Obligatorisk innlevering 3 - MA 109, Fasit

Transkript

1 Obligatorisk innlevering - MA 9, Fasit Vektorer Oppgave: Avgjør om, og er lineært uavhengige Dette er spørsmålet om det finnes vekter x, x, x - ikke alle lik - slik at x + x + x = Vi skriver det på augmentert matriseform, og løser: Vi ser at første og andre kolonne er pivotkolonner, mens tredje kolonne ikke er en pivotkolonne x er altså en fri cvariabel, noe som betyr at vi har ikke-trivielle løsninger Vektorene er lineært avhengige (Du kan også finne dette svaret ved å jobbe med koeffisientmatrisen i stedet for med den augmenterte matrisen) Oppgave: For hvilke verdier av h er, og h er lineært uavhengige Dette er spørsmålet om det finnes vekter x, x, x - ikke alle lik - slik at x + x + x = h Vi skriver det på augmentert matriseform, og løser: h Vi ser at første og andre kolonne er pivotkolonner, mens tredje kolonne kun er en pivotkolonne dersom h x er altså en fri variabel dersom h =, noe som betyr at vi har ikke-trivielle løsninger Hvis h har vi ingen fri variable, og ligningen har kun trivielle løsninger Vektorene er lineært uavhengige når og kun når h (Du kan også finne dette svaret ved å jobbe med koeffisientmatrisen i stedet for med den augmenterte matrisen) Transformasjoner Oppgave: 8-matrisen A er standardmatrisen transformasjonen T : R a R b Hva er a og b? a = 8, b =

2 Oppgave: Matrisetransformasjon: A = Dette er ligningen A x = x x x = Hvilke vektorer x sender A på? som vi leser av, og ved å flytte frie variable over på høyre side får x = x x = x x = x som vi skriver på vektorform: x = x x x = x x x = x, x R Oppgave: Finn standardmatrisen for transformasjonen T : T (e ) = T (e ) = A = T (e ) T (e ) =, T (e ) =, Oppgave: Er matrisen i oppgave injektiv? Begrunn svaret Matrisen er injektiv dersom alle kolonner er pivotkolonner Det er de Matrisen er injektiv Oppgave: Er matrisen i oppgave surjektiv? Begrunn svaret Matrisen er surjektiv dersom alle rader har en pivot Det har de Matrisen er surjektiv radianer mot klokka Finn standardma- 8 Oppgave: Transformasjonen T : R R er rotasjon π trisen Bruk den generelle formelen for rotasjon θ radianer mot klokka, sett inn, og regn ut: cos θ sin θ A = sin θ cos θ = cos π sin π sin π cos π =

3 Matriseoperasjoner 9 Oppgave: Du har følgende matriser: A = 8 8, B = Beregn følgende, hvis mulig Hvis du mener det ikke er mulig, begrunn dette (a) A + C (b) A + B (c) AC (d) CA (e) C T (f) I B (g) ( A T C T ) T (a) Matrisene kan ikke legges sammen, siden de har forskjellige dimensjoner (b) 8 9 (c) Går ikke Antall rader i C må være likt antall kolonner i A 8 (d) (e) (f) (g) ( A T C ) T T 8 = CA = Oppgave: A = Finn a og a fra A 8 (A ) = A Sett opp A I for å finne I A: 8 så a = og a =, C =

4 Oppgave: Er følgende matrise inverterbar? Matrisen har en ikke-pivot-kolonne, og er derfor ikke inverterbar Oppgave: Gjør kun en av oppgavene under: (a) Finn et eksempel på anvendelse av lineær algebra i ditt fagfelt Bruk gjerne læreboka for å finne eksempel Sett opp en ligning eller sammenheng; du trenger ikke løse ligningen (b) A er en -matrise To eller tre av de følgende fire påstandene er ekvivalente (impliserer hverandre) Hvilke er det? Begrunn for hver av påstandene i Kolonnene til A utspenner R ii Radene til A utspenner R iii A kan transponeres iv A kan inverteres Alle matriser er transponerbare, så det kan ikke være ekvivalent til noe som ikke er sant for alle matriser Se så på de tre andre påstandene Teorem 8 i Lay sier at det at A er inverterbar (a) er ekvivalent med at kolonnene til A utspenner R (h) Men vi ser også (l), at dette er ekvivalent med at A T er inverterbar, og da er jo alt dette også ekvivalent med at kolonnene til A T utspenner R Men radene til A er kolonnene til A T Det betyr at alle påstandene i oppgaven, unntatt at A kan transponeres, er ekvivalente Differensialligninger Oppgave: Under følger noen differensialligninger med forslag til svar Noen av svarene er riktige, andre er gale Vurdér og si hvilke som er hvilke For de som er gale, si en setning om hva du mener vedkommende som skrev løsningen kan ha gjort galt eller misforstått Skriv også opp rett svar Mellomregning ikke nødvendig (a) Ligning: y 9y = Svar: y(t) = e t + e t (b) Ligning: y + 9y = Svar: y(t) = e t + e t (c) Ligning: y + y y = Svar: y(t) = c e t + c e t (d) Ligning: y y + y = Svar: y(t) = c e t + c e t (e) Ligning: y y = Svar: y(t) = c e t + c te t (f) Ligning: y y = Svar: y(t) = c e t + c te t (g) Ligning: y y = Svar: y(t) = c e t + c e t (h) Ligning: y + 8y + y = Svar: y(t) = c e t + c e t (a) Nesten rett Kandidaten har glemt konstantene c og c Rett svar: y(t) = c e t + c e t (b) Feil Kandidaten har trolig lest fortegnet feil eller gjort feil med komplekse tall Kandidaten har også glemt konstantene Rett svar: y(t) = A cos(t) + B sin(t)

5 (c) Rett (d) Feil Kandidaten har løst karakteristisk ligning og fått dobbel rot r = og funnet ut at dette gir løsning y = e t Kandidaten har dog ikke kunnskap om å håndtere dobbel rot Rett svar: y(t) = c e t + c te t (e) Feil Kandidaten har trolig glemt at fortegnet på røttene må være like for at vi skal ha en dobbel rot, eller tenkt at e t og e t er den samme funksjonen Kandidaten har derfor ganget med t der det ikke trengtes Rett svar: y(t) = c e t + c e t (f) Samme type feil som i oppgaven over Rett svar: y(t) = c e t + c e t (g) Rett (h) Karakteristisk ligning er r + 8r +, som har løsning r = ± i Dette gir rett svar y(t) = e t (A cos(t) + b sin(t) Kandidaten har trolig rotet med den komplekse delen av løsningen til den karakteristiske ligningen og fått r = ±, altså r = og r =, noe som ville gitt løsningen han fikk Oppgave: I et masse-demper-fjær-system er demper-koeffisienten γ = ; vi har funnet ut at systemet er underkritisk dempet, og ved en praktisk måling finner vi ut at amplitudefunksjonen er e t Hva er massen? my + γy + ky = har karakteristisk ligning mr + γr + k =, som igjen har løsning r = γ m ± γ km m Underkritisk dempet betyr at svaret er på formen y(t) = e αt (A cos(βt) + B sin(βt)), hvor da løsningen på den karakteristiske ligningen var r = α ± β Sammenligner vi de to måtene å se svarene på den karakteristiske ligningen på, ser vi at α = γ m Siden vi vet at α = og γ = finner vi da at m = γ α = = Oppgave: Et masse-demper-fjær-system har m =, γ = Systemet er kritisk dempet Hva er fjærkonstanten k? my + γy + ky = har karakteristisk ligning mr + γr + k =, som igjen har løsning r = γ m ± γ km m Kritisk dempet betyr at vi har dobbel rot, altså at r = γ m ±, eller altså γ km at m = Dette får vi kun når det vi har under rottegnet er : γ km =, altså k = Svaret er k = 9 8 Oppgave: I et masse-fjær-system er m = og sirkelfrekvensen Hva er fjærkonstanten k? my + ky = har karakteristisk ligning mr + k =, som har løsning r = ±iω = ±i Løsningen på differensialligningen er y(t) = A cos(ωt)+b sin(ωt), altså en løsning med sirkelfrekvens ω Siden vi vet sirkelfrekvensen, ser vi at ω = Da er altså k m =, og siden m = er k = Oppgave: Hvilke av differensialligningene i oppgave er kan beskrive masse-(demper)-fjærsystemer? Er systemene udempet eller dempet, og i så fall hvilken type dempet? For at vi skal ha et masse-demper-fjær-system må alle koeffisientene være ikke-negative Det ser vi kun i oppgave (b) og oppgave (h) Demperkoeffisienten i (b) er, så dette er et udempet system I (h) ser vi at vi har dempning; siden vi her har γ = 8 = og km = =, er γ < km, og vi har et underkritisk dempet system k m