A 2 = PDP 1 PDP 1 = PD 2 P 1. og ved induksjon får vi. A k = PD k P 1. Kommentarer:

Transkript

1 5.3 Diagonalisering Det ville være fint om en matrise A var similær med en diagonalmatrise D: da har vi funnet egenverdiene, og kan f.eks. lett beregne A k. Når er dette tilfelle? Det er tema i denne seksjonen. En viktig anvendelse er å dekople dynamiske systemer; differensiallikninger eller differenslikninger. Dette ser vi på i seksjon 5.6 og / 14

2 Anta at P 1 AP = D der P er invertibel og D er en diagonalmatrise. Da er altså A og D similære og egenverdiene til A må være diagonalelementene til D. Hvordan finne A k på en smart måte: har A = PDP 1 og derfor og ved induksjon får vi A 2 = PDP 1 PDP 1 = PD 2 P 1 A k = PD k P 1. Kommentarer: Hvis D = diag (λ 1, λ 2,..., λ n ), så blir D k = diag (λ k 1, λk 2,..., λk n). Så lett å beregne A k ut fra dette. En annen gevinst av denne utregningen: vi ser at A k og D k er similære. Så egenverdiene til A k er λ k i der λ i (i n) er egenverdiene til A. 2 / 14

3 Definisjon. Vi sier at en kvadratisk matrise A er diagonaliserbar dersom A = PDP 1 for en invertibel matrise P og en diagonalmatrise D. TEOREM 5 En n n-matrise A er diagonaliserbar hvis og bare hvis den har n lineært uavhengige egenvektorer. Dersom A = PDP 1, der P er invertibel og D diagonalmatrise, så er kolonnevektorene til P n lineært uavhengige egenvektorer for A. Bevis: A = PDP 1 er ekvivalent med AP = PD. Og dette betyr at Ax j = λ j x j der x j er j te kolonne i P og D = diag (λ 1, λ 2,..., λ n ). Resultatet følger direkte fra dette. 3 / 14

4 Følgende matrise kan ikke diagonaliseres: [ ] 0 1 A = 0 0 Sjekk dette på to ulike måter! Teorem 5 leder til en metode for å diagonalisere en matrise (dvs. finne P og D som over). Metoden er egnet for håndregning på svært små matriser, eller hvis matrisen har en passende enkel struktur. 4 / 14

5 Minimetode for diagonalisering av en matrise A: 1. Finn egenverdiene til A: bestem røttene til det karakteristiske polynomet p A. 2. Finn for hver egenverdi en tilhørende egenvektor: løs det tilhørende lineære likningssystemet (finn alle løsninger). Velg ut, om mulig, n lineært uavhengige slike egenvektorer. 3. La P være matrisen med disse egenvektorene som kolonner, og la D være diagonalmatrisen med egenverdiene på diagonalen. Eks. Talleksempel på tavle. Deretter: forandre a 33 til 2. A = / 14

6 TEOREM 6: Hvis en n n-matrise A har n distinkte egenverdier, så er A diagonaliserbar. Bevis: Følger direkte fra Teorem 2: egenvektorer som svarer til distinkte egenverdier er lin.uavh.; bruk så Teorem 5. Eks. A triangulær med distinkte diagonalelementer, f.eks. A = π / 14

7 Hva skjer når A har færre enn n distinkte egenverdier? Svaret er i følgende teorem, som vi gir uten bevis. TEOREM 7: La A være en n n matrise med distinkte egenverdier λ 1, λ 2,..., λ p. 1. For k p er dimensjonen til egenrommet for λ k mindre enn eller lik multiplisiteten til egenverdien λ k. (Vi sier: geometrisk multiplisitet er mindre enn eller lik algebraisk multiplisitet.) 2. A er diagonaliserbar hvis og bare hvis summen av dimensjonene til de distinkte egenrommene er lik n, og dette skjer hvis og bare hvis geometrisk og algebraisk multiplisitet er den samme for hver egenverdi. 3. Hvis A er diagonaliserbar og B k er en basis for egenrommet for λ k (k p), så er k B k en egenvektor basis for IR n. 7 / 14

8 Kan ut fra Teorem 7 utvide minimetoden til å diagonalisere (små) matriser. Hvis f.eks. en egenverdi λ har algebraisk multiplisitet 2, så må vi bestemme det tilhørende egenrommet og finne 2 lineært uavhengige basisvektorer for dette. Hvis dimensjonen er 1, så vet vi fra teoremet at A ikke er diagonaliserbar. Betrakt matrisen A = [ A er ikke diagonaliserbar! Fordi: Skriv ut Ax = λx; gir at eneste egenverdi er λ = 1 med alg.mult. 2, og tilhørende egenrom Span {e 1 }. Så A har ikke to lin. uavh. egenvektorer. ] 8 / 14

9 5.4 Egenvektorer og lineære avbildninger Målet her er å forstå sammenhengen mellom diagonalisering av en matrise og egenskaper ved den tilhørende lineær avbildningen. Husk: Enhver lineær avbildning T kan representeres ved en matrise straks vi har valgt en basis for hvert vektorrom. T svarer da til matrisemultiplikasjon. 9 / 14

10 Matrisen til en lineær avbildning La V og W være vektorrom av dimensjon hhv. n og m, og la hhv. B = {b 1, b 2,..., b n } og C = {c 1, c 2,..., c m } være ordnede basiser for disse to rommene. For hver x V har vi koordinatvektoren [x] B IR n, si [x] B = (r 1, r 2,..., r n ). Så x = n j=1 r jb j. Har nå: [T (x)] C = [T ( n j=1 r jb j )] C = [ n j=1 r jt (b j )] C = n j=1 r j[t (b j )] C = M[x] B. der M er matrisen for T relativt til basisene B og C: M = [ [T (b 1 )] C [T (b 2 )] C [T (b n )] C ] IR m n. 10 / 14

11 Lineær avbildninger fra V til V Anta nå at W = V og C = B. Da kalles matrisen M for matrisen for T relativt til B, eller bare B-matrisen for T. Den betegnes med [T ] B. Denne matrisen avhenger naturligvis av valg av basis B. Skal nå se en viktig situasjon der B-matrisen blir spesielt enkel! Lineære avbildninger på IR n TEOREM 8: (Diagonal matrise repr.) La A = PDP 1 der D er en diagonalmatrise og P er invertibel. La B være den ordnede basisen bestående av kolonnene i P. Da er D lik B-matrisen for lineær avbildningen T : x Ax. Her er kolonnene i P egenvektorer for A og diagonalelementene i D er tilhørende egenverdier. Vi ser nærmere på beviset for å komme inn i det som foregår her! Se nøye på hvert skritt! 11 / 14

12 Bevis: La b 1, b 2,..., b n være kolonnene i matrisen P; dette må være en basis for IR n siden P er invertibel. Da er P koordinatskiftematrisen P B som jo oppfyller P[x] B = x, [x] B = P 1 x. Betrakt den lineære avbildningen T (x) = Ax. Har da [T ] B = [ [T (b 1 )] B [T (b n )] B ] = [ [Ab 1 ] B [Ab n ] B ] = [ P 1 Ab 1 P 1 Ab n ] = P 1 A [ b 1 b n ] = P 1 AP = D. 12 / 14

13 Eks. Betrakt A = Da er A = PDP 1 der P = 1 2 3, P 1 = , D = Så B-matrisen for A, der B er kolonnene i P, er diagonalmatrisen D. (Her er forresten P Pascalmatrisen av orden 3; bruk Matlab kommandoen pascal(n) til å lage elementene du kjenner fra Pascal s trekant!). 13 / 14

14 Similaritet I beviset for Teorem 8 spilte det ingen rolle at D var diagonalmatrise. Så hvis A er similær med C, dvs. A = PCP 1 for en invertibel matrise P, og B er basisen som består av kolonnene i P, så er C lik B-matrisen for avbildningen x Ax. Og, omvendt, enhver B-matrise for x Ax vil være similær med A. Så matriser som er similære med A er nettopp de matrisene som er matriserepresentasjoner av den tilhørende lineær avbildningen i ulike basiser. Numerisk: Matlab demo! 14 / 14