EKSAMENSOPPGAVE STA-2004.

Transkript

1 Fakultet for naturvitenskap og teknologi EKSAMENSOPPGAVE Eksamen i: STA Dato: Torsdag 28. september Klokkeslett: Sted: Tillatte hjelpemidler: Teorifagsbygget. «Tabeller og formler i statistikk» av Kvaløy og Tjelmeland. To A4-ark/ 4 sider med egne notater. Godkjent kalkulator. Type innføringsark (rute/linje): Antall sider inkl. forside: Kontaktperson under eksamen: Telefon/mobil: Rute. 8 Georg Elvebakk Vil det bli gått oppklaringsrunde i eksamenslokalet? Svar: JA. Hvis JA: ca. kl Postboks 6050 Langnes, N-9037 Tromsø / / postmottak@uit.no / uit.no

2 VIKTIG: Du kan fritt bruke alle R-utskrifter, tabeller etc. som står bak i oppgavesettet. Merk at i utskriftene kan noen av talla være erstatta av?. Om ikke anna er spesifisert skal signifikansnivået for tester være på 5%. Deloppgavene vil telle likt ved vurderinga. Oppgave 1 En telefonselger av husforsikringer har som mål å selge 1 forsikring hver dag. Derfor ringer han potensielle kunder til en av dem kjøper forsikring. Han rekner med at han i hver oppringning har samme sannsynlighet p for å treffe en som kjøper forsikring, og at de potensielle kundene kjøper eller ikke uavhengige av hverandre. Antallet samtaler, X, han må gjennomføre på en dag vil da følge en geometrisk fordeling: f(x) = (1 p) x 1 p, x = 1,2,... a) Vis at den kumulative fordelingsfunksjonen til X er gitt ved F(x) = P(X x) = 1 (1 p) x, x = 1,2,... n (Hint: Bruk formelen for a k. Se formelheftet.) k=0 Hva er da sannsynligheten for at han må ringe fleire enn 4 potensielle kunder, P(X > 4). Etter en tid oppdager telefonselgeren at han enkelte dager må ringe veldig mange potensielle kunder for å få solgt en forsikring. Han bestemmer seg derfor for å stoppe etter maksimalt 4 samtaler per dag. Ut fra registreringer av hvor mange han har ringt per dag ønsker han å finne et estimat for p sannsynligheten for forsikringssalg per samtale. Fra 10 dager registrerte han følgende data: Dag nr. i Antall samtaler x i Merk at for noen av dagene står det 4, dette er de dagene han ringte 4 ganger uten å oppnå et salg. Dagene er ordna slik at de n = 7 første dagene er de han oppnådde et salg, de m = 3 siste ga ingen salg. Han ønsker å bruke sannsynlighetsmaksimeringsmetoden til å estimere p. b) Vis at sannsynlighetsmaksimeringsfunksjonen (likelihooden) blir L(p) = (1 p) ( n i=1 x i n) p n (1 p) 4m Bruk denne til å finne en sannsynlighetmaksimeringsestimator for p. c) Finn den observerte fisherinformasjonen for disse parametrene, og bruk den til å finne et tilnærma 95% Wald-konfidensintervall for parameteren p. Vil du ut fra intervallet konkludere at salgssannsynligheten p er ulik 0.5 (50%)? Er det grunn(er) til å mistenke at dette intervallet kan være unøyaktig? Oppgave 2 La X være en standardnormalfordelt stokastisk variabel, det vil si X N(0,1). a) Finn sannsynlighetstettheten til Y = X 2. 2

3 Oppgave 3 Vi bruker et datasett over egenskaper ved 32 bilmodeller i Dataene er fra Motor Trend US Magazine og omfatter følgende variabler for hver biltype. y : Bensinforbruk per 100 km. x 1 : Antall hestekrefter. x 2 : Motorstørrelse (i kubikktommer) x 3 : Vekt (i 1000 pund). x 4 Bakakselutveksling. Det er R-utskrifter av data og analyser o.l. lengre bak i oppgavesettet. Vi er interessert i å finne ut hvilke av de fire forklaringsvariablene som kan forklare skilnader i bensinforbruket. Vi starter med en modell med alle variablene. a) Sett opp den fulle modellen på matriseform. Hva er forutsetningene i denne modellen? Skriv opp den tilpassa modellen, og gi ei tolking av hva denne uttrykker. Sett opp og utfør en test for modellen som heilhet ( overall test ). Hva blir konklusjonen? Utskriftene for den tilpassa modellen basert på alle fire forklaringsvariablene gjør at vi mistenker at en eller fleire av disse ikke bidrar til å predikere bensinforbruket. Vi vil derfor forsøke å redusere antall forklaringsvariabler i modellen. b) Sett opp og utfør en test for om x 4 er signifikant i den fulle modellen. Sett opp og utfør en test for om gruppa av x 2 og x 4 er signifikant i den fulle modellen. I siste delpunkt vil vi bruke modellen med bare x 1 og x 3 som forklaringsvariabler: c) Hva blir estimert bensinforbruk for en bilmodell med x 1 = 150 hestekrefter og vekt på x 3 = 3 (3000 pund)? Forklar hva residualer og studentifiserte residualer er, og hvordan disse kan brukes til å sjekke ulike forutsetninger for modellen. Bruk oppgitte plott og annen informasjon til å sjekke om modellforutsetningene er oppfylte, og om modellen eventuelt har andre ugunstige egenskaper. 3

4 Oppgave 4 I dette problemet skal vi bruke et datasett fra arkeologiske utgravninger i New Mexico. Responsvariabelen er antall potteskår funnet i et felt av standardisert størrelse ved utgravninger i 5 forskjellige områder. I tillegg har vi også informasjon om hvilken av 4 typer keramikk det dreier seg om. (De fire ulike typene er kalt Red on White (1), Mogollon (2), Mimbres (3) og Bold face (4). Data er fra Woosley & McIntyre: Mimbres Mogollon Archeology, University of New Mexico Press.) Målet med analysen er å teste om det er forskjeller i antall skår av de 4 ulike typene, om det er forskjeller mellom områdene, og om det kan finnes samspill mellom områder og typer. Resultater: Y ijk Område 1 Område 2 Område 3 Område 4 Område 5 Gj.snitt Type Cellegj.snitt: Type Cellegj.snitt: Type Cellegj.snitt: Type Cellegj.snitt: Gj.snitt Y = Antall skår er Y ijk hvor i = 1,2,3,4 (keramikktyper), j = 1,2,3,4,5 (områder) og k = 1,2,3 (observasjoner per kombinasjon). Totalgjennomsnittet, gjennomsnitt av hver type, område og kombinasjon er oppgitt. Merk at resultater av en ANOVA-analyse er gitt i utskriftene. a) Sett opp en to-vegs ANOVA-modell med samspill (tofaktormodellen) for disse dataene. Skriv opp uttrykka for SSA, SSB, SSAB og SSE og forklar (kort!) hva de måler. Hvorfor blir SSE/σ 2 kikvadratfordelt med 40 frihetsgrader? b) Forklar hva det vil si at det er samspill mellom faktorene type og område. Kommenter samspillsplottet i utskriftene. Formuler hypoteser og utfør tester for om samspillet eller hovedeffektene er signifikante på 5%-nivå. Vi vil gjerne lage simultane konfidensintervall for forskjeller i forventa antall av type I mellom område 1, 2, og 3. c) Regn ut konfidensintervalla (begrunn valg av metode). Kan du påstå at noen av forskjellene er signifikante? 4

5 R-utskrifter for bensinforbruk-dataene: > bil Y X1 X2 X3 X

6 > mod.x1.x2.x3.x4.tilp = lm(y~x1+x2+x3+x4,bil) # Tilpassa modell med X1, X2, X3 og X4. > summary(mod.x1.x2.x3.x4.tilp) Call: lm(formula = Y ~ X1 + X2 + X3 + X4, data = bil) Residuals: Min 1Q Median 3Q Max Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) X X X ** X ?? Signif. codes: 0 *** ** 0.01 * Residual standard error: on 27 degrees of freedom Multiple R-squared: , Adjusted R-squared: F-statistic: on 4 and 27 DF, p-value: 7.975e-11 > anova(mod.x1.x2.x3.x4.tilp) Analysis of Variance Table Response: Y Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) X e-11 *** X e-06 *** X ** X ?? Residuals Signif. codes: 0 *** ** 0.01 *

7 > mod.x1.x3.tilp = lm(y~x1+x3,bil) # Tilpassa modell med X1 og X3 > summary(mod.x1.x3.tilp) Call: lm(formula = Y ~ X1 + X3, data = bil) Residuals: Min 1Q Median 3Q Max Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) X ** X e-08 *** Signif. codes: 0 *** ** 0.01 * Residual standard error: on 29 degrees of freedom Multiple R-squared: , Adjusted R-squared: F-statistic: on 2 and 29 DF, p-value: 1.494e-12 > anova(mod.x1.x3.tilp) Analysis of Variance Table Response: Y Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) X e-11 *** X e-08 *** Residuals Signif. codes: 0 *** ** 0.01 * Studentifiserte residual Tilpassa verdier 7

8 R-utskrifter for potteskår-dataene: > summary(aov(skaar~as.factor(omraade)*as.factor(type),data=utgraving)) Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) as.factor(omraade) e-05 *** as.factor(type) * as.factor(omraade):as.factor(type) ?? Residuals Signif. codes: 0 *** ** 0.01 * mean of Utgraving$Skaar Utgraving$Type Utgraving$Omraade 8