FYS1120 Elektromagnetisme, vekesoppgåvesett 9 Løsningsforslag

Transkript

1 FYS1120 Elektromagnetisme, vekesoppgåvesett 9 Løsningsforslag 16. november 2016

2 I FYS1120-undervisninga legg vi meir vekt på matematikk og numeriske metoder enn det oppgåvene i læreboka gjer. Det gjeld òg oppgåvene som vert gitt til eksamen. Difor er det viktig at du gjer vekesoppgåvene som vi gir. Oppgåve 1 Massespektrograf Ein massespektrograf brukast for å måle massen til forskjellige ionar, eller for å skille frå kvarandre ionar med forskjellig masse. I eit design av eit slikt apparat vert ionar med masse m og ladning q akselerert gjennom ein potensialforskjell V. Så kjem dei inn i eit uniformt magnetfelt som står vinkelrett på fartsretninga deira, slik at dei vert bøygde av i ein sirkelbane med radius R. Etter at dei har gått ein halvsirkel vert dei målt av ein detektor, noko som gjør det lett å måle R. I figur 1 viser vi situasjonen. Det raude området har ein potensialforskjell og det blå området har eit magnetfelt. Figur 1: a) Utlei likninga for å rekne ut massen til eit ion frå målingar av B, V, R og q. Svar: Vi bruker Newtos 2. lov for sirkelbevegelse, siden det kun er kraften fra magnetfeltet som virker vil denne opptre som sentripetalkraften m v2 R = qv B Og magnetfeltet er vinkelrett på hastigheten til partikkelen, som gir m v2 R = qvb, (1)

3 vi forutsetter her at q er positiv. Videre vet vi at magnetfeltet ikke endrer den kinetiske energien til partikkelen, da magnetisk kraft alltid er vinkelrett på hastighetene. Partikkelen oppnår kinetisk energi 1 2 mv2 fra potensialet V, det vil si 1 2 mv2 = qv 2qV v = m. Vi kan nå løse (1) for å finne massen ved å sette inn for farten ( ) 2qV 1 m m R = qb m = q(rb)2 2V b) Kva potensialforskjell V trengs for at einskildioniserte 12 C-atom får R = 50.0 cm i eit magnetfelt på T? Svar: Et 12 C-ion har med ladning e og masse er 12u. Fra a) har vi at V = q B2 R 2 2m = (0.150) 2 (0.5) 2 2 ( V = 22.6kV. c) Anta at strålen består at ein miks av 12 C- og 14 C-ionar. Viss V og B har same verdi som i b), rekn ut kor langt unna kvarandre dei to typene treff detektoren. Trur du at ein slik separasjonsavstand er stor nok til at vi klarer å skille dei frå kvarandre? Svar: For 14 C ioner (med samme ladning) er massen 14u. Da får vi en radius 2m14 C V R 14 C = 1 B = 54cm. e Vi får altså en forskjell i radius på 4cm. Noe som burde kunne måles.

4 Oppgåve 2 Terminalfart Ein straumførande stav med lengd L, masse m og motstand R farer utan friksjon på metallskinner som vist i figur 2. Eit uniformt magnetfelt B peiker inn i planet i figuren. Staven startar i ro og vert påverka av ei konstant kraft F som peiker mot høgre. Skinnene er uendeleg lange og har neglisjerbar motstand. Figur 2: a) Skissér farta til staven som funksjon av tida. Du kan anten rekne ut rørsla, eller bruke intuisjonen din. (Eller båe!) Svar: Vi antar at skinnene kan lede strøm uten motstand. Da er spenningen som iduseres over staven lik V = vbl, der v er farten til staven. Ved Ohms lov har vi da IR = vbl, der I er strømmen som induseres av endringen i magnetisk flukstetthet innenfor arealet avgrenset av skinnene og staven. Strømmen vil få en retning som er mot klokken. Da er den magnetiske kraften på staven gitt av F B = IL B. Og vi ser at denne kraften vil nøyaktig virke i motsatt retning av F med størrelse ILB. Da kan vi sette opp Newtons 2. lov for staven, siden kreftene virker langs samme akse finner vi da m dv dt = F F B = F v B2 L 2 R. (2)

5 Figur 3: Skisse av fart mot tid. v T er terminalfarten. Dette gir en første ordens differensiallikning for farten dv dt + B2 L 2 Rm v = F m. Denne har nøyaktig samme form som for en partikkel som faller i et konstant gravitasjonsfelt med luftmotstand som er proporsjonal med farten. Vi kan løse den med integrerende faktor e B2 L 2 Rm t, eller ved å separere. Ved å sette inn initialbetingelse v(0) = 0 får vi løsningen v(t) = F R B 2 L 2 ( 1 e B2 L 2 Rm t ). Det som skjer ettehvert som farten øker er at den induserte spenningen og dermed strømmen øker. Da øker også den magnetiske kraften, som bremser bevegelsen, proporsjonalt med strømmen. Dette skjer helt til staven når en hastighet som eksakt gjør at disse to kreftene eksakt kansellerer hverandre, og staven fortsetter med en konstant fart. b) Finn eit uttrykk for terminalfarta til staven. Forklar kvifor farta er proporsjonal med motstanden R. Når kreftene kansellerer hverandre har staven nådd sin terminalfart. Da er akselerasjonen lik null og vi

6 finner da fra ligning (2) at 0 = F v T B 2 L 2 R v T = F BL R. Vi ser at terminalfarten er proprosjonal med R. Det burde den være da større resistans impliserer at farten også må vokse for at den induserte strømmen kan bli stor ok til at den magnetiske kraften skal klare å overvinne F. Oppgåve 3 Ved ekvator har jordas magnetfelt ein storleik på T og er om lag horisontalt, peikande mot nord. Ein skyttar byrjer å lure på kva for elektromotorisk spenning som vert laga i kulene medan dei er i fart. Kulene er l = 1.0 cm lange, har ein diameter på d = 0.4 cm og ei fart på v = 300 m/s når dei flyg. a) Viss ho skyt mot aust, er det noko elektromotorisk spenning? Viss ja, kva er storleiken på han? Kva side (topp, botn, foran eller bak) har høgast potensial? Svar: Om skytteren skyter østover vil jordens magnetfelt være vinkelrett på kulas hastighet. Den magnetiske kraften på ladningsbærere inne i kula vil da være F B = qv B, og peke rett oppover, eller nedover avhengig av fortegn til ladningene. Størrelsen på kraften vil være F B = qvb. Det vil da hope seg opp positiv ladning på oversiden av kula, og negativ ladning på undersiden. Dette skjer helt til den elektriske kraften mellom positive ladninger på toppen og negative ladninger på undersiden eksakt kansellerer F B. Hvis vi setter dette opp for en ladning e på undersiden (eller oversiden, det spiller ingen rolle) har vi ee = evb E = vb. Der E er det elektriske feltet som induseres på grunn av opphopningen av ladning på over-/undersiden. Den induserte spenningen vil være lik produktet av det induserte elekriske feltet og diameteren på kula E = Ed = vbd. Setter vi inn verdiene som er gitt i oppgaven får vi E = 96µV. Siden den vi får en opphopning av positiv ladning i toppen av kula vil denne være ved høyes potensial, bunnen ved lavest. Det er ingen spenningsforskjell mellom forenden og bakenden til kula.

7 b) Kva er den elektromotoriske spenninga viss ho skyt mot sør? Svar: Hvis skytteren skyter rett sørover vil hastigheten være parallell, men motsatt rettet, med magnetfeltet. Det vil da ikke være noen magnetisk kraft som virker på ladningsbærerne inne i kula og dermed ingen indusert spenning. Oppgåve 4 Ein gjenverande straum Ein sirkulær løkke av ein straumleiar med radius a og motstand R har i byrjinga ein magnetisk fluks gjennom seg på grunn av eit eksternt magnetfelt. Så vert det eksterne feltet skrudd av. Ein straum vert indusert i løkka medan det eksterne feltet endrar seg. Grunnen er at straumen sjølv lagar eit magnetfelt som gir ein magnetisk fluks gjennom løkka. Viss straumen endrar seg så endrar fluksen seg òg, og ein indusert elektromotorisk spenning oppstår i løkka for å motverke endringa. a) Magnetfeltet i midten av løkka med radius a er gitt ved B = µ 0 i/2a, der i er straumen i løkka. Viss me bruker den grove tilnærminga at feltet har denne same verdien i alle punkt inni løkka, kva er fluksen av feltet gjennom løkka? Svar: Magnetsisk fluks er Φ B = B da. Fordi vi har en sirkulær sløyfe, og magnetfeltet tilnærmes å være kosntant får vi Φ B = B A = µ 0i 2a πa2 = µ 0 ia π 2. Der vi velger at A har samme retning som B. b) Bruk Faradays lov og relasjonen ε = ir til å vise at etter at det eksterne feltet har slutta å endre seg så oppfyller løkkestraumen i differensiallikninga ( ) di 2R dt = i. (3) πµ 0 a

8 Svar: Indusert spenning i sløyfa er gitt av Faradays lov E = dφ B dt. Samtidig har vi Ohms lov rundt sløyfen E = ir, som gir ir = µ 0 a π 2 di dt. Da har vi finner vi den første ordens differensiallikningen di dt + 2R µ 0 aπ i = 0 c) Straumen har verdien i 0 ved tida t = 0, som er tidspunktet der det eksterne feltet sluttar å endre seg. Løys likning (3) og finn i som funksjon av t for t > 0. Svar: Vi definerer τ µ 0aπ 2R Innfør integrerende faktor e t/τ, di dt et/τ + i 1 τ et/τ = 0. ( ie t/τ ). Ved integrasjon får vi da at høyresi- Venstre siden er da lik d dt den er lik en konstant Og vi har den generelle løsningen da ser ligningen (3) ut som di dt + 1 τ i = 0. ie t/τ = C. i(t) = Ce t/τ Med initialbetingelse i(0) = i 0 er løsningen i(t) = i 0 e t/τ.

9 d) Viss løkka har radius a = 50 cm og motstand R = 0.10 Ω, kor tid vil straumen i vere lik i 0? Svar: Etter en tid t = t 1 har vi at i(t 1 i 0 = Da løser vi for t 1 Vi har da at = e t 1/τ t 1 = τ ln t 1 = µ 0aπ 2R 2 ln 10. Setter vi inn verdiene for a og R finner vi t 1 450ns. e) I eksempla i boka vart denne effekten ignorert. Forklar kvifor det er ein god tilnærming. Svar: Vi ser at dette er en effekt som veldig raskt dør ut. Eksemplene i læreboka er stort sett ikke opptatt av effekter på en så liten tidsskala som noen tidels mikrosekuder.