Flervalgsoppgaver. Gruppeøving 8 Elektrisitet og magnetisme. 1. SI-enheten til magnetisk flukstetthet er tesla, som er ekvivalent med A. E.

Transkript

1 Flervalgsoppgaver 1. SI-enheten til magnetisk flukstetthet er tesla, som er ekvivalent med A. N s C m B. N C s m C. N m s 2 D. C A s E. Wb m 2 Løsning: F = q v B gir [B] = N Cm/s = N s C m. 2. Et elektron med masse m e og ladning e befinner seg i et uniformt magnetfelt B = B 0 ˆk. Ved tidspunktet t = 0 har elektronet hastighet v = v 0 ĵ + v 0 ˆk. Hva slags bevegelse får elektronet? A. Sirkelbevegelse med radius m e v 0 /eb 0 B. Sirkelbevegelse med radius 2m e v 0 /eb 0 C. Sirkelbevegelse med radius 2m e /eb 0 D. Heliksbevegelse med radius m e v 0 /eb 0 E. Heliksbevegelse med radius 2m e v 0 /eb 0 Løsning: Hastighetskomponenten v 0 ˆk parallelt med B forblir uendret (Lorentzkrafta F = v B) mens hastighetskomponenten v 0 ĵ normalt på B gir en sirkelbevegelse med uendret banefart v 0. Ifølge Lorentzkrafta og sentripetalkraft, qv 0 B 0 = m e v 2 0/r, som gir r = m e v 0 /eb 0. Konstant stigning pluss sirkel er en heliksbevegelse. 3. Alle ladde partikler soasserer gjennom et krysset elektrisk og magnetisk felt uten å bli avbøyd har samme A. masse B. fart C. bevegelsesmengde D. energi E. forhold mellom ladning og masse Løsning: Med krysset elektrisk og magnetisk felt virker elektrisk og magnetisk kraft i motsatt retning. Når det akkurat ikke er avbøyning er Lorentzkrafta F = q( E + v B) = 0. Altså v = E/B gjelder for alle partikler, altså må de ha samme fart. 4. Figuren viser et uniformt magnetisk felt B soeker inn i papirplanet (grå kryss). Et negativt ladd partikkel beveger seg i planet. Hvilken bane følgeartikkelen? A. 1 ut av planet B. 2 inn i planet C. 3 D. 4 E. 5 Løsning: Høyrehåndsregelen brukt på vektorene v (soeker mot høyre) og B (soeker inn i planet) sier at kraften F = q v B på en positiv ladning peker oppover. Siden ladningen er negativ vil kraften peke nedover, og partikkelen følger banen som bøyer av nedover. 5. Et positivt ladd partikkel beveger seg i et rom med uniforme (homogene) felt E og B, som er rettet i henholdsvis positiv x- og positiv y-retning. Hvis det er null resultantkraft på partikkelen må dens hastighet være i A. positiv x-retning B. negativ x-retning C. positiv y-retning D. positiv z-retning E. negativ z-retning

2 Løsning: Resultantkraft = Lorentzkrafta = F = q( v B). Skal denne være null må v B ha retning motsatt E, dvs. i negativ x-retning. Da må v ha retning i positiv z-retning, etter høyrehåndsregelen. 6. En ladd partikkel med ladning q og masse m beveger seg med en hastighet v i en sirkel i et uniformt magnetfelt soeker normalt på fartsretningen til partikkelen. Dersom vi dobler hastigheten til partikkelen (og holder alle andre størrelser konstant), hvordan påvirkes radiusen til sirkelbevegelsen? A. Radiusen firedobles B. Radiusen dobles C. Radiusen forblir uendret D. Radiusen halveres E. Radiusen reduseres til en fjerdedel Løsning: Radiusen til partikkelbanen er gitt ved R = mv/ q B er direkte proporsjonal med partikkelens hastighet, så radiusen dobles hvis hastigheten dobles. 7. Foartikkelen i oppgave 6, hvordan påvirkes rundetiden (perioden) til partikkelen når man dobler hastigheten? A. Tiden dobles B. Tiden forblir uendret C. Tiden halveres D. Tiden firedobles E. Tiden reduseres til en fjerdedel Løsning: Radiusen var doblet, så banen partikkelen følger er dobbelt så lang. Siden hastigheten også var doblet vil tiden det taer runde være uendret. (Dette følger også av ω = q B/m som sier at vinkelhastigheten ω er uavhengig av den lineære hastigheten v. Dermed vil perioden, T = 2π/ω, heller ikke avhenge av v.) Lorentzkrafta 8. Jordas magnetfelt er et sted på jordoverflata målt til å ha en størrelse 0.60 G retta nedover og nordover med en vinkel på 70 med horisontalplanet som vist i figuren. (Jordas magnetfelt varierer fra sted til sted dette er feltet som finnes sentralt i USA, i Trondheim er verdien ca 0.50 G og vinkelen litt større.) G = gauss = 10 4 T. Page 2

3 Et proton med ladning e = C beveger seg horisontalt i nordover-retning med hastighet v = 10.0 Mm/s = m/s. Beregn den magnetiske krafta F på protonet (størrelse og retning). Tips: Velg et kartesisk koordinatsystem med x øst og y nord, og uttrykk B-vektor og v-vektoå komponentform, og utfør kryssproduktet. Løsning: Velger x-retning øst og y-retning nord og dermed z-retning oppover. Da er B = [0, B cos 70, B sin 70 ] og v = [0, v, 0] og krafta vil falle i x-retning (høyrehåndsregelen): F = q v B 0 v 0 = q 0 B cos 70 B sin 70 î ĵ ˆk = qvb sin 70 ( î ) = ( C)( m/s)( T) ( î ) = N( î ). Alternativt kan vi sette direkte F = q v B sin θ, med θ = vinkel mellom v og B, altså θ = 70. Høyrehåndsregelen viser at F må falle langs negativ x-retning, dvs. vestover, og altså med tallverdi: F = qvb sin 70 = 9, N. Lorentzkrafta hastighetsfilter 9. Ladde partikler blir med en fart v skutt inn i et område med krysset elektrisk og magnetisk felt (dvs. E og B er normale på hverandre). Feltene er homogene og innfallshastigheten v til partiklene er normal til både E og B. Magnetisk flukstetthet er B = T. Det elektriske feltet er generert mellom et par av like og motsatt ladde parallelle plater med avstand 20 mm. Nåotensialforskjellen mellolatene er 300 V, er det ingen avbøyning av partiklene. Hva eartikkelfarten v? Løsning: Lager først et koordinatsystem etter opplysningene i teksten. v, E, og B er alle normalt på hverandre og legger dem da langs hver sin akse som figuren viser. Når det ikke er noen avbøyning av partikler, har vi i følge Newtons lov at resulterende Lorentzkraft er lik null, elektrisk og magnetisk kraft oppveier hverandre. Begge krefter går i y-retning, og vi får ifølge høyrehåndsregelen ( ) ) F = q E + v B = q (E y ĵ + v x B z ( ĵ ) 0 E y = v x B z v x = E y 300 V/0.020 m = = m/s. (enhetsregning : T = Vs/m 2 ) B z T Page 3

4 Massespektrometer 10. Et massespektrometer er et ofte brukt vitenskapelig instrument som skiller ladde partikler (ioner) som har ulike forhold mellom masse og ladning (q/m). Partiklene akselereres først over et potensial V slik at de får en hastighet v. De sendes så inn i et magnetfelt som står normalt på hastighetsvektoren. Lorentzkrafta gir avbøyning slik at banen blir en del av en sirkel. Jo større q/m-forholdet er for ionene, jo mindre blir baneradien r. Figuren viser en sterkt forenklet skisse av et massespektrometer. Åpningene S 1 og S 2 tjener som kollimatorer foartikkelstrålen. Det akselererende potensialet V legges mellom S 1 og S 2. Strålen bøyes 180 av et B-felt soeker opp av papirplanet. Kollektoren P kan være en fotografisk plate eller oftest en detektor som registrerer ionene. Denne ligger i samme plan som den negative plata. Et proton med ladning q p = e og masse blir akselerert og sendt inn i det homogene magnetfeltet. Protonet er tilnærmet i ro ved start fra den positivt ladde plata. Avstanden mellolatene som setter opp potensialet er d. (a) Beregn hastigheten til protonet idet det går gjennom aperturen og inn i området med det homogene magnetfeltet når V = 3, 00 kv og d = 1,000 mm. Løsning: Hastigheten til protonet idet det når aperturen i den negative plata finnes ved å se på energien. Elektrisk potensiell energi er lik kinetisk energi: q p V = 1 2 v 2 p (1) ( ) 1/2 ( 2qp V 2 ( C)( ) 1 2 V) v p = = = m/s kg = m/s. Avstanden d = mm mellolatene har ingen betydning. (b) Hvor trefferotonet den fotografiske filmen når B = 0, 400 T? (Angi svaret med avstanden L p mellom treffpunktet og derotonet går inn i magnetfeltet, dvs. L p = 2, der erotonets baneradius.) Løsning: Vi finner treffposisjon på den fotografiske plata ved å se på krafta som virkeå protonet i det magnetiske feltet. Krafta er F p = q p v p B = q p v p B fordi hastighetsvektoren v p og det magnetiske feltet B står vinkelrett på hverandre. Krafta står vinkelrett på både v p og B slik at krafta peker radielt innover i en sirkel. Protonet følger altså en sirkel med radius og akselerasjonen er gitt ved sentripetalakselerasjonen F s : F p F s q p v p B = v2 p = v p q p B. (2) Page 4

5 Protonet treffer den fotografiske plata i en avstand L p fra aperturen: L p = 2 = 2 v p q p B = 2 ( kg)( m/s) ( = 3.96 cm. C)(0.400 T) (c) Når vi undersøker en blanding av to positivt ladde ioner med oppsettet over, finner vi to flekker på den fotografiske filmen som treffer i en avstand 5 4 L p og 5 2 L p fra deartikkelen går inn i magnetfeltet, der L p erotonets avstand funnet i b). Hva er massen til disse partiklene når det er kjent at de begge har en ladning 2q p? Løsning: Det er flere måter å finne løsningen på. Enkleste regning kanskje ved å søke etter masseforholdet m 1 /. Sirkelbevegelsen gir for henholdsvis partikkel 1 og foroton, se likn. (??): m 1 v2 1 r 1 = q 1 v 1 B og v2 p = q p v p B. Vi dividerer disse to ligningene med hverandre og får m 1 = q 1 v 1 r 1 vp 2 q p v p v1 2 = q 1 r 1 v p. (3) q p v 1 Vi trenger hastighetsforholdet vp v 1 som vi finner fra akselerasjonslikningen (??) som ved ligningsdivisjon gir 1 2 v 2 p = q p V og 1 2 m 1v 2 1 = q 1 V, v 2 p v 2 1 = q p q 1 m 1 v p v 1 = qp q 1 m1. Setter inn i ligning (??) og får m 1 = q 1 q p r 1 qp q 1 m1 q1 r 1 m1 = m 1 = q 1 q p q p Tilsvarende vil vi finne for den andre partikkelen, Massene i kg blir m 2 = q 2 q p ( r2 ) 2 = 2 ( ) 2 5 = ( r1 ) 2 = 2 m 1 = 25 8 = kg, m 2 = 25 2 = kg. ( ) 2 5 = Kraftmoment i magnetfelt 11. Ei kvadratisk ledersløyfe med sidekant a og strøm I elassert i et homogent magnetfelt B = B ˆk. Flatenormalen A = a 2 ˆn ligger i xz-planet og danner en vinkel θ med z-aksen. Sløyfa ligger med sentrum i origo. Du skal beregne de magnetiske krefters kraftmoment τ om y-aksen. Husk kraftmoment = arm ganger kraft, τ = r F. Page 5

6 (a) Vis i en skisse retningen for den magnetiske krafta på hver av de fire rette lederstykkene. Hvilke av kreftene bidrar til kraftmomentet τ? Finn uttrykk for alle kreftene og beregn τ. Bruk kartesiske komponenter î, ĵ og ˆk. Løsning: I figuren er kreftene på strømmene i +y og y-retninger inntegnet som henholdsvis F 1 og F 2. Disse bidrar til kraftmoment τ om y-aksen. Kreftene F 3 og F 4 på de to andre greiner (ikke inntegnet) er motsatt like store, virker i +y-retning og y-retning og kan ikke rotere sløyfa (bidrar ikke til τ). Uttrykk for kreftene: F 1 = I l 1 B ( = I a ĵ B ˆk ) = IaB î, F 2 = I l 2 B ( = I a ĵ B ˆk ) = IaB î. Den nærmeste greina i figuren med strøm ned mot høyre: F 3 = I l 4 B = IaB sin(π/2 + θ)( ĵ ) = IaB cos θ ĵ. og for greina bakerst med strøm opp mot venstre: F 4 = I l 3 B = IaB sin(π/2 θ) ĵ = IaB cos θ ĵ. Kreftene F 3 og F 4 nuller hverandre ut. Totalt kraftmoment om origo er da τ = r 1 F 1 + r 2 F 2, hvor r 1 og r 2 er de tilhørende armene. Da F 1 = F 2 og r 1 = r 2, er kraftmomentet lik fra begge kreftene. Med r 1 = r 2 = a/2, F 1 = IaB og vinkel θ mellom r 1 og F 1 gir høyrehåndsregelen at totalt kraftmoment er lik τ = 2 r 1 F 1 = 2 a/2 IaB sin θ ( ĵ ) = Ia2 B sin θ ĵ. (b) Vis at kraftmomentet kan uttrykkes på formen τ = µ B, hvor µ = I A er sløyfas magnetiske moment. Løsning: Det magnetiske moment er µ = IA ˆn = Ia 2 ˆn, og idet vi innser at θ er lik vinkelen mellom µ og B (dvs. mellom ˆn og ˆk ) og at ˆn ˆk = sin θ ĵ, ser vi at vi kan skrive µ B = Ia 2 ˆn B ˆk = Ia 2 B( sin θ ĵ ) = τ, som skulle vises. (c) Med potensiell energi U(θ = π/2) = 0, finn uttrykk for U(θ). Page 6

7 Løsning: Potensiell energi du def = dw = F d s = τ dθ ĵ = Ia2 B sin θdθ. Obs fortegn: økende θ gir økende pot. energi. Integrert: U(θ) U(π/2) = θ π/2 du = θ π/2 Ia 2 B sin θdθ = Ia 2 B [cos θ] θ π/2 = Ia2 B cos θ = µ B. Utledningene i denne oppgaven tilsvarer den presentert i forelesning og i kap i Young & Freedman. Page 7