Basis, koordinatsystem og dimensjon

Transkript

1 Basis, koordinatsystem og dimensjon NTNU, Institutt for matematiske fag oktober 2013

2 Basis Basis for vektorrom: En endelig mengde B = {b 1, b 2,..., b n } av vektorer i et vektorrom V er en basis til V hvis vektorene i B er lineært uavhengige, og vektorene i B utspenner V, span(b) = V.

3 Basis Basis for vektorrom: En endelig mengde B = {b 1, b 2,..., b n } av vektorer i et vektorrom V er en basis til V hvis vektorene i B er lineært uavhengige, og vektorene i B utspenner V, span(b) = V. Da kan enhver vektor x i V skrives entydig på formen x = c 1 b 1 + c 2 b c n b n. Koeffisientene c 1,..., c n er koordinatene til x i basisen B = {b 1,..., b n }; vi skriver [x] B er en element i R n [x] B = [c 1...c n ] T

4 Bytte av koordinatsystem La x være en vektor i R n, x = [x 1,..., x n ] T er koordinater til x i den standarte basisen og la B = {b 1,..., b n } være en annen basis til R n, da er x = P B [x] B, hvor P B er en matrise med kolonnene b 1,..., b n, P B = [b 1.., b n ].

5 Dimensjon Teorem La S = {v 1, v 2,..., v n } være en basis for vektorrom V, hvis T = {w 1, w 2,..., w m } er en delmengde av V og m > n så er vektorene i T lineart avhengige.

6 Dimensjon Teorem La S = {v 1, v 2,..., v n } være en basis for vektorrom V, hvis T = {w 1, w 2,..., w m } er en delmengde av V og m > n så er vektorene i T lineart avhengige. Teorem To basiser for et vektorrom V har like mange vektorer.

7 Dimensjon Teorem La S = {v 1, v 2,..., v n } være en basis for vektorrom V, hvis T = {w 1, w 2,..., w m } er en delmengde av V og m > n så er vektorene i T lineart avhengige. Teorem To basiser for et vektorrom V har like mange vektorer. Antallet vektorer i en basis for V kalles dimensjonen til vektorromet V, dim(v).

8 Dimensjon Teorem La S = {v 1, v 2,..., v n } være en basis for vektorrom V, hvis T = {w 1, w 2,..., w m } er en delmengde av V og m > n så er vektorene i T lineart avhengige. Teorem To basiser for et vektorrom V har like mange vektorer. Antallet vektorer i en basis for V kalles dimensjonen til vektorromet V, dim(v). Teorem Hvis H er et underrom av V og V har en enedlig dimension så er dim(h) dim(v).

9 Basis og dimensjon Teorem La V være et n-dimensjonalt vektorrom. Hvis S = {v 1, v 2,..., v n } er en mengde med n lineært uavhengige vektorer i V, så er S en basis for V.

10 Basis og dimensjon Teorem La V være et n-dimensjonalt vektorrom. Hvis S = {v 1, v 2,..., v n } er en mengde med n lineært uavhengige vektorer i V, så er S en basis for V. Hvis S = {v 1, v 2,..., v n } er en mengde med n vektorer som utspenner V, span(s) = V, så er S en basis for V.

11 Basis og dimensjon Teorem La V være et n-dimensjonalt vektorrom. Hvis S = {v 1, v 2,..., v n } er en mengde med n lineært uavhengige vektorer i V, så er S en basis for V. Hvis S = {v 1, v 2,..., v n } er en mengde med n vektorer som utspenner V, span(s) = V, så er S en basis for V. Hvis S er lineært uavhendig, så finnes en basis for V som inneholder S

12 Basis og dimensjon Teorem La V være et n-dimensjonalt vektorrom. Hvis S = {v 1, v 2,..., v n } er en mengde med n lineært uavhengige vektorer i V, så er S en basis for V. Hvis S = {v 1, v 2,..., v n } er en mengde med n vektorer som utspenner V, span(s) = V, så er S en basis for V. Hvis S er lineært uavhendig, så finnes en basis for V som inneholder S Hvis S utspenner V så inneholder S en basis for V.

13 Dimensjonen til Null(A) and COl(A) Dimensjonen til Null(A) er lik antall frie variabler; Dimensjonen til Col(A) er lik antall ledende variabler.

14 Dimensjonen til Null(A) and COl(A) Dimensjonen til Null(A) er lik antall frie variabler; Dimensjonen til Col(A) er lik antall ledende variabler. dim Null(A) + dim Col(A) = n

15 Dimensjonen til Null(A) and COl(A) Dimensjonen til Null(A) er lik antall frie variabler; Dimensjonen til Col(A) er lik antall ledende variabler. dim Null(A) + dim Col(A) = n Dimensjonen til Col(A) kalles rangen til A.

16 Radrommet La A være en m n matrise, A = [a ij ]. Radrommet til A Row(A) er underromet i R n utspent av radvektorene til A. Hvis så er Row(A) = span(r 1,..., r m ). r 1 = (a 11, a 12,..., a 1n ) r 2 = (a 21, a 22,..., a 2n ) r m = (a m1, a m2,..., a mn )

17 Basis for Row(A) Teorem To radekvivalente matriser har samme radrommet.

18 Basis for Row(A) Teorem To radekvivalente matriser har samme radrommet. Teorem Hvis E er en echelonmatrise, så er ikkenullradene til E en basis for Row(E).

19 Basis for Row(A) Teorem To radekvivalente matriser har samme radrommet. Teorem Hvis E er en echelonmatrise, så er ikkenullradene til E en basis for Row(E). Ved Gausseliminasjon kan vi omforme A til en echelonmatrise E. Ikkenullradene i E danner en basis for Row(A). Radrangen til A er lik antallet av lederelementer i E.

20 Basis for Row(A) Teorem To radekvivalente matriser har samme radrommet. Teorem Hvis E er en echelonmatrise, så er ikkenullradene til E en basis for Row(E). Ved Gausseliminasjon kan vi omforme A til en echelonmatrise E. Ikkenullradene i E danner en basis for Row(A). Radrangen til A er lik antallet av lederelementer i E. dim Row(A) = dim Col(A) = rank(a).

21 Eksamensoppgave La A = Finn en basis for nullrommet Null(A), en basis for radrommet Row(A) og en basis for kolonnerommet (søylerommet) Col(A)..

22 Markov-kjeder Markov-kjede er en matematisk model som beskrives ved en følge av vektorer (posisjoner) x 1,..., x k,... som oppfyler x k+1 = Px k og P er en kvadratisk matrise. For eksempel migrasjon-model. Matrisen P i modellen har de flgene egenskapene: alle elementer til P er større eller lik 0; summen av elementer i hver kolonne er lik 1. En sån matrise kalles stokastisk matrise.

23 Regulære stokastiske matriser Hvis P er en stokastisk matrise og q er en vektor som har ikke negative elementer med summen av elementene lik en (sannsynlighetsvektor) slik at Pq = q, da kalles q en stasjonær ( steady-state ) vektor til P. En stokastisk matrise P kalles regulær hvis det finnes m slik at alle elementene til P m er positive. Teorem Hvis P er en regulær stokastisk matrise så finnes det eksakt en stasjonær vektor q til P.

24 Oppsummering Denne uken: Lærebok: 4.3, 4.4, 4.5, 4.6, 4.9 Nest gang Egenvektorer og egenverdier Lærebok: 5.1, 5.2