MAT1120 Repetisjon Kap. 1

Transkript

1 MAT1120 Repetisjon Kap. 1 Kap. 1, avsn og kap. 3 i Lays bok er for det meste kjent fra MAT1100 og MAT1110. Idag skal vi repetere fra kap. 1 i Lays bok. Det handler bl.a. om : Matriser Vektorer og lineære kombinasjoner Lineæravbildninger fra R n til R m Lineære likningssystemer Lineær uavhengighet av vektorer 1 / 23

2 Matriser La m og n være naturlige tall. En (reell) m n matrise A er et rektangulært objekt med m rader og n kolonner av reelle tall av typen a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A =.... a m1 a m2 a mn Addisjon av matriser og mult. av matrise med skalar To m n matriser A og B kan legges sammen (koeffisientvis) til en ny m n matrise A + B. En m n matrise A kan ganges med et (reelt) tall c (koeffisientvis) til en ny m n matrise c A. Disse to operajonene tilfredstiller vanlige regneregler; vi har f.eks. at c (A + B) = c A + c B, osv. 2 / 23

3 Vektorer x 1 x 2 En m 1 matrise x = kalles en kolonnevektor.. x m Ofte sier vi bare vektor istedet for kolonnevektor. Av typografiske hensyn skriver vi noen ganger x = (x 1, x 2,, x m ) for å angi en kolonnevektor x. Mengden av alle m 1 kolonnevektorer betegnes med R m. Slike vektorer kan legges sammen, og ganges med reelle tall. 3 / 23

4 En m n matrise A kan angies ved sine kolonnevektorer. Vi skriver da A = [ ] a 1 a 2 a n når a 1, a 2,, a n er kolonnevektorene til A. En 1 n matrise [y 1 y 2 y n ] kalles en radvektor. En matrise kan også angies ved sine radvektorer. 4 / 23

5 Lineære kombinasjoner La a 1, a 2,, a n R m og c 1, c 2,, c n R. Vektoren b i R m gitt ved b = c 1 a 1 + c 2 a c n a n kalles en lineær kombinasjon av vektorene a 1, a 2,, a n (med vektene c 1, c 2,, c n ). Vi lar W = Span{a 1,, a n } betegne mengden av alle slike lineære kombinasjoner, og sier da at W er utspent av a 1,, a n (eller at a 1, a 2,, a n utspenner W ). Vi har f.eks. at a 1, a 2,, a n utspenner R m når Span{a 1, a 2,, a n } = R m m.a.o. når enhver vektor i R m er en lin. komb. av a 1, a 2,, a n. 5 / 23

6 Eksempel. For j = 1,, m, la e j = (0,, 0, 1, 0,, 0) være vektoren i R m der alle komponentene er 0 ere, bortsett fra at j-te komponent er 1. Da er Span{e 1, e 2,, e m } = R m fordi hvis b = (b 1, b 2,, b m ) R m, så er b = b 1 e 1 + b 2 e b m e m Span{e 1, e 2,, e m }. Så e 1, e 2,, e m utspenner R m. 6 / 23

7 Eksempel. La a 1, a 2 være vektorer i R 3, begge forskjellige fra nullvektoren. Sett W = Span{a 1, a 2 }. Hvis a 1 og a 2 er parallelle, er W = Span{a 1 } = Span{a 2 } så W er linjen gjennom origo utspent av a 1 (eller a 2 ). Hvis a 1 og a 2 ikke er parallelle, er W planet gjennom origo utspent av a 1 og a 2. En normalvektor n til planet W gir da en vektor i R 3 som ikke er med i W. Så {a 1, a 2 } utspenner W, men ikke R 3. 7 / 23

8 Produkt av en matrise og en vektor La A være en m n matrise gitt ved A = [a 1 a 2 a n ] og la x R n være gitt ved x = (x 1, x 2,, x n ). Produktet av A og x er vektoren A x i R m gitt ved x 1 x 2 A x = [a 1 a 2 a n ]. = x 1 a 1 + x 2 a x n a n. x n 8 / 23

9 Merk : Produktet av en 1 n radvektor R = [r 1 r 2 r n ] og en x 1 x 2 vector x =. i Rn gir prikkproduktet av vektorene: x n x 1 x 2 R x = [r 1 r 2 r n ]. = r 1x 1 + r 2 x r n x n x n Produktet av A med x kan også beskrives slik: Den i-te komponenten til vektoren A x får vi ved å gange den i-te radvektoren til A med x. 9 / 23

10 Lineære avbildninger En funksjon T : R n R m kalles en lineær avbildning dersom den tilfredstiller at T (x + y) = T (x) + T (y) T (c x) = c T (x) for alle x, y R n og alle c R. Eksempel. La A være en m n matrise. Da er funksjonen T A : R n R m definert for hver x R n ved T A (x) = A x en lineær avbildning. 10 / 23

11 Enhver lineær avbildning fra R n til R m kan angies på formen T A : Teorem. La T : R n R m være en lineær avbildning. Da fins det nøyaktig en m n matrise A som er slik at T (x) = A x for alle x R n, dvs som er slik at T = T A. Matrisen A kalles standardmatrisen til T og er gitt ved A = [T (e 1 ) T (e 2 ) T (e n )] Eksempel. Hvis T : R 2 R 2 er rotasjonen (mot klokka) om origo med en vinkel ϕ, så er standardmatrisen til T gitt ved [ ] cos ϕ sin ϕ A = [T (e 1 ) T (e 2 )] =. sin ϕ cos ϕ For andre geometriske eksempler på lineæravbildninger, se i avsnittene 1.8 og 1.9 i boka. 11 / 23

12 Lineære likningssystemer Betrakt et lineært likningssystem med m likninger i variablene x 1, x 2,, x n (med reelle koeffisienter): a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m Den utvidede matrisen til systemet er da matrisen a 11 a 12 a 1n b 1 a 21 a 22 a 2n b 2 M =..... a m1 a m2 a mn b m 12 / 23

13 Selve koeffisientmatrisen til systemet er m n matrisen a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A =..... a m1 a m2 a mn Med b = (b 1, b 2,, b m ) kan systemet angies på matriseform ved A x = b. Lar vi A = [a 1 a 2 a n ] kan systemet angies på vektorform ved x 1 a 1 + x 2 a x n a n = b Vi har derfor at systemet er konsistent (dvs har minst en løsning) hvis og bare hvis b Span{a 1, a 2,, a n }. 13 / 23

14 Et lineært likningssystem kan løses ved å omforme det til et enklere system med samme løsningsmengde. Den utvidede matrisen M omformes da ved (elementære) radoperasjoner. Det finnes tre slike operasjoner : bytt om to rader multipliser en rad med et tall 0 legg et multippel av en rad til en annen rad Ved hjelp av rad-reduksjon algoritmen (også kalt Gauss-Jordan eliminasjonsmetoden) kan man omforme en matrise ved radoperasjoner til en matrise som er på redusert trappeform. 14 / 23

15 En matrise R er på redusert trappeform dersom: alle eventuelle nullrader i R er samlet i bunnen. i alle de andre radene er første tall (fra venstre) som ikke er null en 1 er. Disse 1 ere kalles pivoter. en pivot i en rad (som ikke er den første raden) ligger til høyre for pivoten i raden over. enhver kolonne i R som inneholder en pivot består ellers av bare 0-ere. En kolonne i R som inneholder en pivot kalles en pivotkolonne. Rad-reduksjonsalgoritmen repeteres best på egenhånd. (Se eksempel i boka). MATLAB beregner den reduserte trappeformen til en matrise M ved kommandoen rref(m). 15 / 23

16 Betrakt et system A x = b, med utvidet matrise M = [A b]. Sett R = rref(m). Vi har da følgende tre muligheter: systemet er inkonsistent, dvs uten løsninger: R inneholder da en rad av typen [0 0 1]. (Det svarer til at siste kolonne i R er en pivotkolonne). systemet har nøyaktig en løsning: alle kolonnene i R unntatt den siste er da pivotkolonner. (Systemet har ingen frie variabler). systemet har uendelig mange løsninger: det fins da minst en kolonne i tillegg til den siste som ikke er en pivotkolonne; variablene som svarer til slike kolonner kalles frie variabler. 16 / 23

17 To nyttige resultater: Teorem. La A være en m n matrise. Følgende påstander er ekvivalente: (1) Systemet A x = b er konsistent for enhver b i R m (2) Kolonnene til A ustpenner R m (3) Det fins en pivot i alle radene til rref(a). Teorem. Anta at vektorene a 1, a 2,, a n i R m utspenner R m. Da er m n. 17 / 23

18 Lineær uavhengighet Vektorene a 1, a 2,, a n i R m kalles lineært uavhengige dersom vektorlikningen x 1 a 1 + x 2 a x n a n = 0 har bare den trivielle løsningen x 1 = x 2 = = x n = 0. I motsatt fall kalles a 1, a 2,, a n for lineært avhengige; ved å sette inn en ikke-triviell løsning i likningen ovenfor får vi da en lineær avhengighetsrelasjon mellom vektorene. En endelig delmengde S av R m kalles lineært uavhengig dersom dens vektorer er lineært uavhengige. I motsatt fall sier vi at S er lineært avhengig. Merk: hvis n 2, så er a 1, a 2,, a n lineært avhengige hvis og bare hvis minst en av a j -ene kan skrives som en lineær kombinasjon av de andre vektorene. 18 / 23

19 Betrakt nå A = [a 1 a 2 a n ]. Vektorlikningen kan da skrives som x 1 a 1 + x 2 a x n a n = 0 A x = 0 Et slikt homogent system er alltid konsistent siden nullvektoren er alltid en løsning (den trivielle). Vi har: Teorem. Følgende påstander er ekvivalente: (1) Vektorene a 1, a 2,, a n er lineært uavhengige (2) Systemet A x = 0 har bare den trivielle løsningen (3) Alle kolonnene i rref(a) er pivotkolonner. Teorem. Anta at a 1, a 2,, a n R m er lineært uavhengige. Da er n m. 19 / 23

20 Mer om lineære avbildninger Betrakt en lineær avbildning T : R n R m. Når er T 1-1? Når er T på R m? Minner om følgende definisjoner: La T : V W være en funksjon mellom to mengder V og W. Bildet av T er delmengden av W definert ved T (V ) = {T (v) v V }. T kalles 1-1 (eller en-entydig, eller injektiv) dersom ethvert element i T (V ) kommer fra nøyaktig ett element i V. T kalles på W (eller surjektiv) dersom T (V ) = W. 20 / 23

21 La A være standardmatrisen til en lineær avbildning T : R n R m. Vi har da T (x) = T A (x) = A x for alle x R n At T = T A er 1-1 kan beskrives slik: Ethvert konsistent system av typen A x = b har nøyaktig en løsning. Slike systemer kan ikke ha noen frie variabler: enhver kolonne i rref(a) må da være en pivotkolonne. Vi får derfor: Teorem. T = T A er 1-1 alle kolonnene i rref(a) er pivotkolonner. 21 / 23

22 Det at T = T A : R n R m er på R m betyr at likningen T (x) = b har løsninger uansett valg av b R m, dvs at systemet A x = b er konsistent for enhver b R m. Ved et tidligere teorem får vi dermed: Teorem. Avbildningen T = T A er på R m alle radene i rref(a) inneholder en pivot kolonnevektorene til A utspenner R m. 22 / 23

23 En oppsummering av noen av resultatene vi har sett idag: La A være en m n matrise, A = [a 1 a 2 a n ]. La T A : R n R m være gitt ved T A (x) = A x for alle x R n. Da gjelder at a 1, a 2,, a n er lineært uavhengige i R m alle kolonnene i rref(a) er pivotkolonner T A er 1-1 systemet A x = 0 har bare den trivielle løsningen ethvert konsistent system A x = b har nøyaktig en løsning a 1, a 2,, a n utspenner R m alle radene i rref(a) inneholder en pivot T A er på R m systemet A x = b er konsistent for enhver b R m 23 / 23