MAT Onsdag 7. april Lineær uavhengighet (forts. 1.8 Underrom av R n, nullrom, basis MAT Våren UiO. 7.

Transkript

1 MAT 2 april 2.7 Lineær.8 Underrom MAT 2 Våren 2 UiO 7. april 2 / 23

2 MAT 2 april 2.7 Lineær.8 Underrom Minner om:.7 Lineær (fortsettelse) Definisjon. To vektorer u og v i R n kalles lineært avhengige dersom den ene vektoren er et multiplum av den andre, altså dersom u Span{v} eller v Span{u}. Tre (eller flere) vektorer i R n kalles lineært avhengige dersom (minst) en av vektorene kan uttrykkes som en lineær kombinasjon av de andre vektorene. 2 / 23

3 MAT 2 Dette kan generelt uttrykkes slik: april 2.7 Lineær.8 Underrom Definisjon. En mengde {v, v 2,..., v p } av p forskjellige vektorer i R n kalles lineært avhengig hvis det fins skalarer k, k 2..., k p, som ikke alle er lik, slik at k v + k 2 v k p v p =. () Vektorlikningen () kalles en lineær avhengighetsrelasjon mellom vektorene v, v 2,..., v p. Dersom mengden ikke er lineært avhengig kalles den lineært uavhengig. Dette inntreffer når vektorlikningen x v + x 2 v x p v p = (2) kun har den trivielle løsningen x = x 2 = = x p =. Hvis mengden {v, v 2,..., v p } er lineært uavhengig sier vi at vektorene er lineært uavhengige. 3 / 23

4 MAT 2 april 2.7 Lineær.8 Underrom Eksempel. Vi har tidligere sett at vektorene lineært avhengige: [ 2 ] [, ] og [ ] er En lineær avhengighetsrelasjon mellom disse vektorene er [ ] [ ] [ ] 2 2 =. Dette betyr at vektorlikningen [ ] [ 2 x + x 2 ] + x 3 [ ] = (3) har andre løsninger enn den trivielle løsningen, nemlig (x, x 2, x 3 ) = (, 2, ).. 4 / 23

5 MAT 2 april 2.7 Lineær.8 Underrom Avhengig eller uavhengig? Betrakt S = {v, v 2,..., v p } i R n. For å undersøke om S er lineært avhengig eller ikke danner vi n p matrisen A = [v v 2 v p ]. Siden x v + x 2 v x p v p = kan skrives som A x =, ser vi at S er lineært avhengig dersom A x = har en ikke triviell løsning. S er lineært uavhengig dersom A x = kun har den trivielle løsningen x =. 5 / 23

6 MAT 2 Tilsvarende ser vi at: april 2.7 Lineær.8 Underrom Teorem.28. Kolonnevektorene i en matrise A er lineært uavhengige hvis og bare hvis likningen Ax = kun har den trivielle løsningen. Eksempel. Er v = (2,, ), v 2 = (2,, ) og v 3 = (4,, 2) lineært uavhengige? VI setter A = [v v 2 v 3 ] = Radredusering av [A ] gir , og vi ser at A x = kun har den trivielle løsningen. Dermed er vektorene v, v 2 og v 3 lineært uavhengige. 6 / 23

7 MAT 2 april 2.7 Lineær.8 Underrom Bemerkning. Hvis vi har flere vektorer i R n enn n, vil disse vektorene alltid være lineært avhengige. Dette har vi sett eksempler på når n = 2 eller n = 3. Generelt kan vi argumentere slik: Betrakt v, v 2,..., v p i R n der p > n. Sett A = [v v 2 v p ]. Systemet A x = har da nødvendigvis ikke trivielle løsninger. For ellers måtte radreduksjon av matrisen [A ] gi en matrise med ledende -ere i alle de p første kolonnene. Men det kan høyst være en ledende -er i hver rad til A, altså høyst n tilsammen. Dette er ikke mulig når p > n. Dette betyr at v, v 2,..., v p må være lineært avhengige. 7 / 23

8 MAT 2 april 2.7 Lineær.8 Underrom Det største antall lineært uavhengige vektorer i R n er altså n. Det at n vektorer v, v 2,..., v n i R n er lineært uavhengige svarer til at matrisen A = [v v 2 v n ] kan radreduseres til identitetsmatrisen I n = Spesielt gir dette at kolonnevektorene til I n er lineært uavhengige. Vi skriver I n = [e e 2 e n ] der, e 2 =,..., e n = e =.... (4) 8 / 23

9 MAT 2 april 2.7 Lineær.8 Underrom Eksempel. Vektorene e, e 2, e 3, e 4 R 4 er altså lineært uavhengige. Videre har vi også at Span{e, e 2, e 3, e 4 } = R 4 : Vi har jo at a b c = a d + b + c + d. Vi vil derfor si at {e, e 2, e 3, e 4 } er en basis for R 4. Selve begrepet basis skal vi nå studere nærmere. 9 / 23

10 MAT 2 april 2.7 Lineær.8 Underrom.8 Underrom nullrom, og begrepet basis Et underrom av R n er et rom som ligger i det større rommet R n og som oppfører seg pent med hensyn på regnereglene, dvs. det har også en lineær struktur. Mer presist: Definisjon. Et underrom av R n er en delmengde U av R n som oppfyller følgende tre egenskaper: i) Vi har U (nullvektoren er med i U). ii) Hvis u og v er i U, så er u + v i U (vi sier at U er lukket under addisjon ). iii) Hvis u er i U og k er en skalar, er ku i U (vi sier at U er lukket under skalar multiplikasjon ). / 23

11 MAT 2 april 2.7 Lineær.8 Underrom Geometriskt er det lett å sjekke at linjer og plan som går gjennom origo er underrom. Generelt har vi: Teorem.34. La v, v 2,..., v p være vektorer i R n. Da er Span{v, v 2,..., v p } et underrom av R n. Bevis: Vi sjekker at U = Span{v, v 2,..., v p } oppfyller f.eks. punkt ii) i definisjonen: La u, v U. Vi kan da skrive u = s v + s 2 v s p v p og og får at v = t v + t 2 v t p v p, u + v = (s + t )v + (s 2 + t 2 )v (s p + t p )v p, så u + v U. / 23

12 MAT 2 april 2.7 Lineær.8 Underrom Eksempel. En linje L i R 2 gitt ved likningen y = ax er et underrom av R 2 : Vi har nemlig at L = {(t, at) t R} = {t (, a) t R} = Span{(, a)}, så dette følger av Teorem.34. En linje med likning y = ax + b der b er ikke et underrom av R 2 : nullvektoren er jo ikke med på linja. Obs : R n har to "opplagte"underrom : Rommet R n er et underrom av seg selv. Mengden {} = Span{} er også et underrom av R n. Dette kalles det trivielle underrommet. 2 / 23

13 MAT 2 april 2.7 Lineær.8 Underrom En annen måte å lage underrom av R n er å se på løsningsrommet til homogene lineære likningssystemer. Definisjon. Nullrommet til en m n matrise A er løsningsmengden til det homogene likningssystemet A x =. Vi skriver Nul A for denne mengden, dvs. Nul A = {x R n : A x = }. Eksempel. Vi vil finne nullrommet til matrisen A gitt ved [ ] A =. 3 / 23

14 MAT 2 april 2.7 Lineær.8 Underrom Likningssystemet A x = har utvidet matrise [ ]. Den reduserte trappeformen blir: [ Løsningsmengden til systemet A x = er derfor gitt ved vektorene på formen s der s R. Det betyr at Nul A = {s : s R} = Span{(,, )}, som viser at Nul A er et underrom av R 3 (ved Teorem.34). ]. 4 / 23

15 MAT 2 april 2.7 Lineær.8 Underrom Generelt har vi: Teorem.4. La A være en m n matrise. Da er Nul A et underrom av R n. Bevis: i) Siden A =, har vi at Nul A. ii)-iii) La u, v Nul A. Da er A u = og A v =, så dvs u + v Nul A. A (u + v) = A u + A v = + =, Videre er A (k u) = k(a u) = k =, så k u Nul A for enhver skalar k. 5 / 23

16 MAT 2 april 2.7 Lineær.8 Underrom Den beste"måten å angi et underrom på er ved hjelp av en basis: Definisjon. La U være et underrom av R n. En mengde B = {v, v 2,..., v p } av vektorer i U kalles en basis for U dersom følgende to egenskaper holder: i) Mengden B er lineært uavhengig; ii) B utspenner U, dvs Span{v, v 2,..., v p } = U. Eksempel. Vi har tidligere sett at kolonnene til I n, nemlig e, e 2,..., e n, er lineært uavhengige. Disse utspenner også R n. Dermed danner disse en basis for R n. Mengden E = {e, e 2,..., e n } kalles standardbasisen til R n. Elementene i standardbasisen til R 2 kalles ofte for i og j; i R 3 kalles de ofte for i, j og k. 6 / 23

17 MAT 2 Når U = R n har vi: april 2.7 Lineær.8 Underrom Teorem.43. La B = {v, v 2,..., v n } være en lineært uavhengig mengde av n vektorer i R n. Da er B en basis for R n. Dette betyr at vi da slipper å sjekke at B utspenner R n. La oss se hvorfor B = {v, v 2,..., v n } da utspenner R n : La b R n og sett A = [v v 2 v n ]. Siden kolonnene til A er lineært uavhengige vet vi at A kan radreduseres til I n. Dermed vil systemet A x = b alltid ha nøyaktig en løsning. Dette betyr at det finnes entydige bestemte skalarer x, x 2,..., x n slik at x v + x 2 v x n v n = b. Dette viser at b Span{v, v 2,, v n }. 7 / 23

18 MAT 2 Dette viser samtidig at: april 2.7 Lineær.8 Underrom Når {v, v 2,..., v n } er en basis for R n, kan enhver vektor i R n skrives som en lineær kombinasjon av v, v 2,..., v n på en entydig måte. [ ] [ ] Eksempel. Vektorene og er opplagt lineært 2 3 uavhengige, så de danner en basis for R 2. [ ] b Enhver R 2 kan derfor skrives på en entydig måte som b 2 en lineær kombinasjon av disse vektorene; vi finner at : [ ] [ ] [ ] b = 3b +b b +b b 2 8 / 23

19 MAT 2 april 2.7 Lineær.8 Underrom Eksempel. Linja L i R 2 gitt ved likningen y = 5x er et underrom av R 2. [ ] Den er utspent av (, 5), så en basis for L er { }. 5 Eksempel. Likningen x + y z = gir et plan U som er et underrom av R 3. La (x, y, z) U. Ved å innføre parametere y = s og z = t får vi at x = s + t. Det gir Altså er = { s U = {(x, y, z) = ( s + t, s, t) : s, t R}. U = { +t s + t s t } : s, t R } : s, t R = Span{, }. 9 / 23

20 MAT 2 Merk at det følger at april 2.7 Lineær.8 Underrom u = og v = danner en basis for planet U: i) Vi har nettopp sett at Span{u, v} = U. ii) u og v er lineært uavhengige, siden disse vektorene opplagt ikke er parallelle. Samme fremgangsmåte kan alltid brukes til å finne en basis for et plan i R 3 angitt ved en likning av typen ax + by + cz =. 2 / 23

21 MAT 2 april 2.7 Lineær.8 Underrom Eksempel. Skal finne en basis for Nul A der A = Den utvidede matrisen til Ax = radreduseres til 4 5. Det gir = { Nul A = { s s 4t s 5t s t + t 4 5 } : s, t, R : s, t R }. 2 / 23

22 MAT 2 april 2.7 Lineær.8 Underrom Vi ser at Nul A utspennes av u = og v = 4 5, og disse er lineært uavhengige (siden de ikke er multiple av hverandre). Dermed er {u, v} en basis for Nul A. Denne fremgangsmåten kan alltid brukes til å finne en basis for nullrommet til en matrise. Vektorene man kommer da frem til vil automatisk være lineært uavhengige. 22 / 23

23 MAT 2 april 2.7 Lineær.8 Underrom Vi tar også med følgende begrep: Definisjon. La U være et underrom U {}. Antall elementer i en basis for U kalles dimensjonen til U, og skrives dim(u). Dersom U = {} setter vi dim(u) =. Eksempel. dim R n = n. Dersom L = Span{v} der v, så L er en linje, er dim L = (siden {v} er en basis for L). Dersom U = Span{u, v} der u, v er lineært uavhengige, så U er et plan, er dim U = 2 (siden {u, v} er en basis for U). Dersom U = Nul A, der A er en matrise, så er dim U lik antall frie variable i løsningsmengden til systemet A x =. 23 / 23