EKSAMENSOPPGAVE. 4 (1+3) Det er 12 deloppgaver (1abc, 2abcd, 3abc, 4ab) Andrei Prasolov

Transkript

1 Fakultet for naturvitenskap og teknologi EKSAMENSOPPGAVE Eksamen i: Mat-004 Lineær algebra Dato: Torsdag. juni 207 Klokkeslett: Sted: Åsgårdvegen 9 Tillatte hjelpemidler: Godkjent kalkulator, to A4 ark egne notater (håndskrevne, trykte, eller blandede) og Rottmanns tabeller. Type innføringsark (rute/linje): Antall sider inkl. forside: Kontaktperson under eksamen: 4 (+3) Det er 2 deloppgaver (abc, 2abcd, 3abc, 4ab) Andrei Prasolov Telefon/mobil: NB! Det er ikke tillatt å levere inn kladdepapir som del av eksamensbesvarelsen. Hvis det likevel leveres inn, vil kladdepapiret bli holdt tilbake og ikke bli sendt til sensur. Postboks 6050 Langnes, N-9037 Tromsø / / postmottak@uit.no / uit.no

2 Begrunn svarene dine, vis fremgangsmåten ved oppgaveløsningen tydelig! OPPGAVE Gitt matrisen A = a) Finn en basis for radrommet (the row space) til A. b) Finn en basis for kolonnerommet (the column space) til A. c) Betrakt følgende vektor i R 4 : b = som avhenger av parameteren r. Undersøk for hvilken verdi av r tilhører b kolonnerommet col (A) (b col (A)). 2 OPPGAVE r, La A = a) Finn det karakteristiske polynomet (the characteristic polynomial) til matrisen A. b) Vis at 5 og er egenverdier (eigenvalues) til A. c) Finn en invertibel matrise P og en diagonalmatrise D slik at P AP = D. d) Finn en ortogonal matrise Q slik at Q AQ = Q T AQ = D.

3 3 OPPGAVE La V = Mat 2 2 være vektorrommet av alle reelle 2 2 matriser. Definer en operator S : V V ved S(X) = X + X T. For eksempel, hvis [ 2 X = er S (X) = [ 2 [ 2 +, T = [ a) S er en lineær operator (du behøver ikke vise at den er lineær). Velg en basis B for V og finn matrisen [S B til S med hensyn til denne basisen (matrix for S relative to the basis B). b) Finn en basis for bildet R (S) til S (the range of S). c) La Y = [ 3 3. Finn alle matriser X V som tilfredsstiller likningen S (X) = Y. 2

4 4 OPPGAVE Vi minner om at den konjugert-transponerte (the conjugate transpose) til en kompleks matrise X er X = ( X ) T = (XT ) der () er konjugasjonen, og () T er transponeringen. Gitt matrisene som avhenger av en kompleks parameter z: [ 2 z A (z) =, 2 + 4i i z B (z) = i i a) Undersøk for hvilken verdi av z er matrisen A (z) Hermitsk (Hermitian, (A (z)) = A (z)). b) Undersøk for hvilken verdi av z er matrisen B (z) unitær (unitary, (B (z)) = (B (z)) ). LYKKE TIL! 3

5 Fakultet for naturvitenskap og teknologi EKSAMENSOPPGÅVE Eksamen i: Mat-004 Lineær algebra Dato: Torsdag. juni 207 Klokkeslett: Sted: Åsgårdvegen 9 Lovlige hjelpemiddel: Godkjent kalkulator, to A4 ark eigne notatar (handskrivne, trykte, eller blanda) og Rottmanns tabellar. Type innføringsark (rute/linje): Antal sider inkl. forside: Kontaktperson under eksamen: 4 (+3) Det er 2 deloppgåver (abc, 2abcd, 3abc, 4ab) Andrei Prasolov Telefon/mobil: NB! Det er ikkje tillate å levera inn kladdepapir som del av eksamensbesvarelsen. Viss det likevel vert levert inn, vil kladdepapiret haldast tilbake og ikkje sendast til sensur. Postboks 6050 Langnes, N-9037 Tromsø / / postmottak@uit.no / uit.no

6 Grunngi svara dine, vis framgangsmåten ved oppgåveløysinga tydeleg! OPPGÅVE Gitt matrisa A = a) Finn ein basis for radrommet (the row space) til A. b) Finn ein basis for kolonnerommet (the column space) til A. c) Sjå på følgjande vektor i R 4 : b = som avheng av parameteren r. Undersøk for kva for ein verdi av r tilhøyrer b kolonnerommet col (A) (b col (A)). 2 OPPGÅVE r, La A = a) Finn det karakteristiske polynomet (the characteristic polynomial) til matrisa A. b) Vis at 5 og er eigenverdiar (eigenvalues) til A. c) Finn ei inverterbar matrise P og ei diagonalmatrise D slik at P AP = D. d) Finn ei ortogonal matrise Q slik at Q AQ = Q T AQ = D.

7 3 OPPGÅVE La V = Mat 2 2 vere vektorrommet av alle reelle 2 2 matriser. Definer ein operator S : V V ved S(X) = X + X T. Til dømes, viss [ 2 X = er S (X) = [ 2 [ 2 +, T = [ a) S er ein lineær operator (du treng ikkje vise at den er lineær). Vel ein basis B for V og finn matrisa [S B til S med omsyn til denne basisen (matrix for S relative to the basis B). b) Finn ein basis for biletet R (S) til S (the range of S). c) La Y = [ 3 3. Finn alle matriser X V som tilfredsstiller likninga S (X) = Y. 2

8 4 OPPGÅVE Vi minner om at den konjugert-transponerte (the conjugate transpose) til ei kompleks matrise X er X = ( X ) T = (XT ) der () er konjugasjonen, og () T er transponeringen. Gitt matrisene som avheng av ein kompleks parameter z: [ 2 z A (z) =, 2 + 4i i z B (z) = i i a) Undersøk for kva for ein verdi av z er matrisen A (z) Hermitsk (Hermitian, (A (z)) = A (z)). b) Undersøk for kva for ein verdi av z er matrisen B (z) unitær (unitary, (B (z)) = (B (z)) ). TIL LYKKE! 3