Matriseoperasjoner. E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag. September 22, 2009

Transkript

1 Matriseoperasjoner E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag September 22, 2009

2 Addisjon av matriser Hvis A = [a ij ] og B = [b ij ] er matriser med samme størrelse, så er summen A + B matrisen som vi får ved å legge sammen samsvarende elementer i A og B, A + B = [a ij + b ij ].

3 Addisjon av matriser Hvis A = [a ij ] og B = [b ij ] er matriser med samme størrelse, så er summen A + B matrisen som vi får ved å legge sammen samsvarende elementer i A og B, A + B = [a ij + b ij ]. Eksempel [ ] [ ] [ 5 3 = 5 3 ]

4 Multiplikasjon av en matrise med et tall Hvis A = [a ij ] er en matrise og c er et tall, så er ca matrisen som vi får ved å multiplisere hvert element i A med c, ca = [ca ij ].

5 Multiplikasjon av en matrise med et tall Hvis A = [a ij ] er en matrise og c er et tall, så er ca matrisen som vi får ved å multiplisere hvert element i A med c, ca = [ca ij ]. Eksempel [ ] [ = ]

6 Indreprodukt Hvis u = (u 1,..., u p ) og v = (v 1,..., v p ) er to p-vektorer, så er indreproduktet (skalarproduktet/prikkproduktet) tallet gitt ved u v = u 1 v 1 + u 2 v u p v p. Produktet av en rad-vektor a = [a 1,..., a p ] og en kolonne-vektor b 1 b =... b p er definert ved ab = a b = [a 1 b a p b p ]

7 Matrisemultiplikasjon Hvis A = [a ij ] er en m p matrise og B er en p n matrise, så er AB matrisen med størrelsen m n der elementet i i-te rad og j-te kolonne er indreproduktet av i-te rad i A og j-te kolonne i B, AB = [a i1 b 1j + a i2 b 2j a ip b pj ].

8 Matrisemultiplikasjon Hvis A = [a ij ] er en m p matrise og B er en p n matrise, så er AB matrisen med størrelsen m n der elementet i i-te rad og j-te kolonne er indreproduktet av i-te rad i A og j-te kolonne i B, AB = [a i1 b 1j + a i2 b 2j a ip b pj ]. Eksempel [ ] =

9 Matrisemultiplikasjon Hvis A = [a ij ] er en m p matrise og B er en p n matrise, så er AB matrisen med størrelsen m n der elementet i i-te rad og j-te kolonne er indreproduktet av i-te rad i A og j-te kolonne i B, AB = [a i1 b 1j + a i2 b 2j a ip b pj ]. Eksempel [ ] = [ ( 2) + ( 2) ( 2) ]

10 Matrisemultiplikasjon Hvis A = [a ij ] er en m p matrise og B er en p n matrise, så er AB matrisen med størrelsen m n der elementet i i-te rad og j-te kolonne er indreproduktet av i-te rad i A og j-te kolonne i B, AB = [a i1 b 1j + a i2 b 2j a ip b pj ]. Eksempel [ ] = [ ( 2) + ( 2) ] ( 2) [ ] 6 11 = 18 2

11 Matrisemultiplikasjon og lineære ligningssystem Ligningssystemet kan skrives som a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m Ax = b hvor A er koeffisientmatrisen og b er høresidevektoren til x 1 ligningssystemet, x =.... x n

12 Regler for matriseregning A + B = B + A, A + (B + C) = (A + B) + C

13 Regler for matriseregning A + B = B + A, A + (B + C) = (A + B) + C A(BC) = (AB)C,

14 Regler for matriseregning A + B = B + A, A + (B + C) = (A + B) + C A(BC) = (AB)C, AB BA

15 Regler for matriseregning A + B = B + A, A + (B + C) = (A + B) + C A(BC) = (AB)C, AB BA A(B + C) = AB + AC, (A + B)C = AC + BC

16 Regler for matriseregning A + B = B + A, A + (B + C) = (A + B) + C A(BC) = (AB)C, AB BA A(B + C) = AB + AC, Hvis A er en m n matrise så er (A + B)C = AC + BC AI n = I m A = A, hvor I n og I m er n n og m m identitesmatrisene.

17 Inverse matriser Definisjon En kvadratisk matrise A er inverterbar hvis det finnes en matrise B slik at AB = BA = I der I er identitetsmatrisen.

18 Inverse matriser Definisjon En kvadratisk matrise A er inverterbar hvis det finnes en matrise B slik at AB = BA = I der I er identitetsmatrisen. Hvis A er en inverterbar matrise, så er det nøyaktig én matrise B slik at AB = BA = I. Den kalles den inverse til A og betegnes A 1.

19 Inverse matriser Definisjon En kvadratisk matrise A er inverterbar hvis det finnes en matrise B slik at AB = BA = I der I er identitetsmatrisen. Hvis A er en inverterbar matrise, så er det nøyaktig én matrise B slik at AB = BA = I. Den kalles den inverse til A og betegnes A 1. Hvis A er inverterbar, så er A 1 inverterbar, og (A 1 ) 1 = A.