UNIVERSITETET I OSLO

Transkript

1 UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: FYS-MEK 1110 Eksamensdag: 14 juni 2019 Tid for eksamen: 14:30 18:30 (4 timer) Oppgavesettet er på 4 sider Vedlegg: Formelark Tillatte hjelpemidler: Øgrim og Lian: Størrelser og enheter i fysikk og teknikk eller Angell, Lian, Øgrim: Fysiske størrelser og enheter: Navn og symboler Rottmann: Matematisk formelsamling Elektronisk kalkulator av godkjent type. Kontroller at oppgavesettet er komplett før du begynner å besvare spørsmålene. Husk å forklare hvordan du løser problemene og begrunn svarene dine. Oppgave 1 (8 poeng) Et kar har en grov overflate med friksjonskoeffisient μ på den ene siden, mens den andre siden er helt blank og uten friksjon. En kule slippes fra en høyde h på siden med friksjon. a. Beskriv hvordan kulen beveger seg ned på siden med friksjon. Er friksjonskraften statisk eller dynamisk? Diskuter kvalitativ hvordan friksjonskoeffisienten og helningsvinkelen påvirker bevegelsen. (4 poeng) Når kulen slippes på siden med friksjon gir kraftmomentet fra friksjonskraften en vinkelakselerasjon til kulen. I tillegg til en akselerasjon ned helningen vil kulen også få en vinkelakselerasjon. Hvis friksjonskoeffisienten er stor og helningsvinkelen relativ små, er friksjonskraften statisk og kulen ruller uten å skli. Hvis friksjonskoeffisienten er relativ små eller helningen stor, oppnå friksjonskraften maksimalverdien for statisk friksjon og friksjonskraften blir dynamisk. I så fall vil kulen rulle og skli samtidig. b. Beskriv bevegelsen på siden uten friksjon. Hvor høyt opp kommer kulen på den andre siden hvor det er ingen friksjon: (i) lenger opp, (ii) like langt opp, eller (iii) mindre langt opp? Forklar! (4 poeng) Uansett om friksjonskraften er statisk og kulen ruller ned, eller om friksjonskraften er dynamisk og kulen ruller og sklir samtidig, har kulen både translasjons- og rotasjonsenergi i bunnen av karet. På den andre siden er det ingen friksjonskraft som kan bremse rotasjonsbevegelsen til kulen. Kulen vil fortsette å rotere med samme vinkelhastighet mens translasjonsenergien gjøres om til potensiell energi igjen. Også i det høyeste punktet roterer kulen. Rotasjonsenergien, som er konstant på siden uten friksjon, er ikke tilgjengelig som potensiell energi. Derfor kommer kulen ikke opp til samme høyde h.

2 Oppgave 2 (5 poeng) En homogen kule med masse M og radius R ruller uten å skli. Treghetsmomentet til kulen er I = 2 5 MR2. Hvilken kinetisk energi er større, den relatert til translasjon eller den relatert til rotasjon? Begrunn svaret ditt! Hvis kulen ruller uten å skli er relasjonen mellom lineær og vinkelhastighet gitt ved rullebetingelsen: v = Rω. Vi setter inn i uttrykket for rotasjonsenergi: E r = 1 2 Iω2 = 1 2 v2 MR2 2 5 R 2 = 1 5 Mv2 Rotasjonsenergien er dermed mindre enn kinetisk energi til translasjonsbevegelsen, som er: E t = 1 2 Mv2 Oppgave 3 (17 poeng) Du slipper en bowlingball slik at den sklir med initialhastighet v 0 langs en horisontal bowlingbane. Ballen, som har masse m og radius R, har ingen vinkelhastighet når du slipper den. Den dynamiske friksjonskoeffisienten mellom ballen og banen er μ d. Treghetsmomentet til ballen om massesenteret er I = 2 5 mr2. a. Tegn et frilegemediagram til ballen og navngi alle krefter. (3 poeng) G : gravitasjonskraft N : normalkraft f d : dynamisk friksjonskraft b. Finn både lineærakselerasjon og vinkelakselerasjon til ballen, uttrykt som funksjon av friksjonskoeffisienten μ d, radiusen R og tyngdeakselerasjonen g. (6 poeng) Det er ingen bevegelse i vertikal retning. Newtons andre lov i vertikal retning gir: N mg = ma = 0 N = mg Den dynamiske friksjonskraften er f d = μ d N = μ d mg, og Newtons andre lov i horisontal retning gir: f d = ma a = f d m = μ dg Vi ser på kraftmomentene om massesenteret: Gravitasjonskraften angriper i massesenteret og gir ingen kraftmoment. Normalkraften er parallell med kraftarmen og gir ingen kraftmoment heller. Den eneste kraften som gir et kraftmoment er friksjonskraften: τ cm = Rj ( f d )i = Rf d k = μ d mgrk Vi bruker spinnsatsen τ = Iα for å finne vinkelhastigheten om z aksen: α = τ I = μ dmgr 5 = mr2 c. Vis at ballen begynner å rulle uten å skli etter en tid: (5 poeng) v 0 t r = 2 7 μ d g μ d g R

3 Vi integrerer akselerasjon og vinkelakselerasjon for å finne henholdsvis hastighet og vinkelhastighet: v(t) = v 0 + at = v 0 μ d gt ω(t) = ω 0 + αt = 5 μ d g 2 R t Vi bruker rullebetingelsen for å finne tidspunktet t r når ballen begynner å rulle uten å skli: v(t r ) = Rω(t r ) v 0 μ d gt r = 5 2 μ dgt r v 0 = 7 2 μ dgt r t r = 2 7 μ d g d. Hva er hastigheten til ballen når den begynner å rulle uten å skli? (3 poeng) Vi setter denne tiden inn i uttrykket for hastigheten: v 0 v(t r ) = v 0 μ d gt r = v 0 (1 2 7 ) = 5 7 v 0 Oppgave 4 (13 poeng) En statue fraktes på lasteplanet av en lastebil som kjører med konstant fart v gjennom en sving med kurveradius R. Statuen står slik at en linje mellom føttene vil være vinkelrett på bevegelsesretningen, og avstanden mellom føttene er 2d. Massesenteret til statuen befinner seg i høyde h over et punkt på lasteplanet som ligger midt i mellom føttene. Mens bilen kjører gjennom svingen forblir statuen i ro uten å skli og uten å velte. Du kan se bort fra luftmotstanden, og du kan anta at avstanden d er små i forhold til kurveradius R. a. Tegn et frilegemediagram for statuen mens bilen kjører gjennom svingen og navngi aller krefter. Husk at begge føttene er i kontakt med lastebilen og vær oppmerksom på den relative størrelsen til kreftene. (4 poeng) Vi kan enten beskrive statuen i referansesystemet som er knyttet til gaten, eller i referansesystemet som beveger seg med bilen. Sett fra gaten virker friksjonskreftene som sentripetalkraft som holder statuen på sirkelbanen. Koordinatsystemet som beveger seg med lastebilen er ingen inertialsystem, og det oppstår i tillegg en sentrifugalkraft som fiktiv kraft. Begge beskrivelser er riktig.

4 G : gravitasjonskraft N 1 : normalkraft fra bilen på foten ytterst i svingen N 2 : normalkraft fra bilen på foten innerst i svingen f 1 : friksjonskraft fra bilen på foten ytterst i svingen f 2 : friksjonskraft fra bilen på foten innerst i svingen (F s : setrifugalkraft) b. Vis at normalkraften N 1 fra bilen på foten som er på utsiden av svingen er: N 1 = m hv2 (g + 2 Rd ) og at normalkraften N 2 fra bilen på foten som er på innsiden av svingen er: N 2 = m hv2 (g 2 Rd ) Husk at statuen ikke velter. (6 poeng) Vi bruker Newtons andre lov i både vertikal og horisontal retning: N 1 + N 2 mg = ma = 0 f 1 + f 2 = ma = m v2 R Siden statuen ikke velter er kraftmomentet om massesenteret null: τ cm = r 1 (N 1 + f 1 ) + r 2 (N 2 + f 2 ) = 0 hvor r 1 og r 2 er posisjonsvektorene til punktene hvor kreftene angriper. Med koordinatsystemet som definert i frilegemediagrammet finner vi: τ cm = ( di lj ) (f 1 i + N 1 j ) + (di lj ) (f 2 i + N 2 j ) = (hf 1 dn 1 + hf 2 + dn 2 )k = 0 h(f 1 + f 2 ) + d(n 2 N 1 ) = 0 Vi setter inn fra Newtons andre lov i horisontal retning: hm v2 R + d(n 2 N 1 ) = 0 N 1 N 2 = hmv2 Rd Fra Newtons andre lov i vertikal retning hadde vi: N 1 + N 2 = mg Vi legger sammen: og vi finner for N 2 : 2N 1 = mg + hmv2 Rd N 1 = mg 2 + hmv2 2Rd N 2 = mg N 1 = mg 2 hmv2 2Rd Alternativ kan vi se på kraftmomentene om foten ytterst i svingen. Vi må huske å ta med sentrifugalkraften siden statuen er i ro i systemet som beveger seg med lastebilen. Vi får:

5 F s h + 2N 2 d mgd = 0 N 2 = mg 2 m v 2 2d R h som skal vises. N 1 får vi fra kraftsummen i horisontal retning. c. Finn den maksimale farten som lastebilen kan ha uten at statuen velter. Du kan anta at friksjonskoeffisienten mellom lasteplanet og statuen er så stor at statuen ikke sklir. (3 poeng) Statuen velter når normalkraften fra bilen på foten innerst i svingen forsvinner: N 2 = m 2 (g hv max Rd ) = 0 2 v max = Rdg h Oppgave 5 (13 poeng) En skive med radius R roterer om sin symmetriakse (z akse) med konstant vinkelhastighet ω = ωk. En liten kule med masse m ruller gjennom et rør slik at kulen treffer på skiven ved posisjon r (t 0 ) = x 0 i + y 0 j med hastighet v (t 0 ) = v 0,x i + v 0,y j. Kulen har et fargestoff på seg slik at banen til kulen blir synlig på skiven. Du kan se bort fra friksjon og luftmotstand. a. Først beskriver vi bevegelsen til kulen i laboratoriesystemet (som ikke roterer). Tegn et frilegemediagram til kulen og beskriv hvordan kulen beveger seg. (4 poeng) Det virker gravitasjonskraften og en normalkraft fra skiven på kulen. Uten friksjon og luftmotstand virker det ingen horisontale krefter. Kulen beveger seg i en rett linje over skiven. b. Når du beskriver bevegelsen til kulen i koordinatsystemet som roterer med skiven er kulen påvirket av Corioliskraften F C (t) = 2mω v (t). Skriv Corioliskraften i komponentform ved bruk av enhetsvektorer og hastighetskomponenter. (3 poeng) F C (t) = 2mωk (v x (t)i + v y (t)j ) = 2mω(v y (t)i v x (t)j ) c. Skriv et program som beregner posisjon og hastighet til kulen i koordinatsystemet som roterer med skiven. Bevegelsen skal begynne i posisjon r (t 0 ) med r (t 0 ) < R og initialhastighet v (t 0 ). Beregningen avsluttes når kulen faller av skiven ved r (t 0 ) = R. Det er tilstrekkelig å kun ta med definisjon av initialbetingelsene og integrasjonsløkken. (6 poeng) Det er flere muligheter for å beregne banen. Her er to eksempler hvor Coriolisakselerasjonen er beregnet komponentvis og ved hjelp av vektorproduktet.

6 Oppgave 6 (6 poeng) Tre romskip, A, B og C, beveger seg som vist i figuren. Astronauten i romskip B observerer at romskip C kommer rett imot med relativhastighet 0.8 c, og at romskip A kommer bakfra med relativhastighet 0.5 c. Hva er hastigheten til romskip C relativ til en observatør som befinner seg i romskip A? Vi kaller systemet som er knyttet til romskip B for system S, og vi definerer retningen som er gitt ved orienteringen av romskip B som positiv. Hastighetene til romskipene A og C målt i system S er henholdsvis: v A = 0.5 c og v C = 0.8 c. Vi kaller systemet som er knyttet til romskip A for system S. System S beveger seg relativ til system S med relativhastighet: u = v A = 0.5 c For å finne hastigheten til romskip C i system S bruker vi Lorentz-transformasjonen for hastighet: v C = v C u 0.8 c 0.5 c 1.3 c 1 u c 2 v = = ( 0.8) 1.4 = 13 c 0.93c 14 C Oppgave 7 (26 poeng) To sylindriske skiver ligger flat på et friksjonsfritt horisontalt bord. Skive A, som har masse M og radius 2R, beveger seg med konstant hastighet v 0 i x retning og roterer samtidig med positiv vinkelhastighet ω 0 om z aksen (som står vinkelrett på bordet, se figur som viser bordet ovenfra). Skive B med masse 2M og radius R ligger i ro. Banen er slik at de to skivene berører seg så vidt når de er på samme x posisjon. De to skivene festes øyeblikkelig når de kommer i kontakt, slik at de beveger seg som ett stivt legeme etter kollisjonen. Treghetsmomentet til en sylinder med masse m og radius r som roterer om symmetriaksen er I = 1 2 mr2.

7 a. Finn massesenteret til det nye legemet som består av begge skivene. (3 poeng) Vi bruker koordinatsystemet som er tegnet inn i figuren for å beregne hvor på y aksen massesenteret ligger: R y = m Ar cm,a + m B r cm,b M 2R + 2M ( R) = = 0 m A + m B M + 2M Massesenteret ligger i kontaktpunktet mellom de to skiver. b. Vis at treghetsmomentet om z aksen gjennom massesenteret er: I tot = 9MR 2. (5 poeng) Vi bruker parallellakseteoremet for å beregne treghetsmomentet til skivene om kontaktpunktet: I A = I A,cm + M(2R) 2 = 1 2 M(2R)2 + 4MR 2 = 6MR 2 I B = I B,cm + 2MR 2 = 1 2 (2M)R2 + 2MR 2 = 3MR 2 Vi bruker superposisjonsprinsippet og legger sammen treghetsmomentene til begge skiver: I tot = I A + I B = 9MR 2 c. Finn hastighet v 1 til legemet etter kollisjonen. (4 poeng) Bevegelsesmengde er bevart i kollisjonen siden det virker ingen ytre krefter i horisontal retning, og gravitasjon og normalkraften som ytre krefter i vertikal retning hever seg bort. Kreftene som virker mellom de to skivene er indre krefter. Bevegelsesmengde i systemet som består av begge skiver er derfor bevart: Mv 0 = 3Mv 1 v 1 = 1 3 v 0 d. Vis at vinkelhastigheten til legemet etter kollisjonen er: ω 1 = 2 9 (ω 0 v 0 R ) (5 poeng) Uten ytre krefter er også kraftmomentet null, og spinn er bevart i kollisjonen. Skive A har spinn fra lineærbevegelsen i forhold til kontaktpunktet og spinn fra rotasjonsbevegelsen om sitt massesenter. De to spinnkomponentene har forskjellig fortegn. Vi setter opp en ligning for spinnbevaring: I A,cm ω 0 2RMv 0 = I tot ω 1 1 ω 1 = 2 M(2R)2 ω 0 2RMv 0 9MR 2 = 2MR2 ω 0 2MRv 0 9MR 2 = 2 9 (ω 0 v 0 R ) e. Diskuter rotasjonsretningen til legemet etter kollisjonen som funksjon av initialbetingelsene v 0 og ω 0. Hvor stor må vinkelhastighet ω 0 være for at det nye legemet ikke roterer? (3 poeng) I tilfelle hvor ω 0 > v 0 er vinkelhastigheten ω R 1 positiv og legemet roterer med positiv vinkelhastighet om z aksen, i samme retning som skive A roterte før kollisjonen. Hvis ω 0 < v 0 så er ω R 1 negativ og legemet roterer i motsatt retning. Hvis ω 0 = v 0 så er R vinkelhastigheten ω 1 = 0, og legemet beveger seg i x retning uten rotasjon.

8 f. Hvis E 0 er energien før kollisjonen og E 1 energien etterpå, hva er forholdet E 1 /E 0 i tilfellet hvor legemet ikke roterer etter kollisjonen? Hvordan tolker du resultatet? (6 poeng) Før kollisjonen har skive A både translasjons- og rotasjonsenergi, mens skive B er i ro: E 0 = 1 2 Mv I A,cmω 2 0 = 1 2 Mv v M(2R)2 0 R 2 = 3 2 Mv 0 2 Etter kollisjonen har legemet translasjonsenergi, men roterer ikke: E 1 = 1 2 (3M)v 1 2 = M (v 0 3 ) = 1 6 Mv 0 2 E 1 = 1 2 E = 1 9 Vi ser at mesteparten av energien til skive A forsvinner i kollisjonen, som er sterk uelastisk. Det må virke sterke dissipative (ikke-konservative) krefter som bremser rotasjonsbevegelsen mens skivene knyttes sammen. Hvis kreftene hadde vært elastiske ville skivene sprette fra hverandre igjen. Hvor mye energi blir tapt er avhengig av forholdet mellom ω 0, v 0 og R. I situasjonen hvor rotasjonsbevegelsen kanselleres er energitapet størst. Hvis ω 0 v 0 har legemet også rotasjonsenergi, og R forholdet E 1 /E 0 øker. *** Dette er siste ark i oppgavesettet. Lykke til med oppgavene! Formelark FYS-MEK 1110 F = ma = dp dr dv, hvor p = mv = m og a = = d2 r dt dt dt dt 2 Konstant a : v = v 0 + a t, r = r 0 + v 0 t a t2, v 2 v 0 2 = 2a (r r 0 ) Konstant α: ω = ω 0 + αt, θ = θ 0 + ω 0 t αt2, ω 2 ω 0 2 = 2α(θ θ 0 ) Baneakselerasjon: a = dv dt u T + v2 ρ u N Rotasjon: v = ω r, a = α r + ω (ω r ) Galilei transformasjon: r = R + r, v = V + v Fjærkraft: F(x) = k(x x 0 ), luftmotstand: F v = kv eller F v = Dvv Statisk friksjon: F s μ s N, dynamisk friksjon: F d = μ d N Arbeid: W AB = B A F dr = K B K A, kinetisk energi: K = 1 2 mv2 Potensiell energi for gravitasjon: U = mgy, for fjærkraft: U = 1 2 k(x x 0) 2 Konservativ kraft: F = U(r )

9 t Impuls: J = 1 F dt = p = p (t 1 ) p (t 0 ) t 0 Rakettligningen: F ext + v rel dm dt = ma Massesenter: R = 1 m M ir i = 1 i M M r dm, M = i m i = dm M Kraftmoment: τ = r F, spinn: L = r p Spinnsats: τ = dl dt, stive legemer: L z = I z ω z, τ z = I z α z Kinetisk energi: K = 1 2 Iω2, treghetsmoment: I = i m i ρ 2 i = ρ 2 dm M Parallellakseteoremet: I = I cm + Md 2 Rullebetingelse: V = ωr Fiktive krefter: ma = F ext ma m dω dt r 2mω v mω (ω r ) Gravitasjon: F (r ) = G m 1m 2 u r, U(r) = G m 1m 2 r 2 r Spenning og tøyning: σ xx = F x = E x = Eε A x x xx, y y x = x Lorentz transformasjon: x = γ(x ut), y = y, z = z, t = γ (t u 1 c2 x), γ = 1 u2 c 2 Lorentz transformasjon for hastighet: v = v u 1 u c 2v