Eksamensoppgave MAT juni 2010 (med løsningsforslag)

Transkript

1 Eksamensoppgave MAT-4 juni (med løsningsforslag) Contents OPPGAVE OPPGAVE 4 OPPGAVE 5 4 OPPGAVE 6 5 Fasit 7 5 Oppgave 7 5 Oppgave 7 5 Oppgave 8 54 Oppgave 8 6 Løsningsforslag 9 6 Oppgave 9 6 Oppgave 6 Oppgave 64 Oppgave 4

2 Begrunn svarene dine vis fremgangsmåten ved oppgaveløsningen tydelig! OPPGAVE Gitt matrisen A a) Finn en basis til radrommet (the row space) row (A) Hva er rangen (the rank) til matrisen A? b) Finn en basis til kolonnerommet (the column space) col (A) Hva er nulliteten (the nullity) til matrisen A dvs dimensjonen til nullrommet (the nullspace) Null (A) til A? Du behøver ikke finne selve rommet bare dets dimensjon Betrakt systemet Ax b der x x x x x 4 x 5 b b b b b 4 c) Finn betingelsen på b for at systemet Ax b er konsistent dvs har minst én løsning x Betingelsen skal gis på formen k b + k b + k b + k 4 b 4 k 5 k i R for eksempel b + b b + 4b 4 5

3 d) Betrakt følgende vektorer i R 4 : c d Undersøk om systemet Ax c er konsistent Hvis svaret er ja finn deretter alle løsninger til systemet Undersøk om systemet Ax d er konsistent Hvis svaret er ja finn deretter alle løsninger til systemet

4 OPPGAVE Betrakt planet π i rommet R gitt ved likningen x + y + z a) La v R være en vilkårlig vektor med koordinatene v v v v og la T (v) være vektoren som er speil-symmetrisk til v om planet π koordinatene til vektoren T (v) uttrykt ved v v v Finn Hint: Betegn T (v) og bruk følgende to fakta om T (v): u (v+t (v)) ligger i planet π T (v) v er ortogonal til planet π w w w O v u T (v) π b) Funksjonen T beskrevet i deloppgave a) er en lineær operator T : R R (du behøver ikke å bevise at den er lineær) Finn matrisen [T E til operatoren T mht standardbasisen E c) Undersøk om matrisen [T E er ortogonal Hvis du ikke har funnet matrisen [T E forklar hvordan du vil sjekke at den er ortogonal 4

5 OPPGAVE La W M være mengden av symmetriske matriser W er et underrom i M av dimensjon og har en basis ([ [ [ ) G (g g g ) (du behøver ikke å sjekke at W er et underrom eller at G er en basis til W ) La V P være rommet av polynomer av grad med standardbasisen Gitt også matrisen La E ( x x ) B [ S : V W være en lineær transformasjon gitt ved formelen S (f) f (B) (du behøver ikke å sjekke at S er lineær) For eksempel S ( + x + x ) I + B + B [ [ + [ 8 8 [ + a) Finn matrisen [S G E til transformasjonen S mht basisene E og G b) Finn dimensjonen og en basis til kjernen (the kernel) til S Vi minner om at ker S {v V S (v) } at c) Finn dimensjonen og en basis til bildet (the range) til S Vi minner om R (S) {S (v) v V } 5

6 4 OPPGAVE Matrisen B er den samme som i forrige oppgave: [ B B a) Finn egenverdier (eigenvalues) og egenvektorer (eigenvectors) til matrisen b) Finn en invertibel matrise P slik at P BP D der D er en diagonalmatrise c) Finn formelen for B n der n er et vilkårlig heltall Hint: B n ( P DP ) n P D n P LYKKE TIL! 6

7 5 Fasit 5 Oppgave a) [ 4 4 [ [ 5 rank (A) b) Nullity 7 4 c) b + b b d) Ax c er ikke konsistent Ax d er konsistentløsningen er x 7 x x x s x t Oppgave a) T (v) v v v v + v v v v + v 7

8 b) [T E c) Ja 5 Oppgave a) [T G E b) ker T har en basis ( x + x ) c) R (T ) har en basis ([ [ ) 54 Oppgave a) λ Egenvektorer: [ α α λ Egenvektorer: b) P [ β [ β [ D c) [ ( )n + n ( )n + n ( )n + n ( )n + n 8

9 6 Løsningsforslag 6 Oppgave Hvis man utfører radoperasjoner manuelt får man: b b 4 4 b Gauss 4 b 4 b 5 b b 6 6 b b 4 b 4 b b 5 b b 5 b b + b 4 5 b + b b b 6 6 b b 4 5 b b b 4 b Jordan b 5 b b b + b b 5 b b + b b b + b 4 7 5b b b 4 5 b b + b 4 5 b + b b Man får et litt annerledes resultat hvis man setter identitetsmatrisen istedenfor kolonnen b og bruker funksjonen reduced echelon form på kalkulatoren Nedenfor setter vi både identitetsmatrisen og kolonnen b: b b 4 4 b 4 b 4 6 b b b 4 6 5b b b 4 5 b b + b 4 5 b + b b 4 4 b b + b b 5b b 4 5 b b + b b + b b a) En basis for radrommet er [ 4 4 [ [ 5 Rangen er lik 9

10 b) En basis for kolonnerommet er Nulliteten er lik c) Se på den siste linjen i resulterende trappeformmatrisen Betingelsen er b + b b d) c tilfredsstiller ikke betingelsen derfor systemet Ax c ikke er konsistent d tilfredsstiller betingelsen derfor systemet Ax d er konsistent Se på matrisen (resulterende matrisen uten kolonnene nr 6 og 7 dvs den rekkereduserte formen til systemet Ax d) Frie variablen er x s og x 5 t Løsningen er x x x x 4 x 5 7 4s + 4t + s t s 5 + 5t t s 4 + t 4 5

11 6 Oppgave a) La T (v) w w w Siden T (v) v er ortogonal til π og vektoren er også ortogonal til π er dvs Siden ligger i planet π er dvs og w w w T (v) v t v v v + t (v+t (v)) t + v t + v t + v t + v t + v t + v ((t + v ) + (t + v ) + (t + v )) T (v) t (v + v + v ) t + v t + v t + v v v v v + v v v v + v b) [T E c) Siden er matrisen ortogonal T

12 6 Oppgave a) G (g g g ) T () [ B ([ [ [ g + g [ ) [T () G T (x) [T () G [ g + g + g T () [T () G [T G E [ [ 5 4 5g g + 5g bc) Gauss Jordan En fri variabel er x Null (A) har dimensjon og en basis

13 derfor ker T har en basis ( x + x ) col (A) har dimensjon og en basis derfor R (T ) har en basis ([ [ ) 64 Oppgave 4 a) ([ λ p (λ) det λ ) λ λ (λ + ) (λ ) λ : [ Egenvektorer: [ α λ : [ Egenvektorer: [ β [ α [ β b) P P BP [ [ [ [ [ c) [ [ B n P DP n ( ) [ ( )n + n ( )n + n ( )n + n ( )n + n [ n