Kap. 5 og Notat 2 Oppsummering

Transkript

1 Kap. 5 og Notat 2 Oppsummering Vi lar A være en reell n n matrise, med mindre noe annet sies. x R n er en egenvektor for A tilh. egenverdien λ R betyr at A x = λ x og x 0. Hvis A er triangulær, er egenverdiene alle koeff. langs hoveddiagonalen. Anta at v 1, v 2,..., v p er egenvektorer for A som tilhører forskjellige egenverdier λ 1, λ 2,..., λ p. Da er v 1, v 2,..., v p lineært uavhengige. p A (t) = det(a t I ) kalles det karakteristiske polynomet til A. Har at λ er egenverdi for A p A (λ) = 0 Multiplisiteten til en egenverdi λ er multiplisiteten til λ som en rot i p A (t). E λ = Nul (A λi ) kalles egenrommet til A ass. med en egenverdi λ. Har alltid at dim E λ multiplisiteten til λ 1 / 9

2 To n n matriser A og B kalles similære hvis det fins en invertibel matrise P slik at P 1 AP = B (m.a.o. A = PBP 1 ). Similære matriser har samme karakteristiske polynom og derfor samme egenverdier (med samme multiplisitet). A kalles diagonaliserbar dersom A = PDP 1 for en invertibel matrise P og en diagonalmatrise D. Kolonnene til P er da en basis for R n som består av egenvektorer for A og diagonalkoeffisientene til D er de tilhørende egenverdiene. Omvendt, hvis v 1,..., v n er en basis for R n som består av egenvektorer for A tilhørende egenverdiene λ 1,..., λ n, så er A diagonaliserbar og diagonaliserer A. P = [v 1 v n ], D = diag(λ 1,..., λ n ) 2 / 9

3 Diagonalisering av A: - Bestem de forskjellige egenverdiene til A: λ 1,..., λ p. - For hver j bestem en basis B j for E j = Nul (A λ j ). - Dersom dim E j < mult. til λ j for en j er A ikke diag.bar. - Ellers er j dim E j = n og A er diagonaliserbar: P = [B 1... B p ] er da invertibel og P 1 A P der diagonalmatrisen med de tilh. λ j -ene langs diagonalen, gjentatt i henhold til deres multiplisitet. Spesielt, hvis A har n forskjellige egenverdier, så er A diag.bar. Man kan også betrakte komplekse egenverdier og egenvektorer for A ved å la den virke på C n. Anta A er reell 2 2 matrise med kompleks egenverdi λ = a bi (b 0) og tilhørende egenvektor z C 2. La P = [ Re z Imz ]. Da er P invertibel og [ ] a b A = P P 1. b a 3 / 9

4 La x 0 R n og sett x k+1 = A x k, k 0, så x k = A k x 0. Anta at A er diagonaliserbar. Skriv A = PDP 1 der P = [v 1 v n ], D = diag(λ 1,..., λ n ). Hvis x 0 = c 1 v c n v n er x k = c 1 λ k 1 v c n λ k n v n. Dette kan ofte brukes til å si noe om hva som skjer med x k når k. Kan også substituerere y k = P 1 x k, dvs x k = Py k. Får da y k = D k y 0 = diag(λ k 1,..., λk n) y 0. Dersom A har noen komplekse egenverdier og A er diagonaliserbar når den betraktes som en kompleks matrise, kan argumentasjonen ovenfor gjennomføres på essentielt samme måte, bortsett fra at P og D er nå komplekse matriser. 4 / 9

5 Betrakt et 1. ordens lin. diff. likn. system x (t) = A x(t), t R. Anta A er diagonaliserbar og skriv A = PDP 1 der P = [v 1 v n ], D = diag(λ 1,..., λ n ). Substitusjonen x(t) = Py(t) gir at x(t) = Py(t) = c 1 v 1 e λ 1t + + c n v n e λnt Dersom x(0) er oppgitt kan c 1,..., c n bestemmes ved å løse systemet man får ved å sette inn t = 0 ovenfor. Anta at A har en kompleks egenverdi λ = a + i b der b 0 og at v C n er en tilhørende egenvektor. Da er λ = a i b også en egenverdi med tilh. egenvektor v. Med e λt = e at (cos bt + i sin bt) blir z(t) = v e λt og z(t) = v e λt komplekse (konjugerte) løsninger av systemet. Realdel og imaginærdel av z(t) = v e λt gir to (lin.uavhengige) reelle løsninger av systemet x = A x. 5 / 9

6 Potensmetoden for å estimere en en strengt dominant egenverdi λ 1 til en diagonaliserbar matrise A. Velg en startvektor x 0 med med største element 1 (i abs.verdi). For k = 0, 1, 2,... Beregn A x k. La µk være en komponent i A x k som har størst absoluttverdi blandt alle komponentene. Beregn xk+1 = (1/µ k )A x k. For nesten alle valg av x 0 vil µ k konvergere mot λ 1 og x k konvergere mot en tilhørende egenvektor. Den inverse potensmetoden for å estimere en egenverdi λ til A (skisse) : Velg et estimat α i nærheten av λ; så (λ α) 1, som er en egenverdi til B = (A αi ) 1, blir stor (i abs. verdi). Forutsatt at (λ α) 1 er streng dominant, kjør potensmetoden på B til å finne et estimat µ for (λ α) 1 (og en estimert tilh. egenvektor x). Da blir α + 1/µ et estimat for λ (med tilh. estimert egenvektor x). I praksis kan det unngåes å regne ut B ovenfor. 6 / 9

7 Betrakt T : V W lineær der dim V = n og dim W = m. Anta at B = {b 1,..., b n } er en basis for V, og at C er en basis for W. Koordinatmatrisen til T relativt til B og C er m n matrisen M gitt ved [ M = [T (b 1 )] C [T (b n )] C ]. Vi har da at [T (v)] C = M [v] B for alle v V. Matrisen M og avb. T M : R n R m inneholder all informasjon om T. Vi har f.eks. at T er 1-1 T M er 1-1 Nul M = {0}. T er på W T M er på R m Col M = R m. T er en isomorfi m = n og T M er en isomorfi m = n og M er invertibel, og da er matrisen til T 1 relativt til C og B lik M 1. 7 / 9

8 Spesialtilfelle: T : V V (så W = V ) og C = B Matrisen M betegnes da ved [T ] B. Med andre ord: [ ] [T ] B = [T (b 1 )] B [T (b n )] B og vi har at [T (v)] B = [T ] B [v] B for alle v V. Videre har vi at T er 1-1 T er på V T er en isomorfi [T ] B er invertibel, og da er [T 1 ] B = ( [T ] B ) 1. Hvis B også er en basis for V, er [T ] B = P B B [T ] B P B B = P B B [T ] B (P B B) 1 Spesielt er [T ] B og [T ] B similære. 8 / 9

9 Eksempel. La A M n n og betrakt T A : R n R n gitt ved T A (x) = A x. Anta B = {v 1,..., v n } er en basis for R n. Sett P = [v 1 v n ], så P = P B B der B er stand.basisen for R n. Da er A = [T A ] = P [T A ] B P 1, m.a.o. [T A ] B = P 1 A P. Anta A er diagonaliserbar: A = P D P 1. La B være basisen for R n som består av kolonnene til P. Da er [T A ] B = D. Omvendt, anta at det finnes en basis B = {v 1,..., v n } for R n slik at [T A ] B er en diagonalmatrise D. Da er A diagonaliserbar: P = [v 1 v n ] gir P 1 A P = D. 9 / 9