EKSAMEN I EMNE TFE 4120 ELEKTROMAGNETISME

Transkript

1 NTNU Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet ide 1 av 7 Fakultet for informatikk, matematikk og elektroteknikk Institutt for fysikalsk elektronikk Bokmål/Nynorsk Faglig/fagleg kontakt under eksamen: Navn: Johannes kaar Tlf.: EKAMEN I EMNE TFE 4120 ELEKTROMAGNETIME TORDAG 13. MAI 2004 TID: KL ensur: enest/seinast Hjelpemidler: D - Ingen trykte eller håndskrevne hjelpemidler tillatt. Bestemt, enkel kalkulator tillatt. Hjelpemiddel: D - Ingen trykte eller handskrevne hjelpemiddel tillatne. Bestemt, enkel kalkulator er tillaten. Totalt 7 sider inkludert forside. Alle deloppgaver/deloppgåver har omtrent lik vekt (litt variasjon avhengig av arbeidsmengde).

2 Oppgave 1 ide 2 av 7 Gitt en punktladning Q som befinner seg i en avstand h fra et uendelig stort, ledende plan, se figuren under. Tips: Bruk speilingsmetoden (du trenger ikke rettferdiggjøre speilingsmetoden i besvarelsen). a) Bestem potensialet V (z) langs hele z-aksen (men z = h). b) Bestem det elektriske feltet E langs z-aksen for z<h. c) kissér det elektriske feltet overalt. (Dvs. skissér feltlinjene.) d) Finn kraften på punktladningen. e) Beregn arbeidet som må utføres for å frigjøre punktladningen fra planet (dvs. flytte punktladningen til z = ). f) Punktladningen Q er nå tilbake på plassiz = h. Anta at enda en punktladning plasseres på z-aksen. Denne punktladningen har ladning q og plasseres i punktet z = z 0, der z 0 >h. Finn kraften som virker på den nye ladningen q. g) Argumenter for at dersom q er tilstrekkelig liten, kan vi finne frigjøringsarbeidet til q (dvs.arbeidetvimå utføre for å flytte q til z = ) ved hjelp av svaret i a. Finn arbeidet under denne forutsetningen og oppgi et kriterium for hvor liten q må være for at dette skal være en god tilnærmelse. Oppgave 2 Figuren på neste side viser en toroideformet (smultringformet) kjerne av et ferromagnetisk materiale med relativ permeabilitet µ r =. Kjernen har konstant tverrsnittsareal. Rundt kjernen er det viklet en spole med N 1 viklinger. Anta at toroiden er tynn slik at den magnetiske flukstettheten kan regnes uniform over tverrsnittet. Anta videre at luftgapet g er lite slik at du kan se bort fra spredning av flukslinjer. a) Vis at fluksen gjennom et tverrsnitt av toroiden er µ 0 N 1 I 1 /g, deri 1 er strømmen som går igjennom spolen. Hva blir selvinduktansen L 1 til spolen?

3 ide 3 av 7 pole for oppgave 2c og d: I 1 N 1 g 2a 2b Figur 1: Magnetisk krets for oppgave 2. b) kriv opp uttrykket for energitettheten i et magnetisk felt (dvs. energi per volumenhet). Bruk dette til å finne energien som er lagret i den magnetiske kretsen, og vis at den er lik 1 2 L 1I 2 1. c) En spiralviklet spole med innerradius a og ytterradus b settes nåinniluftgapet.polen er tettviklet og det er N 2 viklinger. Anta at b er mindre enn radiusen til toroidens tverrsnitt. Finn den gjensidige induktansen L 12 mellom spole 1 (spolen rundt ferromagneten) og spole 2 (spiralspolen i luftgapet). d) pole 1 koples til en vekselspenningsgenerator med spenning V 1 = V 0 cos(2πft), der f er frekvensen. Den andre spolen koples til et voltmeter med uendelig impedans. Hva blir spenningen som måles på voltmeteret? Du trenger ikke ta hensyn til fortegnet. Hvis vi i stedet hadde koplet generatoren på den andre spolen og målt spenningen på den første, ville vi fått samme resultat? Begrunn svaret. Oppgave 3 a) Forklar hvorfor likningen J + ρ = 0 betyr ladningsbevarelse. tørrelsen ρ er romladningstetthet og J er t strømtetthet. b) Vis at Maxwells likninger impliserer ladningsbevarelse. Oppgave 4 Til hvert av de 5 spørsmålene som er stilt nedenfor, er det foreslått 4 svar. Oppgi hvilket svar du mener er best dekkende for hvert spørsmål. varene, som ikke skal begrunnes, avgis iskjemaetpå siste side. Denne siden rives fra og leveres inn som del av besvarelsen. Det gis 3 poeng for hvert riktig svar, 1 poeng for hvert galt svar og 0 poeng for ubesvart. Helgardering (2 eller 3 kryss) gir 0 poeng. a) En av Maxwells likninger er H = J + D. Denne likningen betyr bl.a. at t i) Ohms lov er gyldig i motstander, ii) en lang, rett leder som fører en konstant strøm gir opphav til et sirkulerende magnetfelt, iii) et varierende magnetfelt gjennom en ledende sløyfe induserer en strøm i sløyfa, iv) i elektrostatikken er E konservativt.

4 ide 4 av 7 b) Følgende uttrykk er påstått å beskrive det elektrostatiske feltet fra en ladningsansamling: E = Quϕ 1 0 r 1 r. Anta at ladningsansamlingen har begenset utstrekning i alle 3 retninger. tørrelsen Q = 0 er den totale ladningen til ladningsansamlingen, r er avstanden fra origo til observasjonspunktet og u ϕ er enhetsvektoren i den retningen den polare vinkelen ϕ øker (i et sfærisk koordinatsystem). Uten å kjenne detaljene om ladningsansamlingen og utregningen, hvorfor kan du likevel si at uttrykket må være galt? i) Uttrykket er dimensjonsmessig feil, ii) Uttrykket stemmer ikke med Gauss lov, iii) Uttrykket er feil siden det ikke tilfredsstiller E =0, iv) Alle de tre innvendingene ovenfor er riktige. c) I en ideell leder i) er alltid potensialet null (V =0), ii) er alltid E =0, iii) kan det ikke finnes strømtetthet ( J = σe =0), iv) Alle de tre påstandene ovenfor er riktige. d) I et begrenset volum er vektorpotensialet A = ayu x, angitt i et kartesisk koordinatsystem. tørrelsen a antas å være uavhengig av koordinatene x, y og z i dette volumet. Hvilken av følgende påstander beskriver nødvendigvis volumet på enriktigmåte? i) Den magnetiske flukstettheten er uniform, ii) Det elektriske feltet er uniformt, iii) Volumet er ladningsfritt, iv) Volumet er karakterisert ved µ = µ 0. e) Har v B samme dimensjon som et elektrisk felt (v er hastighet og B er magnetisk flukstetthet)? i) Ja, ii) Nei, iii) Hastighet kan både måles i m/s og sm (sekundmeter); følgelig kan svaret både være ja og nei avhengig av hvordan hastigheten måles. iv) Hakke peiling.

5 Oppgitte formler og konstanter ide 5 av 7 Formler i elektromagnetisme (spesifisering av gyldighetsområdet og forklaring av symboler er utelatt): F = Qq R 4πr 2u r, E def = F/q, V P = E d l, V = Q P 4πr, E = V, D d = Q fri i, D = ρ, D def = 0E + P, P = 0 χ ee, D = E, = 0 (1 + χ e ), C def = Q/V, C = /d, W e = 1 2 CV 2, w e = 1 D 2 E, p = Qd, J = NQv, J = σe, J = E/ρ, σ =1/ρ, PJ = J Edv, v df 12 = I 2 d µ 0 I 1 d l 2 l 1 u r, db 4π r = µ 0 Id l u r, df 2 4π r = Id l B, 2 H def B = M, µ M = χmh, B = µ H, µ = µ0 (1 + χ m ), m = I, 0 M F = m B, B =0, H d l = J d, w m = 1 B C 2 H, L 12 = Φ 12 = L 21 = Φ 21, L = Φ I 1 I 2 I, W m = 1 n I k Φ k = 1 n n L jk I j I k, 2 2 k=1 j=1 k=1 F = ( W m ) Φ=konst, F =+( Wm ) I=konst, J + ρ t =0, F = Q( E + v B). Maxwells likninger: E = B t, H = J + D t, D = ρ, B =0, C E d l = d dt H d l = C D d = Q fri i, B d =0. B d, J + D d, t e = dφ dt Potensialer i elektrodynamikken: B = A, E A = V t, 2 V µ 2 V t = ρ 2, 2 A 2 A µ t = µ J, 2 V (r, t) = 1 ρ(r,t R/c)dv, µ J(r,t R/c)dv A(r, t) =. 4π v R 4π v R Grensebetingelser: E 1tang = E 2tang, D1norm D 2norm = σn, H 1tang H 2tang = J s n, B1norm = B 2norm.,

6 Noen konstanter: ide 6 av 7 µ 0 =4π 10 7 H/m 0 =1/(µ 0 c 2 0 ) F/m Lyshastighet i vakuum: c 0 =1/ µ 0 0 = m/s m/s Lyshastighet i et medium: c =1/ µ Elektronets hvilemasse: m e = kg Nøytronets hvilemasse: m n = kg Protonets hvilemasse: m p = kg tandard tyngdeakselerasjon: g = m/s 2 Gravitasjonskonstant: γ = N m 2 /kg 2. Matematiske formler:

7 EMNE TFE4120 ELEKTROMAGNETIME ide 7 av 7 TUDENTNR.:... varkupong Merk med kryss i de aktuelle rutene. Kun ett kryss for hvert spørsmål. pørsmål Alt. i) Alt. ii) Alt. iii) Alt. iv) a) b) c) d) e)