EKSAMENSOPPGAVE. ü Kalkulator med tomt dataminne ü Rottmann: Matematisk Formelsamling. rute

Transkript

1 Fakultet for naturvitenskap og teknologi EKSAMENSOPPGAE Eksamen i: FYS-1002 Dato: 26. september 2017 Klokkeslett: Sted: Åsgårdvegen 9 Tillatte hjelpemidler: ü Kalkulator med tomt dataminne ü ottmann: Matematisk Formelsamling Type innføringsark (rute/linje): Antall sider inkl. forside: Kontaktperson under eksamen: rute 7 ü Oppgaver på bokmål s. 2-6 ü Formelark s. 7 Frank Melandsø (mob) Telefon/mobil: il det bli gått oppklaringsrunde i eksamenslokalet? JA Hvis JA: ca. kl NB! Det er ikke tillatt å levere inn kladdepapir som del av eksamensbesvarelsen. Hvis det likevel leveres inn, vil kladdepapiret bli holdt tilbake og ikke bli sendt til sensur. Postboks 6050 Langnes, N-9037 Tromsø / / postmottak@uit.no / uit.no

2 Eksamen består av 3 oppgaver med tilsammen 14 delspørsmål [a), b),.. punkter] som blir vektet likt ved sensur. Les oppgaveteksten nøye og prøv å besvar alle spørsmålene. Oppgave 1 Denne oppgaven omhandler Omhs lov og regneregler for elektriske kretser. a) Det antas at Ohms lov i et ledende medium kan uttrykkes som J = σ E (1) der J er strømtettheten, E det elektriske feltet og σ konduktiviteten til materialet angitt ved en skalar konstant. Angi minst to fysiske forutsetninger som må være tilstede for at likning (1) skal være gyldig. b) i skal videre se på et ledende materiale formet som en sylinder med lengde l og radius r som vist i figur 1. Sideflatene til sylinderen kobles til en likestrømspenning (DCspenning)! slik at det går en konstant strøm I! gjennom kretsen som vist i figuren. r I 0 l Fig. 1: Sylindrisk leder is at Ohms lov på generell form gitt ved likning (1) kan for sylinderen omformes til! = I! der resistansen er gitt ved = l π r! σ. Hvordan kan man basert på relasjonene ovenfor lage ledninger med liten resistans? UiT / Postboks 6050 Langnes, N-9037 Tromsø / / postmottak@uit.no / uit.no 2

3 c) Skriv opp Kirchhoffs lover (ved hjelp av ligninger eller tekst) som brukes for å regne på elektriske kretser. Gi også en kort fysisk forklaring på opphavet til de to lovene. d) i skal tilslutt i oppgaven regne på kretsen vist i figur 2 som modellerer en sammenkobling av 3 ledninger, alle med samme resistans. I 1 I 0 I 2 Fig.2: Elektrisk krets som modell for ledere. Bruk Kirchhoffs lover til å lage 3 uavhengige likninger som kan brukes til å finne strømmene I!, I! og I! angitt i figur 2. Finne deretter strømmene som funksjon av drivspenningen og. Oppgave 2 i skal nå se på et induktivt system som vist i figur 3 nedenfor. Figuren viser i 3D to lange rette sylindriske ledere, begge med lengde l. Lederen til venstre (leder 1) er sentrert rundt z- aksen, mens høyre leder (leder 2) antas sentrert rundt en akse parallell med z-aksen, men med forskyvning d i x-retning som vist i figuren. Fig. 3: System med to rette ledere UiT / Postboks 6050 Langnes, N-9037 Tromsø / / postmottak@uit.no / uit.no 3

4 Begge lederne antas å ha samme radius a, og like store, men motsatt rettede strømmer I. a) Lag en skisse i xy-planet som viser de magnetiske feltlinjene B! og B! som settes opp av leder 1 og 2, henholdsvis når vi antar at strømmene ligger uniformt fordelt på overflaten til begge lederne med retninger som vist med de grå pilene i figur 3. Skisse også i xy-planet feltlinjene til det totale magnetiske feltet B = B! + B!. b) Bruk superposisjonsprinsippet til å vise at normen til det totale B-feltet mellom lederne i xz-planet (skraverte område angitt i figur 3 der a x d a) er gitt ved B = μ! I 2π 1 x + 1 d x når vi antar en permittivitet μ! i rommet mellom lederne og ser bort fra randeffekter (antar l d). c) Forklar hva som menes med selvinduktans og angi en matematisk definisjon av denne størrelsen. d) Bruk resultatet fra de foregående punktene til å vise at selvinduktansen L til systemet vist i figur 3 kan skrives som L = μ! l π d a ln a når vi antar a d slik at den magnetiske fluksen inne i lederne kan neglisjeres. Oppgave 3 i skal i den siste oppgaven regne på en spole, en variabel kondensator og en elektrisk AC krets der disse komponentene inngår. La oss i første omgang se på en rett spole (Solenoid) vist i figur 4 som induserer magnetfeltlinjer angitt med blå farge. Spolen antas å ha totalt N sirkulære viklinger (alle med radius ρ) som ligger jevnt fordelt over en lengde l. i antar videre at permeabiliteten μ = μ! !! H/m kan brukes i hele rommet. UiT / Postboks 6050 Langnes, N-9037 Tromsø / / postmottak@uit.no / uit.no 4

5 Fig. 4: Skisse av en rett spole a) Bruk Amperes lov sammen med et passende linjeintegral til å vise at normen til B- feltet inne i spolen kan tilnærmes med B μ! n I. (2) Her er n er antall viklinger per lengdeenhet og I er strømmen gjennom viklingen som vist i figur 4. Hva er forutsetningene for at likning (2) skal kunne brukes som en god tilnærming for det fysiske B-feltet inne i spolen? b) Finn et tilnærmet uttrykk for selvinduktansen L til spolen i figur 4. is videre at L 0.1 mh når vi antar verdier N = 159, l = 0.1 m og ρ = 0.01 m. c) I neste omgang skal vi se på en variabel kondensator som vist i figur 5. Kondensatoren består av to plater A og B formet som halvsirkler med samme radius r. Platene ligger parallelt ovenfor hverandre i en avstand d (se øvre høyre figur som viser kondensatoren sett fra siden). Kapasitansen justeres ved at platene roteres en vinkel α i forhold til hverandre (se nedre figur som viser systemet sett ovenfra). Når α justeres vil arealet der platene overlapper (angir med grå farge i figuren) endre seg, og dette vil igjen endre kapasitansen til systemet. B A B A Fig. 5: ariabel kondensator vist fra siden (øvre høyre figur) og ovenfra (nedre figur). UiT / Postboks 6050 Langnes, N-9037 Tromsø / / postmottak@uit.no / uit.no 5

6 Bruk Gauss lov sammen med en passelig integrasjonsflate til å vise at normen til det elektriske feltet mellom platene i figur 5 kan tilnærmes med E α 2 Q ε r! π α. Her angir ε permittivitet mellom platene mens Q er den total ladning på en av platene (antar kun ladning innenfor det grå område vist i figur 5). Ladningen på den andre platen antas å være like stor, men med motsatt fortegn ( Q). d) Bruk uttrykket ovenfor for det elektriske feltet sammen med definisjonen av elektrisk potensiale og kapasitans, til å vise at kapasitansen til systemet kan uttrykkes som C α = C! π α. is også at C! 0.24 nf hvis vi antar størrelsene d = 0.4 mm, r = 6 cm og ε = 6 ε! !!! F/m. e) i skal i siste punktene bruke en seriekobling av spolen, den variable kondensatoren og en motstand = 50 Ω for å søke etter radiostasjoner som sender på mellombølgen (AM-båndet). Den enkle søkekretsen er vist i figur 6 L C( ) Fig. 6: LC krets for søking etter radiostasjon. der vi antar at antennen gir opphav til en vekselspenning (AC-spenningen) angitt i figuren. Denne spenningen driver en AC strøm rundt i kretsen. Sett opp de generelle uttrykkene for impedansene til de 3 komponentene som inngår i figur 6 og finn deretter den totale impedansen til kretsen. f) i ønsker å ta inn en radiosignalene fra en stasjon som sender på en frekvens f = 710 khz. Ta utgangspunkt i de oppgitte numeriske verdiene fra de forrige punktene, og finn vinkelen α som gir størst mulig strøm gjennom kretsen slutt UiT / Postboks 6050 Langnes, N-9037 Tromsø / / postmottak@uit.no / uit.no 6

7 Formelark F 12 = 1 q 1 q 2 r 2 r 1 3 E(r) = 1 E(r) = 1 ( r2 r 1 ) (1) q r r 3 ( r r ) (2) ρ(r )(r r ) r r 3 dv (3) E = ρ ν (4) ε 0 q r r (5) (r) = 1 (r) = 1 ρ ν (r ) r r dv (6) E = 0, ( = 0) (7) E =, ( = 0) (8) = l E dl (9) W E = 1 2 ρ ν (r) (r)dv (10) W E = 1 2 C 2 (11) C = Q I = dq dt (12) (13) I = J ds (14) S J = σe (15) J = ρ (16) = I (17) P = I (18) B = μ 0 Idl (r r ) 4π l r r 3 (19) B = μ 0 J, ( = 0) (20) B = 0 (21) U m = 1 2 B Hdv (22) B = A (23) A(r) = μ 0 J(r ) 4π r r dv (24) F = q(e + v B) (25) L = λ I (26) S E = B (28) emf = dλ dt (29) E B = μ 0 J + μ 0 ε 0 (30) E = A (31) D = ε 0 E + P (32) H = 1 μ 0 B M (33) E 1t E 2t = 0 (34) H 1t H 2t = K (35) D 1n D 2n = ρ s (36) B 1n B 2n = 0 (37) ρ ps = P n (38) ρ pv = P (39) K b = M n (40) J b = M (41) P = ε 0 χ e E (42) M = χ m H (43) D = ε 0 ε r E (44) B = μ 0 μ r H (45) ε r = 1 + χ e (46) μ r = 1 + χ m (47) ε 0 = C 2 s 2 kgm 3 (48) μ 0 = Nm 2 C 2 (49) e = C (50) E = ρ ν ε 0 (51) B = 0 (52) E = B E B = μ 0 J + μ 0 ε 0 F ds = S (53) (54) F dl (55) ( F)d = F ds (56) W m = 1 2 LI2 (27)