10 Radrommet, kolonnerommet og nullrommet

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "10 Radrommet, kolonnerommet og nullrommet"

Transkript

1 Radrommet kolonnerommet og nullrommet La A være en m n matrise Vi kan beskrive matrisen ved hjelp av dens rader r A r r i R n r m eller dens kolonner A [ c c c n ci R m Definisjon (se Def 7 i boka) For matrisen A er det definert tre underrom: radrommet ( the row space) kolonnerommet ( the column space) og nullrommet ( the nullspace) row(a) span (r r r r m ) R n col(a) span (c c c c n ) R m Null(A) R n som består av alle løsninger x R n til systemet Ax La oss samle diverse resultater fra 7 og 8 til et teorem: Teorem La A r r r s [ c c c n være en trappeformmatrise (redusert eller ikke-redusert) man får fra A ved hjelp av radoperasjoner (Gauss eller Gauss+Jordan spiller ingen rolle) a) (Th 7) span (r r r r s) span (r r r r m ) row(a) b) (Th 7) s-tuppelet (r r r r s) 77

2 er en basis for row(a) c) (Th 8 og Def 8) dim (span (c c c c n)) dim (col(a)) dim (row(a)) rank(a) s d) (Th + Th ) m-tuppelet (r r r r m ) utspenner hele R n s n e) (Th + Th ) m-tuppelet (r r r r m ) er lineært uavhengig s m f) (Th + Th ) m-tuppelet (r r r r m ) er en basis for R n s n m g) (Th 7 + Th 76) Anta at ledende enere i matrisen A har posisjoner ( j ) ( j ) ( j ) (s j s ) j < j < j < < j s Da er s-tuppelet ( c j c j c j c j s ) en basis for span (c c c c n) og s-tuppelet en basis for (c j c j c j c js ) span (c c c c n ) col(a) Se ellers Merknad nedenfor h) (Th + Th ) n-tuppelet (c c c c n ) utspenner hele R m s m i) (Th + Th ) n-tuppelet (c c c c n ) er lineært uavhengig s n j) (Th + Th ) n-tuppelet (c c c c n ) er en basis for R m s n m Merknad Det er ikke korrekt at span (c c c c n) col(a) selv om de to underrommene har samme dimensjon rank(a) La oss ta et oppsummerende eksempel: Eksempel m n 6: A r r [ c c c c c c 6 r G J A s 78

3 La oss anvende Teorem : ab) Vektorene danner en basis for row(a) c) r [ r [ r [ dim (span (c c c c c c 6)) dim (col(a)) dim (row(a)) rank(a) def) -tuppelet (r r r ) er lineært uavhengig siden m s utspenner ikke hele R 6 (men utspenner row(a)!) siden s < 6 n og heller ikke er en basis for R 6 (men en basis for row(a)!) g) -tuppelet (c c c ) er en basis for men ikke for col (A)! -tuppelet er en basis for span (c c c c c c 6) col (A ) (c c c ) 6 span (c c c c c c 6 ) col(a) hij) 6-tuppelet (c c c c c c 6 ) er ikke lineært uavhengig siden s < 6 n utspenner hele R siden s m og er ikke en basis Løsningsrommet og løsningsmengden Ethvert system av lineære likninger kan skrives i matriseform Ax b 79

4 der A er en m n matrise x R n er en kolonnevektor av variabler og b R m er en kolonnevektor av konstanter: x b x x x b b b x n b m Mengden av alle løsninger x til systemet kalles løsningsmengden til systemet (the solution set of the system) Løsningsmengden kan være tom (ingen løsninger) Vi sier da at systemet er inkonsistent Hvis den ikke er tom sier vi at systemet er konsistent La oss samle forskjellige resultater i et teorem Notasjonene er de samme som i Teorem Men siden konstantene b i er involvert skal vi lage en utvidet (augmented) matrise og utføre radoperasjoner for den utvidede matrisen Det er også lurt å arbeide med vilkårlige (ikke konkrete) konstanter b i dvs den høyre kolonnen til matrisen skal bestå av symboler b i Vi utfører nå Gauss+Jordan og får et nytt system A x b der kolonnevekotoren b består av lineære kombinasjoner av de opprinnelige (vilkårlige!) konstantene b i Teorem a) Systemet A x b har den samme løsningsmengden som det opprinnelige systemet Ax b b) Systemene Ax og A x har samme løsningsrommet Null(A) c) (Def 8 Th 8) Nullity(A) : dim Null(A) n rank(a) d) (Ex 8) Nullrommet til A kan beskrives som x t g + t g + + t k g k der k Nullity(A) og t t t k er vilkårlige parametre (de frie variablene kan velges som slike parametre) e) (Th 7) Løsningsmengden til systemet Ax b er enten tom eller kan beskrives slik: x x + t g + t g + + t k g k der g i er vektorer fra d) og x er én (hvilken som helst) løsning til systemet Ax b f) (Th 7) Systemet Ax b er konsistent hvis og bare hvis b col(a) Hver løsning x til systemet Ax b gir en beskrivelse av b som en lineær kombinasjon av kolonnevektorer til matrisen A: b x c + x c + + x n c n 8

5 Omvendt envher slik beskrivelse gir en løsning x til systemet g) Det er ikke lett å sjekke betingelsen b col(a) Man kan få en annen (evt andre) betingelse(r) for at systemet Ax b er konsistent Betingelsene skal gis på formen a b + a b + + a m b m Uttrykkene a b + a b + + a m b m er faktisk leddene b s+ b s+ b m i det reduserte systemet Se Ex 6 6 og 86 A x b Et oppsummerende eksempel La oss anvende Teorem og Teorem Eksempel 6 Vi studerer matrisen A A 6 og likningen der x x x x x x Ax b r r r r b [ c c c c c La oss lage den utvidede ( augmented) matrise og redusere matrisen ved hjelp av radoperasjoner: b b 6 b G J b b b b b + b b b + b b b b b der A r r r r [ c c c c c 8

6 Bruker Teorem først: ab) -tuppelet er en basis for c) (r r ) ([ [ ) span (r r r r ) row(a) row(a ) span (r r r r ) dim (span (c c c c c )) dim (col(a)) dim (row(a)) rank(a) def) -tuppelet (r r r r ) utspenner ikke hele R siden s < er lineært avhengig siden s < og er ikke en basis for R Tuppelet er ikke en basis for row(a) heller g) -tuppelet er en basis for men ikke for col(a)! -tuppelet er en basis for (c c ) span (c c c c c ) col(a ) (c c ) span (c c c c c ) col(a) col(a ) hij) -tuppelet (c c c c c ) utspenner ikke hele R siden s < er lineært avhengig siden s < Tuppelet er ikke en basis for col(a) heller Anvender nå Teorem : aeg) Systemet A x b har samme løsningsmengde som det opprinnelige systemet Ax b Systemet er konsistent hvis og bare hvis { b b b + b b b + b La oss anta at betingelsene er oppfylt og løse systemet Det er tre frie variabler 8

7 x x x Betegner dem som s t u Løsningene blir da x s x x x x b t + u b b + t u t b b b + x u b b b + s + t + u bcd) Nullrommet Null(A) Null(A ) har dimensjon og består av vektorer rank(a) x sg + tg + ug der s t u er vilkårlige parametre -tuppelet (g g g ) er en basis for nullrommet f) b col(a) Systemet er konsistent { b b b + b b b + b s + t t t x + sg + tg + ug Hvis betingelsene er tilfredsstilt er b en lineær kombinasjon av c c c c c : b x c + x c + x c + x c + x c ( ) s + b t + u + ( b b + t u ) Siden -tuppelet (c c ) er en basis for col(a) kan b bli beskrevet entydig som en lineær kombinasjon b βc + γc + t + u u u + u 6 8

8 Koeffi sientene β og γ får man ved å sette s t u : b ( ) ( b c + b ) ( ) b c b [b (cc ) [ b b b ( + b b ) 8

9 Eksempler fra Ch 7 i boka Eksempel (Ex 7) A [ b b [ [ b + b 8 b + b En basis for col (A) R : G rank (A) ([ [ ) En basis for row (A): [ [b G b + b b + b H (r r r ) ([ rank (A) [ 8 ) La Når c row (A)? c [ c c c [ [ c row (A) c c + c 8 [ c c c 8 c? [ c c c Betingelsen er: c 8 c c c + 8 c + c [ c c c 8 [c H [ c c 8

10 En basis for Null (A): x t er en fri variabel x t x 8 t t x t F N ullity (A) 8 8 La Når d Null (A)? d d Null (A) d d d d d 8 d 8 d d Betingelsene er: [ d + d d 8 d [d F [d [ 8 d d d [ c 8 c c c + 8 c + c [ c c c 8 [c H [ c c 86

11 Eksempel (Ex 7) A b 6 b b b b b + b b b + 7 b 7 6 b 6 b 6 b b b + b En basis for col (A) R : b col (A) G rank (A) 8 b b + b [ b b b b [b G b b + b b b + 7 b 6 b 6 b 6 b b b b b En basis for row (A): H (r r r ) ([ [ [ ) rank (A) La c [ c c c c c c 6 87

12 Når c row (A)? c row (A) c c [ + c [ + c6 [ [ c c c c + c c c 6? [ c c c c c c 6 Betingelsen er: [ c + c c c + c c + c [ [ c c c c c c 6 [ [c H [ c c c 6 (ikke pensum) r r + r En annen basis for row (A) er H (r r r ) P H H En basis for Null (A): x s x t x u er frie variabler x x x x x x 6 s t u s t t u s + t + u F N ullity (A) 88

13 La d d d d d d d 6 Når d Null (A)? d Null (A) d d +d +d d d d d d d d Betingelsene er: d + d + d + d d + d d 6 d d d d d d 6 [d F d d d 89

Eksamensoppgave MAT juni 2010 (med løsningsforslag)

Eksamensoppgave MAT juni 2010 (med løsningsforslag) Eksamensoppgave MAT-4 juni (med løsningsforslag) Contents OPPGAVE OPPGAVE 4 OPPGAVE 5 4 OPPGAVE 6 5 Fasit 7 5 Oppgave 7 5 Oppgave 7 5 Oppgave 8 54 Oppgave 8 6 Løsningsforslag 9 6 Oppgave 9 6 Oppgave 6

Detaljer

MAT-1004 Vårsemester 2017 Prøveeksamen

MAT-1004 Vårsemester 2017 Prøveeksamen MAT-4 Vårsemester 7 Prøveeksamen Contents. Forord................................. OPPGAVE OPPGAVE OPPGAVE 7 4 OPPGAVE 8 OPPGAVE 6 OPPGAVE 7 OPPGAVE 8 OPPGAVE 9 Formatering av svarene 4 9. Rasjonale tall.............................

Detaljer

x 1 x 2 x = x n b 1 b 2 b = b m Det kan være vanskelig (beregningsmessig) og bearbeide utrykk som inneholder

x 1 x 2 x = x n b 1 b 2 b = b m Det kan være vanskelig (beregningsmessig) og bearbeide utrykk som inneholder 4 Noen merknader 4. Lineære systemer Ax = b Gitt systemet Ax = b, A = [a i,j ] i=,,...,m, j=,,...,n x = b = Det kan være vanskelig (beregningsmessig) og bearbeide utrykk som inneholder b i. Med det finnes

Detaljer

(3/2)R 2+R 3 R 1 +R 2,( 2)R 1 +R 3 ( 2)R 1 +R 4 6/5R 3 +R 4 1/5R 3

(3/2)R 2+R 3 R 1 +R 2,( 2)R 1 +R 3 ( 2)R 1 +R 4 6/5R 3 +R 4 1/5R 3 NTNU Institutt for matematiske fag TMA4115 Matematikk 3 våren 2009 Løsningsforslag - Øving 10 Fra Edwards & Penney, avsnitt 4.4 5 Vi bruker Algoritme 1 og 2 i EP på sidene 190 og 193 for å finne en basis

Detaljer

MAT Onsdag 7. april Lineær uavhengighet (forts. 1.8 Underrom av R n, nullrom, basis MAT Våren UiO. 7.

MAT Onsdag 7. april Lineær uavhengighet (forts. 1.8 Underrom av R n, nullrom, basis MAT Våren UiO. 7. MAT 2 april 2.7 Lineær.8 Underrom MAT 2 Våren 2 UiO 7. april 2 / 23 MAT 2 april 2.7 Lineær.8 Underrom Minner om:.7 Lineær (fortsettelse) Definisjon. To vektorer u og v i R n kalles lineært avhengige dersom

Detaljer

MAT-1004 Vårsemester 2017 Prøveeksamen

MAT-1004 Vårsemester 2017 Prøveeksamen MAT-1004 Vårsemester 017 Prøveeksamen Contents 0.1 Forord................................. 1 1 OPPGAVE OPPGAVE OPPGAVE 6 4 OPPGAVE 7 5 OPPGAVE 10 6 OPPGAVE 11 7 OPPGAVE 11 8 OPPGAVE 1 9 Formatering av

Detaljer

Rang og Vektorrom. Magnus B. Botnan NTNU. 4. august, 2015

Rang og Vektorrom. Magnus B. Botnan NTNU. 4. august, 2015 Rang og Vektorrom Magnus B. Botnan NTNU 4. august, 2015 Lineær Uavhengighet La v (1),..., v (m) være vektorer av samme størrelse. Vi sier at vektorene er lineært avhengige hvis det finnes konstanter c

Detaljer

(a) R n defineres som mengden av kolonnevektorer. a 1 a 2. a n. (b) R n defineres som mengden av radvektorer

(a) R n defineres som mengden av kolonnevektorer. a 1 a 2. a n. (b) R n defineres som mengden av radvektorer 5 Vektorrom Et vektorrom er en mengde V med tre algebraiske operasjoner (addisjon, negasjon og skalærmultiplikasjon) som tilfredsstiller de 10 betingelsene fra Def. 4.1.1. Jeg vil ikke gi en eksamensoppgave

Detaljer

8 Vektorrom TMA4110 høsten 2018

8 Vektorrom TMA4110 høsten 2018 8 Vektorrom TMA4 høsten 8 I de foregående kapitlene har vi tatt en lang vandring gjennom den lineære algebraens jungel. Nå skal vi gå opp på en fjelltopp og skue ut over landskapet vi har vandret gjennom.

Detaljer

MAT-1004 Vårsemester 2017 Obligatorisk øving 3

MAT-1004 Vårsemester 2017 Obligatorisk øving 3 MAT-4 Vårsemester 7 Obligatorisk øving Contents OPPGAVE OPPGAVE Hvordan løses oppgave? 5 4 Hvordan løses oppgave? 6 5 Formatering av svarene 8 5. Rasjonale tall............................. 8 5. Matriser

Detaljer

1 Gauss-Jordan metode

1 Gauss-Jordan metode Merknad I dette Kompendiet er det gitt referanser både til læreboka og til selve Kompendiet Hvordan å gjenkjenne dem? Referansene til boka er 3- tallede, som Eks 3 Vi kan også referere til 22, kap 22 eller

Detaljer

MAT-1004 Vårsemester 2017 Obligatorisk øving 6

MAT-1004 Vårsemester 2017 Obligatorisk øving 6 MAT-4 Vårsemester 7 Obligatorisk øving Contents OPPGAVE Hvordan å løse oppgaven? 4 Formatering av svarene 9. Rasjonale tall............................. 9. Matriser og vektorer.........................

Detaljer

Lineær uavhengighet og basis

Lineær uavhengighet og basis Lineær uavhengighet og basis NTNU, Institutt for matematiske fag 19. oktober, 2010 Lineær kombinasjon En vektor w sies å være en lineær kombinasjon av vektorer v 1, v 2,..., v k hvis det finnes tall c

Detaljer

Basis, koordinatsystem og dimensjon

Basis, koordinatsystem og dimensjon Basis, koordinatsystem og dimensjon NTNU, Institutt for matematiske fag 22.-24. oktober 2013 Basis Basis for vektorrom: En endelig mengde B = {b 1, b 2,..., b n } av vektorer i et vektorrom V er en basis

Detaljer

4.1 Vektorrom og underrom

4.1 Vektorrom og underrom 4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. De kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,

Detaljer

Vektorrom. Kapittel 7. Hva kan vi gjøre med vektorer?

Vektorrom. Kapittel 7. Hva kan vi gjøre med vektorer? Kapittel 7 Vektorrom Vårt mål i dette kapitlet og det neste er å generalisere og abstrahere ideene vi har jobbet med til nå Især skal vi stille spørsmålet Hva er en vektor? Svaret vi skal gi, vil virke

Detaljer

Til enhver m n matrise A kan vi knytte et tall, rangen til A, som gir viktig informasjon.

Til enhver m n matrise A kan vi knytte et tall, rangen til A, som gir viktig informasjon. 4.6 Rang Til enhver m n matrise A kan vi knytte et tall, rangen til A, som gir viktig informasjon. Definisjon: Rangen til en m n matrise A betegnes med rank A og er definert som dimensjonen til kolonnerommet

Detaljer

MAT1120 Oppgaver til plenumsregningen torsdag 18/9

MAT1120 Oppgaver til plenumsregningen torsdag 18/9 MAT1120 Oppgaver til plenumsregningen torsdag 18/9 Magnus Dahler Norling (magnudn@math.uio.no) September 2014 Oppgave 4.6.4 rank A = rank B = 5 (teorem 13+14). dim Nul A = n - rank A = 6-5 = 1 (teorem

Detaljer

MAT-1004 Vårsemester 2017 Obligatorisk øving 2

MAT-1004 Vårsemester 2017 Obligatorisk øving 2 MAT-1004 Vårsemester 2017 Obligatorisk øving 2 Contents 1 OPPGAVE 2 2 OPPGAVE 2 Eksempler 4.1 Oppgave 1............................... 4.2 Oppgave 2............................... 5 4 Formatering av svarene

Detaljer

13 Oppsummering til Ch. 5.1, 5.2 og 8.5

13 Oppsummering til Ch. 5.1, 5.2 og 8.5 3 Oppsummering til Ch. 5. 5. og 8.5 3. Motivasjon Det er veldig viktig å kunne beregne funksjonsverdier f (A) for kvadratiske matriser A. I kalkulus (teori av differensiallikninger) er det viktig å beregne

Detaljer

12 Lineære transformasjoner

12 Lineære transformasjoner 2 Lineære transformasjoner 2 Funksjoner Definisjon 2 En funksjon ( a function) f : A B er en regel, som tilordner en entydig bestemt verdi f (a) B til ethvert element a A Mengden A kalles domenet til f

Detaljer

MA1201/MA6201 Høsten 2016

MA1201/MA6201 Høsten 2016 MA/MA6 Høsten 6 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematikk Med forebehold om feil Hvis du finner en, ta kontakt med Karin Kapittel 4 8 Vi benevner matrisen vi skal frem til

Detaljer

MAT1120 Repetisjon Kap. 1

MAT1120 Repetisjon Kap. 1 MAT1120 Repetisjon Kap. 1 Kap. 1, avsn. 2.1-2.3 og kap. 3 i Lays bok er for det meste kjent fra MAT1100 og MAT1110. Idag skal vi repetere fra kap. 1 i Lays bok. Det handler bl.a. om : Matriser Vektorer

Detaljer

Lineære likningssystemer og matriser

Lineære likningssystemer og matriser Kapittel 3 Lineære likningssystemer og matriser I dette kapittelet skal vi sette sammen Kapittel 1 og 2. 3.1 Den utvidede matrisen til et likningssystem Vi starter med et lineært likningssystem med m likninger

Detaljer

4.2 Nullrom, kolonnerom og lineære transformasjoner

4.2 Nullrom, kolonnerom og lineære transformasjoner 4.2 Nullrom, kolonnerom og lineære transformasjoner Utover Span {v 1, v 2,..., v p } er det en annen måte vi får lineære underrom på! Ser nå på V = R n. Skal se at det er visse underrom knyttet til en

Detaljer

UNIVERSITET I BERGEN

UNIVERSITET I BERGEN UNIVERSITET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet BOKMÅL Løsningsforslag eksamen MAT - Lineær algebra H Med forbehold om skrivefeil. Oppgave. Betrakt A = 6 5, b = 6 b (a) (b) Finn den reduserte

Detaljer

12 Diagonalisering av matriser og operatorer (Ch. 5.1, 5.2 og 8.5)

12 Diagonalisering av matriser og operatorer (Ch. 5.1, 5.2 og 8.5) Diagonalisering av matriser og operatorer (Ch 5, 5 og 85) Motivasjon Det er veldig viktig å kunne beregne funksjonsverdier f (A) for kvadratiske matriser A I kalkulus (teori av differensiallikninger) er

Detaljer

MAT 1110: Bruk av redusert trappeform

MAT 1110: Bruk av redusert trappeform Tom Lindstrøm 10/5, 2006: MAT 1110: Bruk av redusert trappeform I Lays bok brukes den reduserte trappeformen til matriser til å løse en rekke problemer knyttet til ligningssystemer, lineærkombinasjoner,

Detaljer

Lineærtransformasjoner

Lineærtransformasjoner Kapittel 8 Lineærtransformasjoner I forrige kapittel begynte vi å formulere lineær algebra på en generell måte, ved å gi en abstrakt definisjon av vektorrom For å beskrive sammenhenger mellom forskjellige

Detaljer

4.4 Koordinatsystemer

4.4 Koordinatsystemer 4.4 Koordinatsystemer Minner om at B = { b 1, b 2,..., b n } kalles en basis for et vektorrom V dersom B er lineært uavhengig og utspenner V. I samme vektorrom kan vi innføre ulike koordinatsystemer ;

Detaljer

MA1201, , Kandidatnummer:... Side 1 av 5. x =.

MA1201, , Kandidatnummer:... Side 1 av 5. x =. MA1201, 05.10.2016, Kandidatnummer:... Side 1 av 5 Oppgave 1 Løs ligningssystemet S T S T 1 1 0 1 W X W X U2 1 1 V x = U5V. 1 0 2 1 x =. Oppgave 2 Regn ut: S T S T 1 2 1 1 1 W X W X U 3 0 1 V U0 1 V =

Detaljer

Løsningsforslag øving 7

Løsningsforslag øving 7 Løsningsforslag øving 7 8 Husk at en funksjon er injektiv dersom x y gir f(x) f(y), men her ser vi at f(3) 9 f( 3), eller generelt at f(z) z f( z) for alle z C, som betyr at f ikke er injektiv Vi ser også

Detaljer

Lineære ligningssystemer. Forelesning, TMA4110 Torsdag 17/9. Lineære ligningssystemer (forts.) Eksempler

Lineære ligningssystemer. Forelesning, TMA4110 Torsdag 17/9. Lineære ligningssystemer (forts.) Eksempler Lineære ligningssystemer Generell form; m ligninger i n ukjente, m n-system: Forelesning, TMA4110 Torsdag 17/9 Martin Wanvik, IMF MartinWanvik@mathntnuno a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1

Detaljer

Lineære ligningssystem og matriser

Lineære ligningssystem og matriser Lineære ligningssystem og matriser E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag September 15, 2009 Lineære ligningssystem Vi har et ligningssystem av m ligninger med n ukjente x 1,..., x n som kan

Detaljer

MAT1120 Repetisjon Kap. 1, 2 og 3

MAT1120 Repetisjon Kap. 1, 2 og 3 MAT1120 Repetisjon Kap. 1, 2 og 3 Kap. 1, avsn. 2.1-2.3 og kap. 3 i Lays bok er for det meste kjent fra MAT1100 og MAT1110. Fra kap. 1 repeterer vi: Matriser Vektorer og lineære kombinasjoner Lineæravbildninger

Detaljer

Til enhver m n matrise A kan vi knytte et tall, rangen til A, som gir viktig informasjon.

Til enhver m n matrise A kan vi knytte et tall, rangen til A, som gir viktig informasjon. 4.6 Rang Til enhver m n matrise A kan vi knytte et tall, rangen til A, som gir viktig informasjon. Definisjon: Rangen til en m n matrise A betegnes med rank A og er definert som dimensjonen til kolonnerommet

Detaljer

MAT1120 Notat 1 Tillegg til avsnitt 4.4

MAT1120 Notat 1 Tillegg til avsnitt 4.4 MAT1120 Notat 1 Tillegg til avsnitt 4.4 Vi tar utgangspunkt i Teorem 8 fra avsn. 4.4 i boka. For ordens skyld gjentar vi teoremet her: Teorem 8 [Avsn. 4.4]: Anta at B = {b 1,..., b n } er en (ordnet) basis

Detaljer

Repetisjon: Om avsn og kap. 3 i Lay

Repetisjon: Om avsn og kap. 3 i Lay Repetisjon: Om avsn. 2.1-2.4 og kap. 3 i Lay Matrisemultiplikasjon. La A = [a ij ] være en m n matrise og B = [b kl ] være en n p matrise. ] Skriv B = [b 1 b 2 b p. Produktet AB er m p matrisen definert

Detaljer

MAT1120 Notat 1 Tillegg til avsnitt 4.4

MAT1120 Notat 1 Tillegg til avsnitt 4.4 MAT1120 Notat 1 Tillegg til avsnitt 4.4 Dette notatet tar utgangspunkt i Teorem 8 fra avsnitt 4.4 i boka. For ordens skyld gjentar vi dette teoremet her: Teorem 8 [Avsn. 4.4]: Anta at B = {b 1,..., b n

Detaljer

Gauss-Jordan eliminasjon; redusert echelonform. Forelesning, TMA4110 Fredag 18/9. Reduserte echelonmatriser. Reduserte echelonmatriser (forts.

Gauss-Jordan eliminasjon; redusert echelonform. Forelesning, TMA4110 Fredag 18/9. Reduserte echelonmatriser. Reduserte echelonmatriser (forts. Gauss-Jordan eliminasjon; redusert echelonform Forelesning, TMA4110 Fredag 18/9 Martin Wanvik, IMF MartinWanvik@mathntnuno En matrise vil normalt være radekvivalent med flere echelonmatriser; med andre

Detaljer

EKSAME SOPPGAVE MAT-1004 (BOKMÅL)

EKSAME SOPPGAVE MAT-1004 (BOKMÅL) EKSAME SOPPGAVE MAT-00 (BOKMÅL) Eksamen i : Mat-00 Lineær algebra. Dato : Torsdag 09. juni. Tid : 09.00 -.00. Sted: : Teorifagb., hus, plan. Tillatte hjelpemidler : Godkjent kalkulator, to A ark egne notater

Detaljer

7.4 Singulærverdi dekomposisjonen

7.4 Singulærverdi dekomposisjonen 7.4 Singulærverdi dekomposisjonen Singulærverdi dekomposisjon til en matrise A er en av de viktigste faktoriseringene av A (dvs. A skrives som et produkt av matriser). Den inneholder nyttig informasjon

Detaljer

Kap. 6 Ortogonalitet og minste kvadrater

Kap. 6 Ortogonalitet og minste kvadrater Kap. 6 Ortogonalitet og minste kvadrater IR n er mer enn bare et vektorrom: den har et naturlig indreprodukt, nemlig prikkproduktet av vektorer. Dette indreproduktet gjør det mulig å tenke geometrisk og

Detaljer

Eksamensoppgave i MA1201 Lineær algebra og geometri

Eksamensoppgave i MA1201 Lineær algebra og geometri Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i MA1201 Lineær algebra og geometri Faglig kontakt under eksamen: Steffen Oppermann Tlf: 9189 7712 Eksamensdato: 05.10.2016 Eksamenstid (fra til): 08:15 09:45

Detaljer

Emne 7. Vektorrom (Del 1)

Emne 7. Vektorrom (Del 1) Emne 7. Vektorrom (Del 1) Første del av dette emnet innholder lite nytt regnemessig, men vi innfører en rekke nye begreper. Avbildning (image). R m T R n n image(t) Vi kan starte med samme skjematiske

Detaljer

4.1 Vektorrom og underrom

4.1 Vektorrom og underrom 4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. De kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,

Detaljer

3.9 Teori og praksis for Minste kvadraters metode.

3.9 Teori og praksis for Minste kvadraters metode. 3.9 Teori og praksis for Minste kvadraters metode. Vi fortsetter med minste kvadraters problem. Nå skal vi se nærmere på noen teoretiske spørsmål, bl.a. hvordan normallikningene utledes. Minner om MK problemstillingen:

Detaljer

Vær OBS på at svarene på mange av oppgavene kan skrives på flere ulike måter!

Vær OBS på at svarene på mange av oppgavene kan skrives på flere ulike måter! Vær OBS på at svarene på mange av oppgavene kan skrives på flere ulike måter! Oppgave.. a x y = x + y = r r r +r r x y = y fri x y = y fri Vi får én fri variabel, og løsningens har følgelig dimensjon.

Detaljer

Lineære ligningssystemer og gausseliminasjon

Lineære ligningssystemer og gausseliminasjon Kapittel Lineære ligningssystemer og gausseliminasjon Vi skal lære en metode for å finne og beskrive alle løsninger av systemer av m lineære ligninger med n ukjente Oppvarming Her er et eksempel på et

Detaljer

TMA4110 Eksamen høsten 2018 EKSEMPEL 1 Løsning Side 1 av 8. Løsningsforslag. Vi setter opp totalmatrisen og gausseliminerer: x 1 7x 4 = 0

TMA4110 Eksamen høsten 2018 EKSEMPEL 1 Løsning Side 1 av 8. Løsningsforslag. Vi setter opp totalmatrisen og gausseliminerer: x 1 7x 4 = 0 TMA4 Eksamen høsten 28 EKSEMPEL Løsning Side av 8 Løsningsforslag Oppgave Vi setter opp totalmatrisen og gausseliminerer: 2 2 2 4 2 6 2 4 2 6 2 2 Dette gir likningene og 2 2 4 2 6 7 2. x 7x 4 = x 2 + 2x

Detaljer

GENERELLE VEKTORROM. Hittil har vi bare snakket om vektorrom av type

GENERELLE VEKTORROM. Hittil har vi bare snakket om vektorrom av type Emne 8 GENERELLE VEKTORROM Hittil har vi bare snakket om vektorrom av type og underrom av dette. Vi definerte en mengde V som et underrom av hvis det inneholdt og var lukket under addisjon og skalar multiplikasjon.

Detaljer

Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 7 L SNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I SIF5009 MATEMATIKK 3 Bokmål Man

Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 7 L SNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I SIF5009 MATEMATIKK 3 Bokmål Man Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 7 L SNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I SIF59 MATEMATIKK Bokmål Mandag. desember Oppgave a) Karakteristisk polynom er + = ;

Detaljer

9 Lineærtransformasjoner TMA4110 høsten 2018

9 Lineærtransformasjoner TMA4110 høsten 2018 9 Lineærtransformasjoner MA4 høsten 8 I forrige kapittel begynte vi å formulere lineær algebra på en generell måte, ved å gi en abstrakt definisjon av vektorrom For å beskrive sammenhenger mellom forskjellige

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN MA1202/MA6202 VÅR 2010

LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN MA1202/MA6202 VÅR 2010 LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN MA/MA6 VÅR Oppgave. a Radredusering gir A 4 6 5 R, og siden R har to ledende variabler så får vi ranka. Siden A har re kolonner gir dimensjonsteoremet for matriser at nullitya 4

Detaljer

Lineær Algebra og Vektorrom. Eivind Eriksen. Høgskolen i Oslo, Avdeling for Ingeniørutdanning

Lineær Algebra og Vektorrom. Eivind Eriksen. Høgskolen i Oslo, Avdeling for Ingeniørutdanning Lineær Algebra og Vektorrom Eivind Eriksen Høgskolen i Oslo, Avdeling for Ingeniørutdanning c Eivind Eriksen 2005. Innhold Kapittel 1. Lineære likningssystemer 1 1.1. Lineære likningssystemer i to variable

Detaljer

Lineær algebra. 0.1 Vektorrom

Lineær algebra. 0.1 Vektorrom Lineær algebra Siden dette temaet er alt for stort til å kunne gjennomgås på en halvtime, med alle de teoremene og denisjonene som skal til, har jeg laget dette notatet. Det bygger hovedsakelig på notatene

Detaljer

Lineære ligningssystemer og gausseliminasjon

Lineære ligningssystemer og gausseliminasjon Kapittel Lineære ligningssystemer og gausseliminasjon Vi skal lære en metode for å finne og beskrive alle løsninger av systemer av m lineære ligninger med n ukjente. Oppvarming Her er et eksempel på et

Detaljer

4.1 Vektorrom og underrom

4.1 Vektorrom og underrom 4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. Kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,

Detaljer

4.1 Vektorrom og underrom

4.1 Vektorrom og underrom 4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. De kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,

Detaljer

Generelle teoremer og denisjoner MA1201 Lineær Algebra og Geometri - NTNU Lærebok: Anton, H. & Rorres, C.: Elementary Linear Algebra, 11.

Generelle teoremer og denisjoner MA1201 Lineær Algebra og Geometri - NTNU Lærebok: Anton, H. & Rorres, C.: Elementary Linear Algebra, 11. Generelle teoremer og denisjoner MA1201 Lineær Algebra og Geometri - NTNU Lærebok: Anton, H. & Rorres, C.: Elementary Linear Algebra, 11. utgave Jonas Tjemsland 19. november 2014 1 Lineære likningssystemer

Detaljer

Repetisjon: om avsn og kap. 3 i Lay

Repetisjon: om avsn og kap. 3 i Lay Repetisjon: om avsn. 2.1-2.4 og kap. 3 i Lay Matrisemultiplikasjon La A = [a ij ] være en m n matrise og B = [b kl ] være en n p matrise. ] Skriv B = [b 1 b 2 b p der b j -ene er i R n for hver j. Produktet

Detaljer

Universitetet i Agder Fakultetet for teknologi og realfag Institutt for matematiske fag. Eksamen MA desember Lykke til!

Universitetet i Agder Fakultetet for teknologi og realfag Institutt for matematiske fag. Eksamen MA desember Lykke til! Universitetet i Agder Fakultetet for teknologi og realfag Institutt for matematiske fag Eksamen Emnekode: Emnenavn: MA-2 Lineær algebra Dato: Varighet:. desember 2 9. - 4. Antall sider: Tillatte hjelpemidler:

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i MA1202/MA6202 Lineær algebra med anvendelser høsten 2009.

Løsningsforslag til eksamen i MA1202/MA6202 Lineær algebra med anvendelser høsten 2009. Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 9 Løsningsforslag til eksamen i MA/MA6 Lineær algebra med anvendelser høsten 9 Oppgave a) Rangen til A er lik antallet

Detaljer

Lineære ligningssystem; Gauss-eliminasjon, Redusert echelonmatrise

Lineære ligningssystem; Gauss-eliminasjon, Redusert echelonmatrise Lineære ligningssystem; Gauss-eliminasjon, Redusert echelonmatrise E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag 19. september 2011 Lineære ligningssystem Vi har et ligningssystem av m ligninger med

Detaljer

4.4 Koordinatsystemer

4.4 Koordinatsystemer 4.4 Koordinatsystemer Minner om at B = { b 1, b 2,..., b n } V kalles en basis for et vektorrom V dersom B er lineært uavhengig og B utspenner V. I samme vektorrom kan vi innføre ulike koordinatsystemer

Detaljer

TMA4110 Matematikk 3 Eksamen høsten 2018 Løsning Side 1 av 9. Løsningsforslag. Vi setter opp totalmatrisen og gausseliminerer:

TMA4110 Matematikk 3 Eksamen høsten 2018 Løsning Side 1 av 9. Løsningsforslag. Vi setter opp totalmatrisen og gausseliminerer: TMA4 Matematikk 3 Eksamen høsten 8 Løsning Side av 9 Løsningsforslag Oppgave Vi setter opp totalmatrisen og gausseliminerer: 8 5 4 8 3 36 8 4 8 8 8 Den siste matrisen her er på redusert trappeform, og

Detaljer

Lineære likningssystemer

Lineære likningssystemer Kapittel 1 Lineære likningssystemer Jeg tenker på et tall slik at π ganger tallet er 12. 1.1 Lineære likninger Matematikk dreier seg om å løse problemer. Problemene gjøres ofte om til likninger som så

Detaljer

Løsning Eksamensrelevante oppgaver i ELE 3719 Matematikk Vektorer, matriser og lineær algebra Dato Februar Oppgave 1. (A) Vi leser av at

Løsning Eksamensrelevante oppgaver i ELE 3719 Matematikk Vektorer, matriser og lineær algebra Dato Februar Oppgave 1. (A) Vi leser av at Løsning Eksamensrelevante oppgaver i ELE 379 Matematikk Vektorer, matriser og lineær algebra Dato Februar 05 Oppgave. (A) Vi leser av at A = 3 5, B = ( 0 5 ), C = 0 5 9 og har dermed at π x = Ax + BT =

Detaljer

6.4 (og 6.7) Gram-Schmidt prosessen

6.4 (og 6.7) Gram-Schmidt prosessen 6.4 (og 6.7) Gram-Schmidt prosessen La W {0} være et endeligdimensjonalt underrom av et indreprodukt rom V. Man kan starte med en vanlig basis for W og konstruere en ortogonal basis for W. Ønskes det en

Detaljer

MAT Prøveeksamen 29. mai - Løsningsforslag

MAT Prøveeksamen 29. mai - Løsningsforslag MAT0 - Prøveeksamen 9 mai - Løsningsforslag Oppgave Sett A = 4 4 0 x 0, x = x, b =, x 0 og la v, v, v betegne kolonnevektorene til A a) Skriv A x = y som en vektorlikning x Svar : Siden A x = [v v v ]

Detaljer

6 Determinanter TMA4110 høsten 2018

6 Determinanter TMA4110 høsten 2018 6 Determinanter TMA4110 høsten 2018 En matrise inneholder mange tall og dermed mye informasjon så mye at det kan være litt overveldende Vi kan kondensere ned all informasjonen i en kvadratisk matrise til

Detaljer

EKSAMEN I MA1202 LINEÆR ALGEBRA MED ANVENDELSER

EKSAMEN I MA1202 LINEÆR ALGEBRA MED ANVENDELSER Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 10 Faglig kontakt under eksamen: Truls Fretland (73 55 89 87) EKSAMEN I MA1202 LINEÆR ALGEBRA MED ANVENDELSER LØSNINGSFORSLAG

Detaljer

6.4 Gram-Schmidt prosessen

6.4 Gram-Schmidt prosessen 6.4 Gram-Schmidt prosessen La W {0} være et endeligdimensjonalt underrom av R n. (Senere skal vi mer generelt betrakte indreprodukt rom; se seksjon 6.7). Vi skal se hvordan vi kan starte med en vanlig

Detaljer

MAT3000/ Våren 2013 Obligatorisk oppgavesett nr. 2 Løsningsskisse

MAT3000/ Våren 2013 Obligatorisk oppgavesett nr. 2 Løsningsskisse MAT3000/4000 - Våren 2013 Obligatorisk oppgavesett nr. 2 Løsningsskisse Oppgave 1 Din offentlig nøkkel er N = 377 og a = 269, mens lederen av klubben har valgt N = 1829 og a = 7. Passordet som du har mottatt

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT 0 Lineær algebra Eksamensdag: Mandag 0. desember 0 Tid for eksamen: 4.30 8.30. Oppgavesettet er på 7 sider. Vedlegg: Tillatte

Detaljer

Egenverdier og egenvektorer

Egenverdier og egenvektorer Kapittel 9 Egenverdier og egenvektorer Det er ofte hensiktsmessig å tenke på en matrise ikke bare som en tabell med tall, men som en transformasjon av vektorer Hvis A er en m n-matrise, så gir A en transformasjon

Detaljer

Generelle teoremer og definisjoner MA1201 Lineær Algebra og Geometri - NTNU

Generelle teoremer og definisjoner MA1201 Lineær Algebra og Geometri - NTNU Generelle teoremer og definisjoner MA1201 Lineær Algebra og Geometri - NTNU Lærebok: Anton, H & Rorres, C: Elementary Linear Algebra, 11 utgave Jonas Tjemsland 26 april 2015 4 Generelle vektorrom 41 Reelle

Detaljer

Notat2 - MAT Om matriserepresentasjoner av lineære avbildninger

Notat2 - MAT Om matriserepresentasjoner av lineære avbildninger Notat2 - MAT1120 - Om matriserepresentasjoner av lineære avbildninger Dette notatet uftfyller bokas avsn 54 om matriserepresentasjoner av lineære avbildninger mellom endelig dimensjonale vektorrom En matriserepresentasjon

Detaljer

EKSAMEN I TMA4110 MATEMATIKK 3 Bokmål Fredag 4. desember 2009 løsningsforslag

EKSAMEN I TMA4110 MATEMATIKK 3 Bokmål Fredag 4. desember 2009 løsningsforslag Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 7 EKSAMEN I TMA4110 MATEMATIKK 3 Bokmål Fredag 4. desember 2009 løsningsforslag Hjelpemidler (kode C): Enkel kalkulator

Detaljer

MA1202/MA S løsningsskisse

MA1202/MA S løsningsskisse Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA0/MA0 0S løsningsskisse Rettet. august 0 Oppgave a) Vi finner det karakteristiske polynomet, λ 0 λ λ λ λ detλi A) λ 0 λ λ

Detaljer

Universitet i Bergen. Eksamen i emnet MAT121 - Lineær algebra

Universitet i Bergen. Eksamen i emnet MAT121 - Lineær algebra Universitet i Bergen Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Bokmål Eksamen i emnet MAT - Lineær algebra Onsdag 5 september, 0, kl. 09.00-4.00 Tillatte hjelpemidler. kalkulator, i samsvar med fakultetets

Detaljer

Lineær algebra. H. Fausk i=1 a ix i. Her har vi oppgitt hva ledd nummer i skal være og hvilke indekser i vi summerer over.

Lineær algebra. H. Fausk i=1 a ix i. Her har vi oppgitt hva ledd nummer i skal være og hvilke indekser i vi summerer over. Lineær algebra H. Fausk 09.03.2015 Andre utkast Linære likningsystem lar seg løse ved bruk av de elementære regneartene. I prinsippet er det enkelt, men det blir fort veldig mange regneoperasjoner som

Detaljer

6.8 Anvendelser av indreprodukter

6.8 Anvendelser av indreprodukter 6.8 Anvendelser av indreprodukter Vektede minste kvadraters problemer Anta at vi approksimerer en vektor y = (y 1,..., y m ) R m med ŷ = (ŷ 1,..., ŷ m ) R m. Et mål for feilen vi da gjør er y ŷ, der betegner

Detaljer

6.5 Minste kvadraters problemer

6.5 Minste kvadraters problemer 6.5 Minste kvadraters problemer I mange anvendte situasjoner møter man lineære likningssystemer som er inkonsistente, dvs. uten løsninger, samtidig som man gjerne skulle ha funnet en løsning. Hva gjør

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i MA1202/MA6202 Lineær algebra med anvendelser våren 2009.

Løsningsforslag til eksamen i MA1202/MA6202 Lineær algebra med anvendelser våren 2009. Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av Løsningsforslag til eksamen i MA22/MA622 Lineær algebra med anvendelser våren 29 Oppgave a) Rangen til A er lik antallet

Detaljer

Kapittel 3. Mer om egenverdier og egenvektorer. 3.1 Komplekse n-tupler og vektorer

Kapittel 3. Mer om egenverdier og egenvektorer. 3.1 Komplekse n-tupler og vektorer Kapittel 3 Mer om egenverdier og egenvektorer I neste kapittel skal vi lære å løse systemer av difflikninger. Da vil vi trenge egenverdier og egenvektorer, og selv om vi skal løse reelle problemer, vil

Detaljer

MAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 5.4

MAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 5.4 MAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 54 Dette notatet utfyller bokas avsnitt 54 om matriserepresentasjonen (også kalt koordinatmatrisen) til en lineær avbildning mellom to endeligdimensjonale vektorrom

Detaljer

Mer om lineære likningssystemer, vektorer og matriser

Mer om lineære likningssystemer, vektorer og matriser Kapittel Mer om lineære likningssystemer, vektorer og matriser I dette kapittelet tar vi utgangspunkt i lineære likningssystemer, som vi lærte om i MAT, og setter dette inn i et større rammeverk, kalt

Detaljer

5.5 Komplekse egenverdier

5.5 Komplekse egenverdier 5.5 Komplekse egenverdier Mange reelle n n matriser har komplekse egenverdier. Vi skal tolke slike matriser når n = 2. Ved å bytte ut R med C kan man snakke om komplekse vektorrom, komplekse matriser,

Detaljer

Lineær algebra-oppsummering

Lineær algebra-oppsummering Kapittel 9 Lineær algebra-oppsummering Matriser 1 Matriser er et rektangulært sett av elementer ordnet i rekker og kolonner: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij m n a m1 a n2 a mn 2 Kvadratisk matrise:

Detaljer

Øving 3 Determinanter

Øving 3 Determinanter Øving Determinanter Determinanten til en x matrise er definert som Clear@a, b, c, dd K a b OF c d ad -bc Determinanten til en matrise er derfor et tall. Du skal se at det viktige for oss er om tallet er

Detaljer

5.8 Iterative estimater på egenverdier

5.8 Iterative estimater på egenverdier 5.8 Iterative estimater på egenverdier Det finnes ingen eksplisitt formel for beregning av egenverdiene til en kvadratisk matrise. Iterative metoder som finner (ofte) en (meget god) approksimasjon til

Detaljer

EKSAMENSOPPGAVER FOR TMA4110/TMA4115 MATEMATIKK 3

EKSAMENSOPPGAVER FOR TMA4110/TMA4115 MATEMATIKK 3 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 25 2. januar 25 EKSAMENSOPPGAVER FOR TMA4/TMA45 MATEMATIKK 3 Oppgave A- a) Finn kvadratrøttene til det komplekse tallet

Detaljer

MAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 5.4

MAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 5.4 MAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 54 Dette notatet utfyller bokas avsnitt 54 om matriserepresentasjoner (også kalt koordinatmatriser) av lineære avbildninger mellom endeligdimensjonale vektorrom En slik

Detaljer

Eksamen i ELE Matematikk valgfag Torsdag 18. mai Oppgave 1

Eksamen i ELE Matematikk valgfag Torsdag 18. mai Oppgave 1 Eksamen i ELE79 - Matematikk valgfag Torsdag 8. mai 07 LØSNINGFORSLAG Oppgave (a) Den utvidede matrisen til likningssystemet er 6 Gausseliminasjon: ganger rad I legges til rad II: 0 0 Rad I trekkes fra

Detaljer

4 Matriser TMA4110 høsten 2018

4 Matriser TMA4110 høsten 2018 Matriser TMA høsten 8 Nå har vi fått erfaring med å bruke matriser i et par forskjellige sammenhenger Vi har lært å løse et lineært likningssystem ved å sette opp totalmatrisen til systemet og gausseliminere

Detaljer

Obligatorisk oppgave nr1 MAT Lars Kristian Henriksen UiO

Obligatorisk oppgave nr1 MAT Lars Kristian Henriksen UiO Obligatorisk oppgave nr1 MAT-1120 Lars Kristian Henriksen UiO 21. oktober 2014 Oppgave 1 i) Minste k slik at P k kun har positive elementer er 6. Finner x* ved å laste oslo.m, for så å skrive følgende

Detaljer

16 Ortogonal diagonalisering

16 Ortogonal diagonalisering Ortogonal diagonalisering Ortogonale matriser Definisjon (Def 7) En n n matrise A kalles ortogonal dersom den er invertibel og A A T Denne betingelsen er ekvivalent til at der I n er n n identitesmatrisen

Detaljer

TMA4110 Matematikk 3 Haust 2011

TMA4110 Matematikk 3 Haust 2011 Noregs teknisk naturvitskaplege universitet Institutt for matematiske fag TMA4 Matematikk Haust Løysingsforslag Øving Oppgåver frå læreboka kap. 6., s. 7 u v = ( 7)+( 5) ( 4)+( ) 6 = u = +( 5) +( ) = v

Detaljer