Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 7 L SNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I SIF5009 MATEMATIKK 3 Bokmål Man

Transkript

1 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 7 L SNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I SIF59 MATEMATIKK Bokmål Mandag. desember Oppgave a) Karakteristisk polynom er + = ; med r tter = + i; = i: Generell l sning : y = e t (C cos t + C sin t) () b) Som partikulær l sning pr ver vi med y p = Ce t ; som innsatt i likningen gir Ce t + Ce t + Ce t = e t altså C = =5: Generell l sning : y = y h + y p = e t (C cos t + C sin t) + 5 et () Initialbetingelsen gir C = =5; C = =5;og derfor l sningen y = 5 et ( cos t + sin t) + 5 et () c) På normalform er likningen x + t x = t som har integrerende faktor M (t) = e R t dt = e =t. Derfor (e =t x) = t e =t og integrasjon av begge sider gir e =t x = Z t e =t dt = e =t + C

2 SIF 59 Matematikk Side av 7 og derav generell l sning (gyldig for t 6= ) x(t) = + Ce =t som med initialbetingelsen x() = + e gir C = ; altså l sningen x(t) = + e =t (4) d) Tilh rende homogen likning har karakteristisk polynom ( ) = ; altså = = ; derav generell l sning Vi s ker en partikulær l sning av type y h = C e t + C te t y p = e t u + te t u ved metoden variasjon av parametre, hvor u og u er l sningen av et lineært likningssystem, som etter kansellering av faktoren e t blir t = + t t Det gir og generell l sning u u u = t =) u = t ; y p = t et t t et = t et u = t =) u = t y = y h + y p = C e t + C te t + t et (5) Oppgave Likningen kan skrives z 5 = 5 ( p + i) = 5 e i ; hvor = 5 6 ß = 5ffi

3 SIF 59 Matematikk Side av 7 Det gir l sningene z k = e i(5ß=6+kß)=5 ; k = ; ; ; ; 4 (6) Merk at z = e iß=6 ; z = z!; z = z! ; z = z! ; z 4 = z! 4 hvor! = e ßi=5 oppfyller! 5 =. Tallene z i ligger på sirkelen med p radius omring origo, danner en regulær 5-kant, og i f rste kvadrant ligger hj rnet z = + i: Oppgave Ved elementære radoperasjoner får en for eksempel : A = s s 4 6 s 4 = A red (7) hvor siste matrise er på redusert trappeform (og derfor entydig bestemt av A): Den nest siste matrise er en trappematrise som ikke er redusert, men som også kan benyttes i resten av oppgaven. Vi får l sningene 64 x x x x = 7r 9s r + s r s = r s (8) b) L sningsrommet er Null(A) = Row(A)?, som er -dimensjonalt, med basis som vist ovenfor. Siden trappematrisen har to rader som ikke er identisk lik, er også dim Row(A) = dim Col(A) = : Alternativt kan en si at dim Row(A) = 4 dim Row(A)? = :

4 SIF 59 Matematikk Side 4 av 7 De to f rste radene til trappematrisen er en basis for Row(A): F rste og andre kolonne i trappematrisen er pivot -kolonner (dvs. har en ledende koeffisient), slik at de to f rste kolonnene til A er en basis for Col(A): Bemerkning For vår matrise A ser en lett at ingen kolonne (resp. rad) er et multiplum av en annen kolonne (resp. rad) slik at et hvilket som helst utvalg av to kolonner (resp. rader) fra A er en basis for det -dimensjonale rommet Col(A) (resp. Row(A)). c) La c ; ::; c 4 være kolonnevektorene til A. Likningen Ax = b kan skrives som x c + x c + x c + x 4 c 4 = b; (9) og f lgelig har likningen en l sning x = [x ; x ; x ; x 4 ] T hvis og bare hvis b er en lineær kombinasjon av c ; c ; c ; c 4, dvs. b tilh rer Col(A): For den gitte vektor b = [; ; ; ] T har likningsystemet ingen l sning. For eksempel kan en vise at b ikke er en lineær kombinasjon av to (vilkårlig valgte) kolonner til A, siden disse kolonner vil utspenne Col(A): Alternativt kan en starte med den utvidede koeffisientmatrise [A; b] og transformere denne til trappeform. Med radoperasjonene brukt i a) får en: s Λ Λ hvor Λ betyr tall 6= : Likningsystemet er derfor inkonsistent. Oppgave 4 a) Karakteristisk polynom : det = ( 5)( ) =

5 SIF 59 Matematikk Side 5 av 7 Egenvektorer med valg av tilh rende (normaliserte) egenvektorer : = 5 ψ! v = p ; = ψ! v = p () b) Matrisen P =" p p p med kolonnevektorer v og v er ortogonal, og P T AP = D = p 5 # ; () Med dette valget av egenvektorer er også det(p ) = ; og P er en rotasjonsmatrise med rotasjonsvinkel = ß=4 (= 45 ffi ): y y = y Generell l sning av differensiallikningsystemet er = C e 5t + C e t = C e 5t C e t C e 5t + C e t () c) Innf rer et nytt koordinatsystem, med koordinater (x ; y ) hvor positiv x -akse peker i retningen til v og positiv y -akse har retningen til v : Koordinatsystemet oppnås altså ved å rotere xy-aksesystemet 45 ffi i positiv omdreiingsretning. Sammenhengen mellom gamle og nye koordinater : x x = P y y som ved innsetting gir : x + 4xy + y p x + = p x y x + y p y = 5x + y + y Ny likning for kjeglesnittet : x + 5 (y + ) = () Dette er en ellipse med halvakser og 5, og med sentrum i (x ; y ) = (; ):

6 SIF 59 Matematikk Side 6 av 7 Til slutt kan en også translatere koordinatsystemet (med samme akse-retninger) slik at sentrum blir det nye origo, som gir enklest mulig form (x ) + 5 (y ) = hvor x = x og y = y + : Men dette siste punkt er uvesentlig hvis tegningen ellers viser plasseringen av kjeglesnittet og x - og y -aksene i xy-planet. Oppgave 5 Ortogonaliseringsalgoritmen gir u = v v u u u u = u = v v u u u u v u u u u = u = v = = 64 = Span fv ; v ; v g = Span fu ; u ; u g = V og fu ; u ; u g er en ortogonal basis for V: Merk at lengden til ui er uvensentlig i denne oppgave; spesielt er det naturlig å sl yfe faktoren = til u ovenfor i det endelige svar. Oppgave 6 Vektorer x og y oppfattes som kolonnevektorer, dvs. n-matriser. Siden en ortogonal matrise P oppfyller P T P = I, har vi når indre produktet (= prikkproduktet) mellom vektorer uttrykkes som produkt av matriser : P x P y = x T P T P y = x T I y = x T y = x y (4)

7 SIF 59 Matematikk Side 7 av 7 Settes y = x får en på samme måte kxk = kp xk ; kyk = kp yk og spesielt gjelder implikasjonene kxk = kyk = =) kp xk = kp yk = (5) x y = =) P x P y = og det var dette som skulle vises.