Flervalgsoppgaver. Gruppeøving 10 Elektrisitet og magnetisme

Transkript

1 Flervalgsoppgaver. Figuren viser tverrsnittet av en lang, rett solenoide med et homogent magnetfelt B innvendig. Magnetfeltet har retning ned i papirplanet og styrken er økende med tida. Hva er retningen for den elektriske krafta på en positivt ladd partikkel ved punkt a? A. x-retning B. +x-retning C. y-retning D. +y-retning E. krafta er null Løsning: Innenfor en tenkt sirkel Γ med radius r vil med tida fluksen Φ B øke nedover. Det vil da induseres en ems. som ville gi en strøm mot klokka, slik at indusert B ind vil gå oppover og motvirke økende Φ B. Da vil i punkt a F = q E ha retning mot venstrek negativ x-retning.. Partikler, alle med ladning forskjellig fra null, med ulike masser og hastigheter (men alle med hastighet i positiv x-retning) kommer inn i et område der det elektriske feltet er E = E ĵ mens magnetfeltet er B = B ˆk. Hvis E =. kv/m og B = 5. mt, må de partiklene som passerer gjennom området med elektrisk felt og magnetfelt uten å avbøyes A. ha hastighet km/s B. ha hastighet m/s C. ha hastighet 5 m/s D. være elektroner E. være protoner Løsning: Elektrisk kraft F E har retning ĵ og magnetisk kraft F B har retning ĵ. Ingen avbøyning når F E = F B, altså qe = qvb slik at v = E /B = 3 /5 3 m/s = 5 m/s = km/s. 3. En elektronstråle går i retning rett mot venstre, i negativ x-retning i figuren. Du ønsker å stoppe elektronstrålen ved å plassere en magnet med nordpolen rett mot strålen, slik at magnetisk felt B fra magneten peker rett til høyre (x-retning) mot elektronstrålen. Elektroner er negativt ladd. Vil du stoppe elektronstrålen? A. Nei, men den avbøyes i positiv y-retning. B. Nei, men den avbøyes i negativ y-retning. C. Ja, den vil gradvis miste fart og stoppe før magneten. D. Nei, den vil fortsette uhindret til den treffer magneten. E. Nei, men den vil miste fart. Løsning: Med v i x-retning og B i +x-retning er F = ( e) v B =. fortsetter rett på magneten. Elektronstrålen

2 4. Ei rektangulær strømsløyfe (. m. m) fører en strøm på 5. A i retning mot klokka. Sløyfa er orientert som vist i figuren i et uniformt magnetisk felt på B =.5 T. Sløyfas magnetiske dipolmoment er lik A.. A m B..6 A m C..3 A m D..5 A m E..5 A m Løsning: m = AI =. m. m 5. A =. A m. 5. En leder består at to rette deler og en halvsirkelformet del mellom dem, som vist i figuren. Det går en strøm I i lederen som vist som produserer et B-felt ved punktet P som ligger i sentrum av halvsirkelen som har radius R. Hva er retningen på B-feltet ved punktet P? A. Mot høyre. B. Mot venstre. C. Ut av papirplanet. D. Inn i papirplanet. E. B-feltet ved P er null. Løsning: De rette lederne produserer ikke felt ved P da Id s r =. Den sirkulære delen gir et B-felt som går ned i papirplanet innenfor halvsirkelen. 6. Ei sirkulær strømsløyfe fører en konstant strøm I. Sløyfa er plassert i et område med homogent magnetisk felt B. Netto magnetisk kraftmoment, τ, på strømsløyfa A. vil forsøke å orientere sløyfa slika at sløyfas flatenormal er normal til retningen på B B. vil forsøke å orientere sløyfa slik at sløyfas flatenormal er parallell til retningen på B C. vil forsøke å rotere sløyfa rundt dens flatenormal D. vil forsøke å orientere sløyfa slik at sløyfas flatenormal er antiparallell til retningen på B E. er lik null. Løsning: Kraftmoment τ = µ B der µ = IA ˆn er parallell med flatenormalen ˆn. Etter høyrehåndsregelen vil τ rotere sløyfa slik at ˆn blir parallell med B, og når de er parallelle er τ =. 7. I hvilket tilfelle er den totale magnetiske fluksen ut gjennom ei lukka overflate positiv? A. Hvis nordpolen til en magnet, men ikke sydpolen, ligger innenfor den lukka overflata. B. Hvis sydpolen til en magnet, men ikke nordpolen, ligger innenfor den lukka overflata. C. Hvis både nordpolen og sydpolen til en magnet ligger innenfor den lukka overflata. D. Hvis overflata omslutter et område med forkyvningsstrøm. E. Magnetisk fluks kan ikke være positiv ut fra ei lukka overflate. Løsning: Magnetiske feltlinjer er lukkede kurver slik at fluks inn alltid må være lik fluks ut av lukkede flater, eller matematisk ved Maxwell: B d A =. Ikkehomogen strømtetthet Page

3 8. En lang, rett, massiv sylinder, orientert med aksen langs z-aksen, fører en strøm som har en strømtetthet J. Strømtettheten har sylinderisk symmetri, men er ikke uniform, som gitt ved følgende uttrykk: [ I ( ] r J(r) = π ˆk, r a a), r a hvor a er radius i sylinderen, r er radiell avstand fra sylinderaksen og I er en konstant med enhet ampere. Metallet i sylinderen har permeabilitet µ. (a) Finn et uttrykk for strømmen I(r) innenfor et sirkulært tverrsnitt med radius r a sentrert på sylinderaksen. Vis fra resultatet at total strøm som går gjennom hele tverrsnittet av ledningen er I. Løsning: For å finne strømmen gjennom et tverrsnitt innenfor lederen må vi integrere strømtettheten fra til generell r. Med J(r) = I [ ( ] r π a) får vi I(r) = J d A = r J(r) πr dr = 4I = 4I r [ ( ] r r dr a) [ r 4 r 4 ] r = I r ( r ). () (b) Bruk Amperes lov til å finne et uttrykk for størrelsen av magnetfeltet B(r) i området r a og i området r a. Løsning: Amperes lov lyder B d s = µ I encl. Vi velger en integrasjonsvei langs en sirkel med radius r > a med senter i midten på lederen, som vist i figuren. Vi kan velge sylinderkoordinater, og får at B, som er en tangent til sirkelen, kan skrives på vektorform: B = Bφ ˆφ, hvor ˆφ er enhetsvektor i φ-retning. For den valgte integrasjonsveien får vi d s = r dφ ˆφ, og φ går fra til π for sløyfa. Magnetfeltet B og d s er derfor parallelle, og vi får i venstre side av Amperes lov B d s = π B φ r dφ = B φ r π dφ = πrb φ. () (Legg merke til at r og B φ er konstant over den valgte integrasjonsveien. Dette er ofte Page 3

4 noe som tilstrebes ved ulike valgmuligheter av integrasjonsveger for å gjøre matematikken enklest mulig). I Amperes lov er I encl = I når integrasjonsvegen legges utenfor lederen. Amperes lov gir derfor B(r) = B φ (r) ˆφ = µ I πr ˆφ for r a. (3) Magnetfeltet for r < a finnes ved bruk av Amperes lov på tilsvarende måte. Velger integrasjonsveg som en sirkel med radius r < a og senter i lederen. Venstre side av Amperes lov blir som i likning (??). Strømmen som krysser planet er nå gitt av I(r) i likning (??), og Amperes lov gir πrb φ (r) = µ I(r) B(r) = B φ (r) ˆφ = µ ) I π r ( r ˆφ for r a. (4) (c) Er magnetfeltet kontinuerlig for r = a? Løsning: Sjekk av kontinuitet ved å ta grenseverdier når r a: for r a : for r a : lim r a + B φ lim r a B φ (??) µ I = lim r a + πr = µ I πa, (??) µ = lim r a π Ir ) ( r = µ I πa. Dvs. B-feltet er kontinuerlig for r = a. Det skal det være med mindre det er overflatestrøm ved r = a. Helmholtzspoler 9. For å lage svært homogene magnetfelt, benyttes to koaksiale spoler som vist på figuren. Slike spoler er også brukt i laboratorieoppgave. Spolene er like, med radius a og viklingstall N, de fører samme strøm I i samme retning, og er plassert i avstand b fra hverandre. (a) Velg z-aksen langs spoleaksen med origo midt mellom spolene, anta at tykkelsen av spolene er neglisjerbar og vis at B-feltet langs aksen er retta langs aksen og gitt ved [ ( B(z) = µ NI ) 3/ ( ) ] 3/ + (z + b) + + (z b). Tips: Bruk resultat fra kap 8.5 og forelesning: B-felt fra en sirkulær strømsløyfe er B z = µ I ( + z ) 3/. Page 4

5 Den verdien av b som gir homogent felt over et størst mulig område er b = a, dvs. avstand mellom spolene = radien. Konfigurasjonen kalles da helmholtzspoler, etter Hermann von Helmholtz (tysk, 8-94). Løsning: Velger origo midt mellom spolene og skal finne B-feltet i et punkt z på aksen (se figur). Avstandene fra dette punktet og til henholdsvis venstre og høyre spole vil være henholdsvis (b + z) og (b z). Vi bruker uttrykket for B-feltet fra en sirkulær strømsløyfe samt superposisjonsprinsippet, og får følgende B-felt som ifølge høyrehåndsregelen er retta langs aksen mot venstre: B(z) = N B sloyfe (b + z) + N B sloyfe (b z) [ ( = µ NI ) 3/ ( ) ] 3/ + (z + b) + + (z b). (5) (b) Verifiser at magnetfeltet er best homogent for a = b ved å skissere grafen til B(z) for ulike verdier av a med fast b. Bruk Python eller et annet egnet kurvetegningsporgram og velg dimensjonsløse størrelser, der vi anbefaler ζ = z/b, α = a/b og da plotte B/B, der du selv finner uttrykket for B. Vis kurva f.eks. i området ζ [, +] for ulike verdier av α rundt., og vis at kurva blir mest mulig flat for vilkåret gitt ovenfor. Løsning: Ligning (??) over kan skrives dimensjonsløs: [ ( ) 3/ ( ) ] 3/ B = α B α + (ζ + ) + α + (ζ ) (6) med dimensjonsløse størrelser B = µ NI, α = b b og ζ = z b. I figuren under er vha. Matlab B/B plottet som funksjon av ζ og med fem ulike verdier av α. Kurva er klart flatest for α =., som tilsvarer a = b, magnetfeltet er altså best homogent her. Men testen vår begrenser seg til B-feltet langs aksen, vi kunne også testet homogeniteten på tvers av aksen. Men det har vi ikke likninger til her. Et forslag til Python-kode er vist på siste side i dette løsningsforslaget. Page 5

6 B for Helmholzspole for ulike α=a/b α=.5 α=.75 α=. α=.5 α=.5.75 B/B z/b (c) En av de vanligste anvendelsene av helmholtzspoler er i eksperimenter hvor man ønsker å kompensere jordmagnetfeltet og dermed få B tot =. Anta jordmagnetfeltet B jord = 5 µt og bestem nødvendig N I ( amperevindingstall ) for å nulle ut jordmagnetfeltet ved z = når b = a/ og a =.5 m. Løsning: Med b = a og z = i likningen får vi B() = µ NI NI = B() = µ NI a ( a 5 µ 4 a 3 ( ( 5/4 ) 3/ + ( ) + a 3 ( ) 3/ = 5 µt.5 m µ ) 3/ + ( ) ) 3/ = µ ( ) 3/ NI 4 a 5 ( ) 3/ 5 = 3.9 A = 4 A. 4 Magnetfelt i koaksialkabel. Bruk Amperes lov til å finne H-feltet i alle områder for en uendelig lang koaksialkabel som fører en strøm +I i innerleder og I i ytterleder. Innerlederen er en massiv sylinder med radius a, ytterleder er en sylinder med innerradius b og ytterradius c. Mellom lederne er det elektrisk isolerende materiale med permeabilitet µ. Anta at kabelen ligger langs z-aksen og at strømmen er jamt fordelt over tverrsnittet. Beregn H(r) for alle r og lag en skisse av H(r). Page 6

7 Løsning: Vi bruker Ampères lov for magnetfeltstyrken H med integrasjonsveg lik sirkel med radius r konsentrisk med kabelen (se stiplet sirkel på figuren). Pga. symmetri vil H være asimutalt retta: H = H ˆφ og ha konstant verdi på integrasjonvegen. Retningen gitt av høyrehåndsregelen. Amperes lov gir H d s = H πr (Amp) = I encl = J d A, (7) der I encl er strømmen i arealet innenfor integrasjonsvegen. Med jevnt fordelt strøm blir strømtettheten konstant innenfor hvert område og lik henholdsvis J a = I πa r < a r [a, b] J = J bc = I (8) π(c b ) r [b, c] r > c. For alle r er J da og da = πrdr, slik at strømmen I encl i tverrsnitt mellom radius r og r blir I encl = J da r = J π r dr = Jπ r r r. (9) Løsning av likning (??) for de ulike områdene på tilsvarende måte som i oppg. 8: J a π(r ) = I r a r < a I r [a, b] H πr = I + J bc π(r b ) = I I r b c b r [b, c] r > c I π r a r < a I π H(r) = ( r ) r [a, b] I π r b c b r r [b, c] r > c Skisse av H(r): r Page 7

8 Page 8

9 Oppgave 9. Helmholtzspoler. Forslag til Python-kode: %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Losningsforslag til Helmholtzspole (Øv TFY455) % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% from matplotlib.pyplot import figure, title, plot, xlabel, ylabel, legend, show, ylim from numpy import linspace def B_felt(a,z): return a***((a**+(z+)**)**(-3/)+(a**+(z-)**)**(-3/)) if name == main : zeta=linspace(-,,num=) figure( Figur ) title(r B for Helmholtzspole for ulike \alpha=a/b ) alpha=[.5,.75,.,.5,.5] for a in alpha: plot(zeta,b_felt(a,zeta),label=r $\alpha=%.f$ %a) ylim([.55,.9]) xlabel(r $z/b$ ) ylabel(r $B/B_{}$ ) legend(loc= upper center,frameon=false) show() Page 9