16 Ortogonal diagonalisering

Transkript

1 Ortogonal diagonalisering Ortogonale matriser Definisjon (Def 7) En n n matrise A kalles ortogonal dersom den er invertibel og A A T Denne betingelsen er ekvivalent til at der I n er n n identitesmatrisen AA T A T A I n Teoremet nedenfor oppsummerer flere setninger fra Ch 7: Teorem Gitt en n n matrise A A r r r n er ortogonal hviss radene r i er ortonormale: r i r j { hvis i j 0 hvis i j A [ c c c n er ortogonal hviss kolonnene c i er ortonormale: c i c j A er ortogonal hviss A er ortogonal { hvis i j 0 hvis i j A er ortogonal hviss for alle x R n A er ortogonal hviss for alle x y R n Ax x Ax Ay x y Hvis A og B er ortogonale er også AB ortogonal 7 Hvis A er ortogonal er det A ±

2 Merknad Legg merke til en viss motsigelse i terminologien: ortogonale matriser tilsvarer ortonormale rader eller kolonner Det finnes ikke (og trengs ikke) navn i matematikk for matriser som har ortogonale rader eller kolonner Merknad A er ortogonal hviss tilsvarende matriseoperator bevarer lengdene til vektorer: T T A : R n R n T (x) x x R n Slike operatore kalles bevegelser ( movements) Alle slike operatorer kan beskrives som rotasjoner (se teksten etter Table ) refleksjoner: se teksten etter formelen () eller komposisjoner av disse Eksempel (Table ) Rotasjonen T A : R R med rotasjonsvinkelen ( angle of rotation) ϕ har matrisen [ cos ϕ sin ϕ A sin ϕ cos ϕ Eksempel (Ex 7) Refleksjonen T A : R R om en linje gjennom origo som danner vinkelen ϕ med x-aksen har matrisen [ cos ϕ sin ϕ A sin ϕ cos ϕ Merknad 7 Alle ortogonale matriser tilsvarer enten rotasjoner eller refleksjoner Eksempel 8 Det finnes uendelig mange rasjonale ortogonale matriser: [ A : rotasjon med vinkelen ϕ cos ( ) 0 (radianer) 87 A [ refleksjon om linjen som danner vinkelen ϕ cos ( ) 08 (radianer) : 0

3 7 A [ A A 7 8 A 8 A 7 8 A Se andre eksempler fra Ch : Eksempel (Table og ) (rotasjon om z-aksen) A A cos ϕ sin ϕ 0 sin ϕ cos ϕ cos ϕ sin ϕ 0 sin ϕ cos ϕ (komposisjonen av rotasjonen om x-aksen med refleksjonen om yz-planet)

4 Diagonalisering Definisjon 0 (Def 7 og nedenfor) To n n matriser A og B kalles ortogonalt similære dersom det eksisterer en ortogonal matrise P slik at P T AP P AP B En n n matrise A kalles ortogonalt diagonaliserbar dersom den er ortogonalt similær til en diagonalmatrise D dvs det eksisterer en ortogonal matrise P slik at P T AP P AP D Eksempel Matrisen [ P er ortogonal derfor matrisen [ A er ortogonalt diagonaliserbar fordi [ P T AP T [ [ er en diagonalmatrise Eksempel Matrisen er ortogonal derfor matrisen P A er ortogonalt diagonaliserbar fordi P T AP er en diagonalmatrise T [

5 Ortogonalt diagonaliserbare matriser er beskrevet i følgende Teorem (se Th 7 og 7): Teorem Gitt en n n matrise A A er ortogonalt diagonaliserbar hviss A er symmetrisk A er ortogonalt diagonaliserbar hviss R n har en ortonormal basis av egenvektorer til A Merknad Det er nok a hå en ortogonal basis av egenvektorer til A siden envher slik basis kan normaliseres (e i ei e i ) og de nye vektorene ei e i blir fortsatt egenvektorer til A Hvis A er symmetrisk er alle egenverdiene reelle (ikke komplekse) Hvis A er symmetrisk er egenvektorer som tisvarer forskjellige egenverdier ortogonale Teoremet gir oss en algoritme hvordan å diagonalisere symmetriske matriser ortogonalt: Diagonaliser matrisen på en vanlig måte dvs finn en basis som består av egenvektorer Teoremet garanterer at en slik basis eksisterer Egenvektorer fra forskjellige egenrom er automatisk ortogonale Problemet er med egenvektorer fra det samme egenrommet Bruk Gram- Schmidt på dem Du fikk en ortogonal basis av egenvektorer Normaliser basisen for å få en ortonormal basis Sett resulterende basisvektorer som kolonner i en ortogonal matrise P Der er ikke lurt å bruke eksempler med rasjonale ortogonale matriser på eksamen Som man ser i eksempler ovenfor blir egenverdiene nokså store ({ 0} i Eks og { } i Eks ) Man må ofre noe: enten rasjonaliteten til ortogonale matriser eller enkeltheten av egenverdier/egenvektorer Jeg vil ofre rasjonaliteten Se det typiske Ex 7 Nedenfor er et eksempel med forskjellige egenverdier Eksempel Det karakteristiske polynomet er A 0 0 p (t) t + b t + b t + b 0

6 (se Kompendium Seksjon ) der b tr (A) 7 b 0 det (A) 8 b dvs p (t) t 7t + t 8 Anta at egenverdiene er hele tall I følge Ex er b 0 8 delelig med alle egeverdier Vi har da følgende muligheter: λ ± ± ± ±8 Husk også (Kompendium Seksjon ) at Vi finner da egenverdiene: og egenvektorene: λ + λ + λ b tr (A) 7 λ λ λ b 0 det A 8 λ λ λ λ : A I x x x 0 0 t t t t G J t 0 λ : A I x x x t 0 t G J t t 0

7 λ : A I x x x 0 0 t t t t G J t Egenvektorene vi fikk er automatisk ortogonale fordi de tilsvarer forskjellige egenverdier { } Det gjenstår bare å normalisere dem: e 0 e 0 e 0 La oss sette vektorene som kolonner i matrisen P : P 0 La oss kontrollere resultatet (skal ikke kreves på eksamen!): P P T T T

8 P er ortogonal P T AP Spektral dekomposisjon Hvis A er en symmetrisk matrise og U (u u u n ) 0 er en ortonormal basis for R n som består av egenvektorer til A så er i følge formelen (78) A λ B + λ B + + λ n B n der B i u i u T i Det er en interessant forbindelse med Oblig oppgave c Siden { u T hvis i j i u j u i u j 0 hvis i j er (B i ) B i B i u i u T i u iu T i u i u T i B i ; B i B j u i u T j u iu T j u i0u T i 0 hvis i j La oss ta n (generaliseres enkelt til et vilkårlig n): A (λ B + λ B + λ B )

9 Analogt er λ B + λ λ B B + λ λ B B + λ λ B B + λ λ B B +λ B + λ λ B B + λ λ B B + λ B λ B + λ B + λ B A (λ B + λ B + λ B ) (λ B + λ B + λ B ) og λ B + λ B + λ B A s λ s B + λ s B + λ s B Eksempel (Ex 7) A [ λ [ [ U (u u ) [ [ ([ [ ) [ A ( ) [ T [ [ T + ( ) [ A ( ) [ A ( ) [ A 0 ( ) 0 [ Det er ingen tvil om at [ + [ + [ + [ + 0 A s ( ) s [ [ [ [ 8 [ [ 0 [ [ + s [ 0 7

10 Disse beregningene kan også brukes for andre analytiske funksjoner: [ [ f (A) f ( ) + f () [ [ sin (A) sin ( ) + sin () [ [ e At e t + e t osv 8