som i Seksjon 9.) v 1 v... v t der v = v 1 h 1 + v h v t h t. OPPGAVE Gitt tre vektorer u = 1 1, v = 1, w = i R. Operatoren er gitt ved formelen T : R R T (x) = u (v x) der x R, og er kryssproduktet (the cross product). For eksempel, hvis x = 1, er T (x) = = =

7 a) Finn matrisen [T ] E til operatoren T med hensyn til standardbasisen E = (i, j, k) = 0 0, 1 0, 0 1 (the matrix for T relative to the base E). Svaret skal oppgis som en matrise. b) Finn en basis for kjernen (the kernel) ker T. Svaret skal gis som et s-tuppel av kolonnevektorer. c) Finn en basis for bildet (the range) R (T ). Svaret skal gis som et t-tuppel av kolonnevektorer. d) Finn en vektor x som tilfredsstiller likningen T (x) = w. Svaret skal gis som en kolonnevektor. 4 OPPGAVE La W M være mengden av antisymmetriske (X T = X) matriser. For eksempel, matrisen er antisymmetrisk fordi mens T = er ikke antisymmetrisk fordi 1 0 T 0 = = W er et underrom i Mat av dimensjon og har en basis G = (g 1, g, g ) = , 0 0 1, , 7

8 (du behøver ikke å sjekke at W er et underrom, eller at G er en basis for W ). La V = P være rommet av polynomer av grad med standardbasisen Gitt også matrisen La E = ( 1, x, x, x ). B = U : V W være en lineær transformasjon gitt ved formelen. U (f) = f (B) f (B) T. (du behøver ikke å sjekke at U er lineær). For eksempel, hvis er f = + x x x, f (B) = I + B B B = 1 = og = U (f) = (f (B)) (f (B)) T = 11 1 = = T = = = a) Finn matrisen [U] G E (i læreboken betegnes som [U] G,E ) til transformasjonen U mht basisene E og G. Svaret skal gis som i Seksjon 9.. b) Finn en basis for kjernen (the kernel) til U. Det påminnes om at ker U = {v V U (v) = 0}. 8

9 Svaret skal gis som et s-tuppel (Seksjon 9.) av kolonnevektorer som tilsvarer polynomer på følgende måte: a 0 a 0 + a 1 x + a x + a x a 1 a. a c) Finn en basis for bildet (the range) R (U) til U. Det påminnes om at R (U) = {U (v) v V }. Svaret skal gis som et t-tuppel (se Seksjon 9.) av matriser. d) Finn et polynom f slik at U (f) = Svaret skal gis som en kolonnevektor a 0 a 1 a, a som tilsvarer polynomet. f = a 0 + a 1 x + a x + a x. e) La oss betrakte en annen basis G for W : G = (g 1, g, g ) = , , Finn overgangsmatrisene (the transition matrices) P G G og P G G (i læreboken betegnes de som P G G og P G G ). f) La oss betrakte en annen basis E for V : E = ( 1, 1 + x, x, x + x ). Finn overgangsmatrisene (the transition matrices) P E E og P E E (i læreboken betegnes som P E E og P E E ). g) Finn matrisene til U mht diverse basispar: [U] G E, [U] G E, og [U] G E. Hint: bruk Teorem 11.7 og Korollar 11.9 på s. 96 i Kompendium. 9

10 5 OPPGAVE Gitt matrisen A = a) Finn det karakteristiske polynomet p (λ) til matrisen A. Hvis p (λ) = a 0 + a 1 λ + a λ + a λ, skal svaret gis som en radvektor [ a0 a 1 a a ]. Merknad. Polynomet skal beregnes som i læreboka, dvs. p (λ) = det (λi A). Det er tillatt å bruke metoden som var gitt på forelesningene, men husk å sette minus foran (fordi er et odde tall): p (λ) = det (λi A) = det (A λi). Du kan også bruke formlene fra Teorem 1.19 på s. 105 i Kompendium. b) Finn en invertibel matrise P slik at P 1 AP = D der D er en diagonalmatrise med voksende diagonalelementene: λ D = 0 λ 0, λ 1 λ λ. 0 0 λ Både D og P skal oppgis i svaret. Hint: for å finne egenverdiene, bruk Ex c) Finn formelen for A m der m er et vilkårlig helt tall. Formelen skal se ut som A m = b m B + c m C, der b og c er rasjonale tall, b < c, mens B og C er konstante (dvs. som ikke avhenger av m) matriser. Hint: A m = ( P DP 1) m = P D m P 1. 10

11 6 OPPGAVE Gitt matrisen F = Det karakteristiske polynomet q (λ) til matrisen F er lik q (λ) = λ 9λ 9λ + 81 = (λ + ) (λ ) (λ 9). Matrisen F er ortogonalt diagonaliserbar (hvorfor?). Finn en ortogonal matrise Q slik at 0 0 Q 1 F Q = Q T F Q = OPPGAVE Gitt matrisen. a b d A = c e = [ ] k 1 k k 1 f som inneholder 6 ukjente elementer a, b, c, d, e, f. Det er kjent at A er ortogonal, og at a > 0, b < 0, d < 0. Finn a, b, c, d, e, f (de er rasjonale tall), og oppgi den resulterende matrisen A i svaret. Hint: for å finne a, bruk betingelsen at kolonnen k 1 har lengden 1 ( k 1 = 1) og at a > 0. For å finne b og c, bruk betingelsene k = 1, k 1 k, b < 0. For å finne d, e og f, bruk betingelsene k = 1, k k 1, k k, d < 0. Se oppgave 7.17 fra læreboken og eksamensoppgave b. 11

12 8 OPPGAVE a) Gitt den komplekse matrisen [ + (5a + 11) i ( + i) z A = 1 5i 1 der a R, og z = b + ci C. Finn for hvilke verdier av a, b, c er A Hermitsk (A = A). Du oppgir radvektoren [a, b, c] i svaret. b) Gitt den komplekse matrisen [ 7a i ( 5i) z B = 4i 6i der a R, og z = b + ci C. Finn for hvilke verdier av a, b, c er B anti-hermitsk (B = B). Du oppgir radvektoren [a, b, c] i svaret. c) Gitt den komplekse matrisen [ a 14 C = 17 i z i der a R, a > 0, og z = b + ci C. Finn for hvilke verdier av a, b, c er C unitær (C C = I). Du oppgir radvektoren [a, b, c] i svaret. 17 i ], ], ], Hint: betrakt de to kolonnene som C består av: C = [ k 1 k ]. Bruk Th (d) fra læreboka. Betingelsen k 1 = 1 gir to mulige verdier til a. Velg a > 0. Betingelsen gir verdien til z. k 1 k = 0 d) Gitt den komplekse matrisen [ 1 i z D = 4 + i i der z = b + ci C. Finn for hvilke verdier av b, c er D normal (D D = DD ). Du oppgir radvektoren [b, c] i svaret. ], 1

13 9 Formatering av svarene 9.1 Rasjonale tall Alle tall i svarene er enten hele eller rasjonale. Hele tall skal skrives på vanlig måte som 10, 0, - osv. Rasjonale tall skal skrives slik: -/ for, 45/17 for Merknad. Tall på formen 7 11 eller 17 er ikke tillatt. Skriv -/ eller 45/17 i stedet. 9. Matriser og vektorer De settes i kvadratiske parenteser. Radene (rows) er separert med semikoloner ; mens elementene i radene er separert med kommaer, for eksempel matrisen skal skrives som [1,,-/11,4;0,-5/4,5,0;11/5,,1/,], radvektoren (the row vector) [ ] skal skrives som [1,,-/11,4], og kolonnevektoren (the column vector) skal skrives som [1;0;11/5]. Legg merke til semikoloner istedenfor kommaer! Tupler Tuplene settes i runde parenteser. Leddene separeres med kommaer. For eksempel, hvis en basis G for R 5 består av kolonnevektorer G = (g 1, g, g, g 4, g 5 ) = 4, 7 8 9, 1 1 0, 1 1 1, ,

14 er G et 5-tuppel, og skal skrives ned som ([1; ; ; 4; 5], [6; 7; 8; 9; 0], [11; 1; 1; 0; 0], [1; 1; 1; 1; 1], [17; 18; 19; 0; 0]) Merknad 9.1 Legg merke til at leddene i kolonnevektorene er separert med semikoloner, mens leddene i 5-tuppelet er separert med kommaer. 14