Stivt legemers dynamikk

Transkript

1 Stivt legemers dynamikk.4.4 FYS-MEK.4.4

2 Forelesning Tempoet i forelesningene er: Presentasjonene er klare og bra strukturert. Jeg ønsker mer bruk av tavlen og mindre bruk av powerpoint FYS-MEK.4.4

3 Gruppetimer 6 Diskusjonsspørsmålene i forelesningen hjelper meg å forstå. 6 Antallet av eksempler som ble diskutert i forelesningen er: 3 Ukesoppgavene er godt tilpasset forelesningene og hjelpe forståelsen FYS-MEK.4.4 3

4 Obliger Det er en balansert blanding av oppgaveregning, gruppearbeid, diskusjoner. Oppgavene er godt tilpasset forelesningene og hjelpe forståelsen. Arbeidsmengden relatert til obligene er: Jeg deltar ikke: 5 (3%) FYS-MEK.4.4 4

5 Datalab Lærebok 3 Innlevering kun elektronisk vil være like greit som innlevering på papir. 35 Datalabben er et bra tilbud og jeg får hjelpen jeg trenger. 3 Jeg er fornøyd med læreboken Jeg deltar ikke: 34 (4%)

6 Generelt 35 Det er en balansert blanding av analytiske og numeriske metoder. 4 Jeg er generelt fornøyd med kurset Jeg liker å undervise fys-mek kurset ja nei FYS-MEK.4.4 6

7 Rotasjon av et stivt legeme: definisjon: I z m i i i treghetsmoment for legemet om aksen z (som går gjennom punktet O) kontinuerlig legeme med massetetthet I ) dv z dm M V m( r m(r) kinetisk energi: K I z jo større treghetsmomentet, jo mer energi behøves for å få legemet å rotere FYS-MEK.4.4 7

8 Parallellakseteoremet (Steiners sats) treghetsmoment om akse gjennom massesenteret: I C ( ) dm M C treghetsmoment om en parallell akse i avstand s: I A ( A) dm IC Ms M FYS-MEK.4.4 8

9 Eksempel treghetsmomentet til en tynn lang stav som roterer om en akse gjennom massesenteret: Icm ML (regn ut som øvelse) L hva er treghetsmoment hvis staven roterer om en akse gjennom en endepunkt? Parallellakseteoremet: A L I A I cm Ms ML L M ML 4 3 ML FYS-MEK.4.4 9

10 access number:78 Fire T-er er laget av to identiske staver med samme masse og lengde. Ranger treghetsmomentene I a til I d for rotasjon om den stiplede linjen.. I c > I b > I d > I a. I c = I d > I a = I b 3. I a = I b > I c = I d 4. I a > I d > I b > I c 5. I a > I b > I d > I c FYS-MEK.4.4

11 Superposisjonsprinsippet Hva er treghetsmoment for et legeme som består av to deler? N I a m i i i k i N m i m i ik i i I a, A Ia, B A B Ia, A ML 3 I a Icm, B Ms I a ML ML ML, B ML I b 3 3 ML ML I c 7 ML ML L I d ML M ML 3 I a > I d > I b > I c FYS-MEK.4.4

12 En stav er festet i et friksjonsfritt hengsel og slippet fra en horisontal stilling. finn vinkelhastigheten (vi ser bort fra luftmotstand) Kinetisk energi Den kinetiske energien til et stivt legeme som roterer med vinkelhastigheten om en akse z er: K I z Potensiell energi Den potensielle energien til et stivt legeme i tyngdefeltet er: potensiell energi kinetisk energi kan vi bruke energibevaring? la oss se på kreftene: gravitasjon potensiell energi ingen friksjon ingen luftmotstand normalkraft i hengselet U hengselet beveger seg ikke normalkraft gjør ingen arbeid i m g y i i g energi er bevart: K U K U i m y i i MgY FYS-MEK.4.4

13 E IO MgY K U E K U IO MgY L I O Mg sin energibevaring: E E I O L I O Mg sin MgL sin treghetsmoment: IO ML 3 MgL sin I O MgL ML 3 sin 3g L sin FYS-MEK.4.4 3

14 access number:78 Vi fester en tung masse til enden av staven. Blir den maksimale vinkelhastigheten mindre, større eller like stor som for staven alene? O y x. mindre. større 3. like stor vi antar at massen til klossen er mye større enn massen til staven massesenteret ligger i sentrum av klossen treghetsmoment: I O ML energibevaring: ML MgL sin g sin L for staven alene: 3g L sin den maksimale vinkelhastigheten (ved =9) er mindre med klossen festet til enden FYS-MEK.4.4 4

15 Eksempel: stav som svinger i et vilkårlig punkt L rotasjonspunkt i avstand x fra enden finn som funksjon av x treghetsmoment: bruk parallellakseteoremet I x I cm Ms ML L M x energibevaring: I x L Mg xsin vi finner avhengighet av x numerisk: max [rad/s] x [m] FYS-MEK.4.4 5

16 Stol friksjon i rotasjonsaksen er neglisjerbar luftmotstand er neglisjerbar energi er bevart: K K I I små trehetsmoment stor vinkelhastighet stor trehetsmoment små vinkelhastighet FYS-MEK.4.4 6

17 Eksempel: kloss i trinse finn hastigheten till klossen som funksjon av h (ingen friksjon, ingen luftmotstand) kinetisk energi til klossen: K lin mv kinetisk energi til trinsen: potensiell energi til klossen: K rot I U mg y sylindrisk trinse: I MR energibevaring: mv mv I mgh to ukjente: v og koblet via snoren v MR R 4mgh v m M mgh hvis snoren ikke glipper: v ds dt d R R dt s R FYS-MEK.4.4 7

18 Rullebetingelse r P rcm rp, cm v P vcm vp, cm punktet P beveger seg på en sirkelbane i massesentersystemet: kˆ ( R ˆj ) R( kˆ ˆj ) v P, cm rp, cm v P v cm v P cm vcm Riˆ, y R iˆ rullebevegelse i laboratoriesystem: P snu vertikal bevegelsesretning når den treffer bakken: rullebetingelse: v P x r cm v P, y v P, x uten å skli: r P R v P, cm y' r P, cm legeme (sylinder, ball) ruller uten å skli: Riˆ finn hastighet til massesenteret fra v cm vinkelhastighet P x' v cm FYS-MEK.4.4 8

19 access number:78 En sylinder og et sylinderskall med samme masse og radius ruller nedover et skråplan. Hvilken når bunnen først?. Sylinderen. Sylinderskallet 3. De kommer samtidig ned. sylinder: I z mr sylinderskall: I z m( R R ) mr kinetisk energi: K r I z Energibevaring: sylinderskall har mer rotasjonsenergi sylinder har mer translatorisk energi FYS-MEK.4.4 9

20 kinetisk energi i translasjon: kinetisk energi i rotasjon: K t mv cm Kr I y h x potensiell energi i tyngdefelt: U mg y cm energibevaring: mgh mv I cm v R mv cm cm I I mr mv cm mv cm c v cm gh c sylinder når bunnen først sylinder: c I mr sylinderskall: I c mr FYS-MEK.4.4

21 access number:78 En liten sylinder med radius R og masse m og en stor sylinder med radius R og masse 4m ruller ned et skråplan. Hvilken når bunnen først? R R. Den lille sylinderen. Den store sylinderen 3. De kommer samtidig ned. m 4m vi har funnet: v cm gh c hvor: c I mr for en sylinder Hastighet v cm er uavhengig av R og m. FYS-MEK.4.4

22 translasjon rotasjon translasjon rotasjon posisjon x (t) (t) vinkel hastighet v( t) dx dt ( t) d dt vinkelhastighet akselerasjon a( t) dv dt d x dt d dt d dt ( t) vinkelakselerasjon translatorisk energi Kt mv Kr I rotasjonell energi bevegelsesmengde masse m I treghetsmoment kraft F ma p mv O r F l r p kraftmoment spinn FYS-MEK.4.4

23 å spinne et hjul R hvordan får vi et hjul å spinne? vi bruker en tangensial kraft F T i et punkt med radius R kraften virker i en kort tidsperiode t langs en kort strekning s F F uˆ T T F arbeid-energi teorem: W t F vdt t K K kinetisk energi: K I over t er kraften konstant: W F T s F T R K( t t) K( t) F T K t t K t R ( ) ( ) t t K t NL for translasjoner: F ma d FT R dt F R T d dt I d I dt NL for rotasjoner: R F T I R F T I FYS-MEK.4.4 3

24 Kraftmoment R bare den tangensiale kraftkomponenten bidrar til å få hjulet å spinne NL for rotasjoner: R F T kraftmoment R F T I kraftmomentet er årsak for vinkelakselerasjonen avstand R fra rotasjonsaksen er viktig: F uˆ T T F uˆ R R F Treghetsmomentet er legemets motstand mot å få rotasjonshastigheten endret. Det krever et kraftmoment. FYS-MEK.4.4 4