a) Bruk en passende Gaussflate og bestem feltstyrken E i rommet mellom de 2 kuleskallene.

Transkript

1 Oppgave 1 Bestem løsningen av differensialligningen Oppgave 2 dy dx + y = e x, y(1) = 1 e Du skal beregne en kulekondensator som består av 2 kuleskall av metall med samme sentrum. Det indre skallet har radius, det ytre har radius 2. Ladningen på det indre skallet er Q med motsatt ladning på det ytre skallet. a) Bruk en passende Gaussflate og bestem feltstyrken E i rommet mellom de 2 kuleskallene. b) Bruk feltstyrken fra a) og bestem potensialforskjellen mellom de 2 kuleskallene. Vis at kondensatorens kapasitans blir C = 8 π ǫ 0 når det er luft mellom sylindrene. c) Mellom sylindrene brukes et materiale med dielektrisitetskonstant ǫ r = 3.0. Bestem radien for å få en kondensator med C = 10 [pf]. Oppgave 3 a) En lang, rett spole har lengde 10 [cm], radius r = 1.0 [cm] og N = 500 vindinger. Ta utgangspunkt i definisjonsligningen for induktans L = N Φ I og vis at denne spolen har induktans L 1 [mh]. Her er Φ magnetisk fluks gjennom 1 vinding. b) Spolen er en del av en L-krets med motstand = 157 [Ω]. Spolen plasseres i et magnetfelt B = 0.10 sin (100 t), dette magnetfeltet er rettet parallelt med spoleaksen. Bestem strømmen I (t) i kretsen og effekten P(t) avgitt til motstanden. Eksamensoppgaven fortsetter. 1

2 Oppgave 4 Vi har en krets med en åpen bryter, en motstand, en kondensator C og en spole L koblet i serie. a) Kondensatoren har en ladning Q 0 idet en slår inn bryteren ved t = 0. I) Lag en figur med seriekoblingen, velg en positiv strømretning og sett opp en ligning med potensialforskjellene rundt kretsen. II) Sett opp differensialligningen for strømmen I gjennom kretsen. Bestem den generelle løsningen I(t) når de 3 komponentene oppfyller betingelsen 2 = 4 L/C III) Bruk startbetingelsene I(t = 0) = 0 og di(t = 0) = Q 0 dt L C løsningen for strømmen. og finn den spesielle b) Motstanden er = 1.0 [kω], spolens induktans er L = 10 [mh] og vi har Q 0 = 0.55 [µc]. Bestem den største strømmen i kretsen. Innfør en tidskonstant τ = 2 L og vis at den har dimensjon [sekund]. Uttrykk tiden t maks ved maksimal strøm ved hjelp av τ ( bestem a): t maks = a τ c) Beregn potensialforskjellene V, V L og V C over de 3 komponentene og vis at V + V L + V C = 0 for alle tidspunkt t. ( Hint: Løsningen av den generelle 2.gradsligningen a x 2 + b x + c = 0 er ) x = b ± b 2 4 a c 2 a Delspørsmål a), b),.. og udelte oppgaver har samme vekt ved beregning av sluttkarakteren. Slutt på eksamensoppgaven. 2

3 Løsningsforslag Oppgave 1 b) Denne ligningen er ikke separabel: Bruker metoden med integrerende faktor: Denne faktoren multipliseres inn i ligningen dy dx + y = e x ρ = e 1 dx = e x e x (y + y) = e x e x = 1 som deretter integreres. For venstre side kjenner vi svaret, høyre side er et enkelt integral: e x y = dx = x + C Dermed finner vi y: y = e x (x + C) Du bør sjekke dette svaret ved å sette det inn i den opprinnelige ligningen. Bestemmer C ved hjelp av startbetingelsen: y(1) = 1 e = e 1 (1 + C) C + 1 = 1 = C = 0 Den spesielle løsningen blir y = x e x Oppgave 2 a) Bruker en Gaussflate i form av en kule med radius r, < r < 2. Kulesymmetrien fører til at feltstyrken E står radielt ut fra det indre kuleskallet, dessuten har E samme tallverdi over hele Gaussflaten. Siden E hele tiden er parallelt med flatenormalen blir fluksen gjennom Gaussflaten: Φ = E A cos 0 = E 4 π r 2 Ladningen inne i Gaussflaten er Q: Φ = Q ǫ 0 = E = Q 1 4 π ǫ 0 r = K Q 2 r 2 3

4 b) Finner potensialforskjellen mellom de 2 kuleskallene ved å integrere E radielt ut fra det indre kuleskallet ( E og dr er parallelle): 2 V = V 2 V = E dr = K Q V = K Q [ 1 r ] 2 = K Q 2 dr r 2 ( ) = K Q 2 Vi trenger tallverdien til potensialforskjellen for å bestemme kapasitansen. Bruker definisjonen på kapasitans: C = Q V = Q K Q 2 = 8 π ǫ 0 qed c) Med et dielektrikum blir kapasitansen Ordner og setter inn tallverdier: Oppgave 3 a) Magnetfeltet i en lang, rett spole er C = 8 π ǫ 0 ǫ r = 2 ǫ r K = C K = ǫ r = 15 [mm] Fluksen gjennom en vinding er B = µ 0 n I, n = N l B = µ 0 N I l Dermed får vi induktansen Med tallverdier Φ = B A = B π r 2 Φ = µ 0 N l I π r 2 = µ 0 N π r2 l L = N Φ I = µ 0 N 2 π r2 l I L = 4 π π = π [mh] b) Vi har fluksen for denne spolen fra a): Φ sp = N B π r 2 = N π r sin (100 t) Φ sp = 500 π sin (100 t) = π sin (100 t) 4

5 Indusert spenning i kretsen er ε = dφ sp dt = 0.50 π cos (100 t) [V ] Dermed er det enkelt å bestemme uttrykkene for strømmen og effekten: I (t) = ε = 0.50 π cos (100 t) 0.01 cos (100 t) [A] 157 P (t) = ε I = 0.5 π 0.01 cos 2 (100 t) 16 cos 2 (100 t) [mw] Her klarer kanskje du å bestemme gjennomsnittseffekten P? Oppgave 4 a) I) Summen av potensialforskjellene er alltid lik 0 rundt kretsen: V + V C + V L = 0 Velger positiv strømretning ut fra kondensatorens positive plate, vi har Q C I L di dt = 0 II) Når strømmen øker avtar ladningen på kondensatoren, dermed har vi I = dq/dt. Deriverer svaret i a) og innfører strøm i stedet for ladning: 1 C dq dt di dt L d2 I dt = 0 = I 2 C I L I = 0 I + L I + 1 L C I = 0 Vi har en homogen 2.ordens diff.ligning med konstante koeffisienter, bruker metoden med den karakteristiske ligningen: r 2 + L r + 1 L C = 0 = r 1,2 = L ± ( ) L C 2 Bruker den oppgitte sammenhengen mellom komponentenes størrelser: r 1,2 = ± 4 L/C 1 4 L L 2 L C = 2 2 L Sammenfallende røtter gir den generelle løsningen: I(t) = e /(2 L) t (A + B t) L 5

6 III) Bruker startbetingelsene, må derivere løsningen i II). Ser på kondensatorladningen ved t = 0: Den spesielle løsningen blir I (0) = 0 = e /(2 L) 0 (A + B 0) = A = A = 0 ( ) I = e /(2 L) t B t + B e /(2 L) t 2 L I (t = 0) = Q 0 L C = B I(t) = Q 0 L C t e /(2 L) t = Q L 2 t e /(2 L) t b) Deriverer I(t) og setter den deriverte lik 0 (se også figur 1): di dt = Q ( ) 0 L C e /(2 L) t 2 L t + 1 = 0 Dimensjoner: Maksimal strømverdi er t maks = 2 L = 1 τ = = [s] = 0.02 [ms] L = [ ] H = Ω [ ] kg m2 s 3 A 2 = [s] qed s 2 A 2 kg m 2 I maks = Q L 2 2 L e /(2 L) (2 L)/ = Q 0 2 L e 1 I maks = e 10 [ma] c) Bruker potensialforskjellene slik de er angitt i a) og den deriverte beregnet i b): V = I = Q0 2 t e /(2 L) t = Q 0 3 t e /(2 L) t 4 L 2 4 L 2 V t e t V L = L di dt = L Q0 2 V L = Q L ( ) e /(2 L) t 4 L 2 2 L t + 1 ) e /(2 L) t ( t ) e t ( 2 L t + 1 6

7 For kondensatoren må vi integrere strømmen: I = dq/dt = Q = I dt Q = Q 0 2 t e /(2 L) t dt 4 L 2 Bruker formelsamlingen etter å ha innført en ny varibel: u = 2 L t = du = dt 2 L Q = Q ( ) 0 2 L 2 L u e u Q = Q 0 (u 1) e u du = Q 0 u e u du Innfører t igjen: Q = Q 0 ( ) 2 L t + 1 V C = Q C = Q 2 4 L = Q L e /(2 L) t V C ( t ) e t ( ) 2 L t + 1 e /(2 L) t Summerer alle spenningene, eksponentialfunksjonen og Q 0 2 / (4 L) er felles faktorer: ( Q 0 2 V = 4 L e /(2 L) t ( ) ( )) L t + 2 L t L t + 1 Ser på innholdet i parentesen, ledd med og uten tiden t : ( L + 2 L + ) t = 0 t + 0 = 0 2 L Siden innholdet i parentesen er 0, er summen av spenningene over komponentene 0 for alle t: V = Q L e /(2 L) t 0 = 0 qed Det er kanskje enklere å sette inn tallverdier for hver spenning med en gang, her ser du at løsningen for strømmen ser ut til å være riktig også når en går veien om komponentspenningene. Spenningsforløpet over de 3 komponentene er vist i figur 1. Idet strømmen når maksimum ved t = τ er spolespenningen 0 volt (U L di/dt = 0). 7

8 The capacitor discharges. (UC:red, U:black, UL: blue) U [V] t [ms] 10 Figur 1: U-t-diagram ved kritisk demping. 8