UNIVERSITY OF OSLO. Faculty of Mathematics and Natural Sciences. Matlab-utskrift (1 side).

Transkript

1 UNIVERSITY OF OSLO Faculty of Mathematics and Natural Sciences Examination in: MAT 2 Lineær algebra Day of examination: 9. desember 2. Examination hours: This problem set consists of 6 pages. Appendices: Permitted aids: Matlab-utskrift ( side). Ingen. Please make sure that your copy of the problem set is complete before you attempt to answer anything. Løsningsforslag Problem La B = a) Finn egenverdiene til B. Er B er positiv definitt? Positiv semidefinitt? Begrunn svarene. Løsning: Finner at. det(b λi) = (4 λ)[(4 λ)( λ) 4) = (4 λ)λ(λ 5) så egenverdiene er, 4 og 5. Siden egenverdiene til B er ikkenegative, og B er opplagt symmetrisk, så er B positiv semidefinitt. Men siden er en egenverdi, er B ikke positiv definitt. b) Begrunn at B er ortogonalt diagonaliserbar og finn en ortogonal diagonalisering av B. Løsning: Siden B symmetrisk, er den ortogonalt diagonaliserbar. Finner egenrom E λ for hver egenverdi λ: λ = : løser Ax = x = og finner E = Span({(,, 2)}). λ = 4: løser Ax = 4 x og finner E 4 = Span({(,, )}). λ = 5: løser Ax = 5 x og finner E 5 = Span({(, 2, )}). (Continued on page 2.)

2 Examination in MAT 2, 9. desember 2. Page 2 La P være 3 3 matrisen med (/ 5)(,, 2), (,, ) og (/ 5)(, 2, ) som sine kolonner. Da er P en ortogonal matrise og P T BP = D der D er diagonalmatrise med diagonalelementer, 4 og 5. c) Finn den generelle løsningen av følgende system av differensiallikninger x = 4x x 2 = 4x 2 2x 3 x 3 = 2x 2 + x 3 Finn deretter alle løsninger som oppfyller x () = og x 2() = x 3(). Løsning: Systemet kan skrives som x = B x der B er som foran. Siden B er diagonaliserbar og vi har funnet egenvektorer/egenverdier er generell løsning som gir x(t) = c 2 e t + c 2 e 4t + c 3 2 e 5t x (t) = c 2 e 4t, x 2 (t) = c 2 c 3 e 5t, x 3 (t) = 2 c + c 3 e 5t der c, c 2, c 3 er vilkårlige reelle konstanter. Når x () = og x 2() = x 3() får vi c 2 = og c 3 = 5 c 3, så c 3 =. Dette gir løsningene der c er en vilkårlig reell konstant. x (t) = e 4t, x 2 (t) = c, x 3 (t) = 2 c Problem 2 La A = [ 2 2 a) Finn singulærverdiene til A. Hva er max { Ax : x =, x R 3} der betegner Euklidsk norm? Løsning: Matrisemultiplikasjon gir at A T A = B (der B er fra forrige oppgave). Da er singulærverdiene til A kvadratrøttene av egenverdiene til B som gir σ = 5, σ 2 = 2, σ 3 =. Maksimumet er lik σ = 5. b) Finn en singulærverdi dekomposisjon (SVD) for A. Løsning: A har opplagt rang 2, noe som stemmer med at den har to positive singulære verdier. (Continued on page 3.)

3 Examination in MAT 2, 9. desember 2. Page 3 La V være matrisen med v = (/ 5)(, 2, ), v 2 = (,, ) og v 3 = (/ 5)(,, 2) som sine kolonner (i den rekkefølgen); altså normaliserte egenvektorer for B = A T A. Definer Σ = [ 5 2 La u j = (/σ j ) A v j (j =, 2), som gir u = (/5)(, 5) = (, ) og u 2 = (/2)(2, ) = (, ). La U være matrisen med kolonner u og u 2. Da er A = U Σ V T en SVD for A. Problem 3 Betrakt R n med Euklidsk indreprodukt der n er et naturlig tall større enn. La u R n være en enhetsvektor, og la L være underrommet utspent av u. La y R n. Vis at den ortogonale projeksjonen proj W (y) av y ned i W = L er gitt ved proj W (y) = y (y u) u. Løsning: Siden u er en enhetsvektor som utspenner L vet vi at (y u) u er den ortogonale projeksjonen av y ned i L og at y (y u) u er da ortogonal på L, dvs at y (y u) u L = W. Dermed er y = ( y (y u) u ) + (y u) u = w + z der w = y (y u) u W og z = (y u) u L. Videre har vi at L W : for hvis a L, så er a b = for alle b W (siden W = L ), dvs a W. (Faktisk er L = W, men det trenger vi ikke her). Altså er y = w+z der w W og z W. Nå vet vi at en slik ortogonal dekomposisjon av y er entydig, og at da er w = proj W (y). Dermed har vi vist at proj W (y) = w = y (y u) u, som ønsket. Alternativt kan man gå frem slik: lag en ortonormal basis (onb) {u, u 2,..., u n } for R n der u = u, og begrunn at {u 2,..., u n } er en onb for W = L. Vi har da at og y = (y u) u + (y u 2 ) u (y u n ) u n proj W (y) = (y u 2 ) u (y u n ) u n og det gir at proj W (y) = y (y u) u. (Continued on page 4.)

4 Examination in MAT 2, 9. desember 2. Page 4 Problem 4 La V være vektorrommet av alle reelle funksjoner på R med sine vanlige operasjoner. Definer f, f 2, f 3, f 4 V ved for alle t R. f (t) = e t, f 2 (t) = e 2t, f 3 (t) = e 3t, f 4 (t) = e 4t Sett B = {f, f 2, f 3, f 4 } og W = Span B. Vi tar det for gitt at B er en basis for W. La P 2 betegne vektorrommet av alle reelle polynomer av grad opptil 2 i en variabel x og la C være standardbasisen for P 2, dvs C = {, x, x 2 }. Vi betrakter B og C som ordnede basiser i den oppgitte rekkefølgen. La T : W P 2 være avbildningen definert ved T (f) = f() + f () x + f () 2 når f W og f, f betegner henholdsvis første og annen derivert av f. a) Sjekk at T er lineær og beregn koordinatmatrisen M til T relativt til basisene B og C. Løsning: Lineariteten er enkel å sjekke. Utregning gir at T (f ) = + x + 2 x2 T (f 2 ) = + 2 x x2, T (f 3 ) = + 3 x x2, T (f 4 ) = + 4 x x2. Dermed er M = [[T (f ) C [T (f 2 ) C [T (f 3 ) C [T (f 4 ) C = x /2 2 9/2 8 b) Begrunn at T er på P 2. Finn alle f W som er slik at T (f) = r der r(x) = (x + 2) 2. Løsning: Fra den vedlagte Matlab-utskriften kan vi lese at rref(m) = 3. 3 Denne matrisen har pivoter i alle rader, noe vi vet medfører at T M : R 4 R 3 er på R 3. Dermed er T på P 2 (jf. Notat 2).. (Continued on page 5.)

5 Examination in MAT 2, 9. desember 2. Page 5 La f W og sett v = [f B R 4. Vi har at [ T (f) C = M [f B = M v og [ (x + 2) 2 ) = [ 4 + 4x + x 2 = (4, 4, ). C C Siden koordinatiseringsavbildningen relativt til C er en isomorfi fra P 2 på R 3 vil derfor T (f) = r akkurat når M v = (4, 4, ). Skriv v = (v, v 2, v 3, v 4 ). Den vedlagte Matlab-utskriften viser at v 4 = s er en fri variabel for systemet M v = (4, 4, ) og vi ser at alle løsningene av dette systemet er på formen v v 2 v 3 v 4 = 3 s 2 + 3s 3s s der s R. Det gir at funksjonene f i W som er slik at T (f) = r er de på formen f(t) = (3 s) e t + (2 + 3s) e 2t ( + 3s) e 3t + s e 4t der s R. c) Sett D = { q, q 2, q 3 } der q (x) = 2 (x2 x), q 2 (x) = x 2, q 3 (x) = 2 (x2 + x). Betrakt P 2 som et indreproduktrom med hensyn på indreproduktet gitt ved p, q = p( )q( ) + p()q() + p()q(). Begrunn at D er en ortonormal basis for P 2 og beregn koordinatvektoren [r D når r(x) = (x + 2) 2. Løsning: Utregning gir at q, q 2 = + + =, q, q 3 = + + =, q 2, q 3 = + + =, og det viser at D er ortogonal. Videre utregning gir q, q = + + =, q 2, q 2 = + + =, q 3, q 3 = + + =, og dermed at alle tre polynomene har lengde. (Continued on page 6.)

6 Examination in MAT 2, 9. desember 2. Page 6 Dette betyr at D er ortonormal, noe som medfører at D er lineært uavhengig. Siden dim(p 2 ) = 3 og D består av 3 elementer vet vi da at D er en basis for P 2. Altså er D en ortonormal basis for P 2, og da er r = r, q q + r, q 2 q2 + r, q 3 q3. Utregning gir r, q = r( ) =, r, q2 = r() = 4, r, q3 = r() = 9. Dermed er r = q + 4 q q 3, dvs [r D = (, 4, 9). d) Beregn koordinatmatrisen N til T relativt til basisene B og D. Løsning: Det enkleste er å observere at utledningen i d) gir at [p D = ( p( ), p(), p() ) for enhver p P 2. Sett p j = T (f j ), j =,..., 4. Disse polynomene har vi beregnet i a). Matrisen N til T relativt til B og D er da gitt ved N = [[T (f ) D [T (f 2 ) D [T (f 3 ) D [T (f 4 ) D = [[p D [p 2 D [p 3 D [p 4 D = p ( ) p 2 ( ) p 3 ( ) p 4 ( ) p () p 2 () p 3 () p 4 () p () p 2 () p 3 () p 4 () = /2 5/2 5 5/2 5 7/2 3 Alternativt kan man beregne koordinatskiftematrisen P = P D C, begrunne at N = P M, og beregne N ved hjelp av denne formelen..