EKSAMENSOPPGAVE. Vil det bli gått oppklaringsrunde i eksamenslokalet? Svar: JA Hvis JA: ca. kl.10:00 og 12:00

Transkript

1 Fakultet for naturvitenskap og teknologi EKSAMENSOPPGAVE Eksamen i: MAT-1003 Kalkulus 3 Dato: Tirsdag Klokkeslett: 09:00-13:00 Sted: Åsgårdvegen 9 Tillatte hjelpemidler: Pedersen et al.: Teknisk formelsamling med tabeller, Rottmanns formelsamling, A4 ark med egne notater (fire sider). Kalkulator er ikke tillatt. Type innføringsark (rute/linje): Antall sider inkl. forside: Kontaktperson under eksamen: Telefon/mobil: Ruter 3 Kristoffer Rypdal Vil det bli gått oppklaringsrunde i eksamenslokalet? Svar: JA Hvis JA: ca. kl.10:00 og 1:00 NB! Det er ikke tillatt å levere inn kladdepapir som del av eksamensbesvarelsen. Hvis det likevel leveres inn, vil kladdepapiret bli holdt tilbake og ikke bli sendt til sensur. Postboks 6050 Langnes, N-9037 Tromsø / / postmottak@uit.no / uit.no

2 Bokmål Skriv ellipsen Oppgave 1 x a + y b = 1 (1) som en parametrisert kurve X(t) = (x(t), y(t)). I resten av oppgavesettet skal vi kalle denne kurven C. Betrakt et skalarfelt Oppgave f(x, y, z) = x a + y b + z c, der a, b, c er positive, reelle konstanter. Et område V i R 3 består av punktene (x, y, z) som tilfredsstiller ulikheten f(x, y, z) 1. Randen til V (dvs. flaten f(x, y, z) = 1) er en lukket flate S som kalles en ellipsoide. Forklar hvorfor ellipsen C fra Oppgave 1 er randen til projeksjonen (skyggen) av ellipsoiden ned på xy-planet. Oppgave 3 Forklar hvorfor volumet av området V kan uttrykkes som det itererte integralet volum V = 1 b 1 x /a c 1 x /a y /b 1 b 1 x /a dz dy dx. c 1 x /a y /b Underbygg forklaringen med en eller flere figurer. Beregning av dette integralet krever mye arbeid, så dette skal vi heller gjøre på en enklere måte i Oppgave 5. Oppgave 4 Innfør et nytt sett av variable (r, s, t) definert slik at x a = r sin s cos t, y b = r sin s sin t, z c = r cos s. () Vis at hvis vi setter r = 1 og lar s og t være parametre som varierer over rektanglet R = {(s, t) 0 s π, 0 t < π}, så beskriver likning () ellipsoiden f(x, y, z) = 1. 1

3 Oppgave 5 Bruk teoremet for variabelskifte i trippelintegral og likning () til beregne volum V. Oppgave 6 Beregn f på ellipsoideflaten S som funksjon av parametrene s og t, og beregn tangenten T s og T t til flaten. Vis at f står vinkelrett på tangentene. Oppgave 7 Vis at standardnormalen til flaten S kan skrives på formen, ( x N = abc sin s a, y b, z ), c og beregn flateintegralet F ds av vektorfeltet F(x, y, z) = xi + yj + zk. S Oppgave 8 Beregn F og integralet F dv. Hvordan kunne vi ha funnet dette integralet V fra resultatet i Oppgave 7 uten regning? Oppgave 9 Betrakt vektorfeltet G(x, y, z) = yi + xj. Beregn G og integralet S + G ds, der S + er den delen av flaten S som ligger over xy-planet (z > 0). Oppgave 10 Finn linjeintegralet G ds langs ellipsen C definert i likning (1). Hvordan kunne vi ha C funnet dette integralet fra resultatene i Oppgave 9 uten regning?

4 Fakultet for naturvitenskap og teknologi EKSAMENSOPPGÅVE Eksamen i: MAT-1003 Kalkulus 3 Dato: Tirsdag Klokkeslett: 09:00-13:00 Stad: Åsgårdvegen 9 Lovlege hjelpemiddel: Pedersen et al.: Teknisk formelsamling med tabeller, Rottmanns formelsamling, A4 ark med eigne notat (fire sider). Kalkulator er ikkje tillete. Type innføringsark (rute/linje): Antall sider inkl. forside: Ruter 3 Kontaktperson under eksamen: Telefon/mobil: Skal det gåast trøysterunde i eksamenslokalet? Svar: JA Hvis JA: kl.10:00 og 1:00 NB! Det er ikkje lov å levere inn kladd saman med svaret. Om det likevel leverast inn, vil kladden bli heldt tilbake og ikkje sendt til sensur. Postboks 6050 Langnes, N-9037 Tromsø / / postmottak@uit.no / uit.no

5 Nynorsk Skriv ellipsen Oppgåve 1 x a + y b = 1 (1) som ei parametrisert kurve X(t) = (x(t), y(t)). I resten av oppgåvesettet skal vi kalla denne kurva C. Sjå på eit skalarfelt Oppgåve f(x, y, z) = x a + y b + z c, der a, b, c er positive, reelle konstantar. Eit område V i R 3 omfattar punktane (x, y, z) som tilfredsstiller ulikheten f(x, y, z) 1. Randen til V (dvs. flata f(x, y, z) = 1) er ei lukka flate S som kallas en ellipsoide. Forklar kvifor ellipsen C frå Oppgåve 1 er randen til projeksjonen (skugga) av ellipsoiden ned på xy-planet. Oppgåve 3 Forklar kvifor volumet av området V kan skrivast som det itererte integralet volum V = 1 b 1 x /a c 1 x /a y /b 1 b 1 x /a dz dy dx. c 1 x /a y /b Underbygg forklaringa med ein eller fleire figurar. Utrekning av dette integralet krevjer mykje arbeid, så dette skal vi heller gjera på enklare vis i Oppgåve 5. Oppgåve 4 Innfør eit nytt sett av variablar (r, s, t) definert slik at x a = r sin s cos t, y b = r sin s sin t, z c = r cos s. () Vis at viss vi set r = 1 og let s og t vera parametrar som varierer over rektanglet R = {(s, t) 0 s π, 0 t < π}, så skildrar likning () ellipsoiden f(x, y, z) = 1. 1

6 Oppgave 5 Bruk teoremet for variabelskifte i trippelintegral og likning () til rekne ut volum V. Oppgåve 6 Rekn ut f på ellipsoideflata S som funksjon av parametrane s og t, og rekn ut tangenten T s og T t til flata. Vis at f står vinkelrett på tangentane. Oppgåve 7 Vis at standardnormalen til flata S kan skrivast på forma, ( x N = abc sin s a, y b, z ), c og rekn ut flateintegralet F ds av vektorfeltet F(x, y, z) = xi + yj + zk. S Oppgåve 8 Rekn ut F og integralet F dv. Korleis kunne vi ha funnet dette integralet V fra resultatet i Oppgåve 7 utan rekning? Oppgåve 9 Sjå på vektorfeltet G(x, y, z) = yi + xj. Rekn ut G og integralet S + G ds, der S + er den delen av flata S som ligg over xy-planet (z > 0). Oppgåve 10 Finn linjeintegralet G ds langs med ellipsen C definert i likning (1). Korleis kunne C vi ha funne dette integralet fra resultata i Oppgåve 9 utan rekning?