SG: Spinn og fiktive krefter. Oppgaver

Transkript

1 FYS-MEK1110 SG: Spinn og fiktive krefter Oppgaver 1 GYROSKOP Du studerer bevegelsen til et gyroskop i auditoriet på Blindern og du måler at presesjonsbevegelsen har en vinkelhastighet på ω = 0.3 rad/s. Hvis du tar det samme gyroskopet til månen, der tyngdeakselerasjonen er en sjettedel sammenlignet med den på jorden, g M = 1 6 g E, og du setter opp forsøket på identisk måte, hvilken vinkelhastighet vil du måle for presesjonsbevegelsen? Forklar! LØSNINGSFORSLAG FINNES I EKSAMEN: FYS-MEK1110 V015 SPINN Et mål påen skytebane består av en tynn kvadratisk metallskive som henger ned vertikalt fra et hengsel. Skiven kan rotere fritt uten friksjon om en horisontal akse langs sin øvre kant. Skiven har masse M og kantene har lengde d. Treghetsmomentet til skiven om rotasjonsaksen er I = 1 3 Md. En blykule med masse m = M 3 treffer skiven midt i blinken med hastighet v 0. Prosjektilet fester seg midt på skiven og prosjektil og skive beveger seg som ett etter kollisjonen. Du kan anta at kulen har ingen utstrekning. (a) Finn treghetsmomentet til hele systemet som består av skiven og prosjektilet. (b) Diskuter hvilke av følgende størrelser er bevart under kollisjonen mellom prosjektilet og skiven: mekanisk energi, bevegelsesmengde, spinn. Begrunn svar! (c) Finn vinkelhastigheten til skiven etter kollisjonen med prosjektilet som funksjon av v 0 og d 1

2 (d) Hvilken høyde h over likevektsposisjonen når massesenteret til skiven før den begynner å svinge ned igjen? (e) Hvor stor må hastigheten til prosjektilet være for at skiven gjør en full rotasjon? I resten av oppgaven bruker vi et gummiprosjektil i stedet for en blykule. Gummiprosjektilet har samme masse m = M 3 og treffer skiven også i sentrum, men den spretter tilbake med hastighet v 1 etter en elastisk kollisjon med skiven. (a) Vis at hastighet til prosjektilet umiddelbart etter kollisjonen er v 1 = 3 5 v 0 (b) Finn vinkelhastigheten til skiven umiddelbart etter kollisjonen. Hvilken kule gir en større høyde h? LØSNINGSFORSLAG FINNES I EKSAMEN: FYS-MEK1110 V015 3 TARZAN Tarzan hopper fra en klippe og griper en liane. Han hopper horisontalt ut fra klippen med hastighet v 0 ved tiden t 0. Lianen har massen M og lengden L, henger rett ned, og er festet i sitt øverste punkt, O. Tarzan hopper fra en høyde h over laveste punkt på lianen. Tarzan har masse m og blir etter?kollisjonen? med lianen hengende fast med massesenteret helt nederst på lianen. Lianen oppfører seg som en stav festet i et friksjonsfritt punkt O. Treghetsmomentet til en stav om massesenteret er I cm = 1 1 ML. Du kan se bort fra luftmotstand. (a) Tegn en figur som viser systemet i forskjellige tidsunkter (b) Hva er hastigheten til Tarzan umiddelbart før kollisjonen med lianen (ved t 1 )? (c) Hva er treghetsmomentet til lianen om punktet O? (d) Vis at vinkelhastigheten til lianen med Tarzan umiddelbart etter kollisjonen er ω = m M/3+m v 0 L. (e) Hvor høyt opp svinger Tarzan? Kan vi bruke spinnbevaring i denne oppgaven? Begrunn? LØSNINGSFORSLAG FINNES I EKSAMEN: FYS-MEK1110 V011

3 4 BLOKK ***, V6 DENNE OPPGAVEN ER LITT MER VANSKELIG Vi har en blokk med dimensjoner l l l, med masse M liggende på et bord. Den blir truffet av en kule med masse m og hastighet v. La os anta at en kant (K-K) av blokk på andre siden er festet til bordet, slik at den kan flippes rundt denne kanten. Se figuren. La oss også anta at støttet er elastisk. (a) Hva er vinkelhastighet til blokken i kollisjonen? Under kollisjonen spin med hensyn til KK aksen er bevart: mv;= mv l + I ω 0, hvor v er farten av kulen etter støtet, ω 0 - vinkelhastighet til blokken etter støttet. Siden dette er en elastisk kollisjon, er også kinetisk energi bevart: 1 mv = 1 mv + 1 I ω 0. Fra den første likningen finner vi v, setter inn til den andre og får likning hvor den eneste ukjente er ω 0 : ( I ) ml + I ω 0 Iv ω 0 = 0. l Dette gir to løsningene: en som gir ikke noe fysisk mening (ω 0 = 0) ser vi bort ifra. Endelig får vi: ω 0 = v I ml + l (b) Finn bevegelse likningene for blokken etter kollisjonen. Hvis vi tar β som en vinkel mellom en diagonal av sidevegg til blokken og en overflate til bordet, bevegelselikning til blokk etter stottet blir: I d β 5 dt + Mgl cosβ = 0, hvor initialbetingelse er β(0) = atan 1, dβ(0) dt = ω 0. Merk: hvis det er vanskelig for studentene å finne denne likningen, kan den også oppgis, og de må da bevise den. 3

4 (c) Hva er minimal hastighet som kulen må ha til å flytte blokken vertikalt? Energien som trengs til å flytte blokken vertikalt er: Mg a Mg l 5 1 = Mg, og denne energien skal tilføres fra kulen. Da har vi: 5 1 I Mg = ( I ml + v. l) Fra dette får vi hastigheten: ( ) I 1 Mg v = ml + l ( 5 1) I TIPS: Treghetsmoment mht. aksen gjennom massesentrum og parallel til K-K er I 0 = 5 1 l M. Treghetsmoment mht. aksen KK er I = I l M = 5 3 Ml. 5 FIKTIVE KREFTER: MOBIL Du står på en høy bygning i Singapore (som ligger i naerheten av ekvatoren. Du er så uheldig å miste telefonen din over kanten av bygningen. Mens den faller ned til bakken virker Corioliskraften F c = m ω v på telefonen, hvor ω er jordens vinkelhastighet. Finn retningen til Corioliskraften. Du kan anta at telefonen beveger seg bare i vertikal retning. Vil telefonen lande nord, øst, sør eller vest fra posisjonen der du mistet den? Begrunn svaret! LØSNINGSFORSLAG FINNES I EKSAMEN FYS-MEK1110 V016 6 FIKTIVE KREFTER: JORDEN La oss stoppe jordensrotasjon ved å bruke konstant akselerasjon i løpet av 5 minutt. Hvilke effekter vil du observere hvis du befinner deg på ekvator og på nordpolen? En person på ekvator vil i disse 5 minutt føle kraften som virker på ham og alt rundt: F = m ( d ω dt R ), hvor R er jordensradius. Denne kraften vil være parllelt til jordens overflate i retning øst. Vi kan finne at: d ω dt R = 1,76m/s, En person med masse 70 kg på ekvator vil føle kraften F = 13N i disse 5 minutter. I tillegg, en person på ekvator som vil måle jordens akselerasjon og vil merke at etter jorden stopper, vil den øke med Rω = 3,34 10 m/s, siden sentrifugal kraft har sluttet å virke. En person på polen vil ikke merke noe i det hele tatt. 4

5 7 FIKTIVE KREFTER: MISLYKKET JAKT To jekter skytter mot to elk : en til vest og en til sør fra dem, men ingen av dem treffer. De forklarer at det er pga. Corioliskraften. Hvem av dem kunne bruke denne unnskyldingen? Hva blir avvik til prosjektilet hvis snitthastighet er v = 300m/s og tid i luften er t = 1s. La oss si at vi er på geografisk bredde 55 o. La oss regne ut hvilken avvik vil Corioliskraften gi i de to tilfellene. Kraften er gitt med: F c = m ω v. Akselerasjon blir da: a c = ω v. Denne akselerasjonen i løpet av tid t = 1s vil gi følgende avvik: x = 1 a c t. For den som skytter mot vest: x 1 v 0 t ω =.cm For den som skyter mot sør: x 1 v 0 t ωsinφ = 1.8cm, hvor φ er en geografisk bredde. De to jektene kan ikke klage på Corioliskraften. 8 FIKTIVE KREFTER: FOUCAULT PENDULUM, III.78 På en geografisk bredde φ har vi et pendulum som henger på en lang snor (som i fysikkbygget). Finn bevegelselikningene til pendulum og ta hensyn til jordens rotasjon. Bevegelselikningene til pendulum er følgende: d x dt = g l x ( ω v) x [ ω ( ω r )] x, d y dt = g l y ( ω v) y [ ω ( ω r )] y, Hvor vi har egentlig bare brukt definisjonen. Disse likningene kan løses også analytisk hvis vi ser bort fra termer som har ω, hvis vi er bare interresert i små vinkler. Da får vi: d x dt = g l x + ωd y dt sinφ, d y dt = g l y ωdx dt sinφ. De to likningene kan da skrives som ett, ved å bruke ξ = x + i y, og da får vi: d ξ dt + g l ξ + iωdξ sinφ = 0. dt men dette blir da litt mer matte her og vi skal ikke gå i detaljene (siden det er litt utover pensum). 5