Repetisjon

Transkript

1 Repetisjon Eksamensverksted: Mandag, 9.5., kl. 1 16, Origo Onsdag, 31.5., kl. 1 16, Origo FYS-MEK

2 Lorentz transformasjon ( ut) y z y z u t c t 1 u 1 c transformasjon tilbake: omvendt fortegn for u ( ut) y z y z u t c t u små hastighet u: 1 og 0 c t t ut Galileo transformasjon FYS-MEK

3 FYS-MEK lengdekontraksjon ) ( ) ( ut ut L ) ( ) ( 1 1 t t u et legeme i ro i system S har egenlengde: 1 L legemet beveger seg i system S vi må måle posisjonene 1 og samtidig (t 1 = t ) L ) ( 1 L L tidsdilatasjon egentid: vi maler et tidsintervall t på samme sted: 1 ) ( ) ( c u t c u t t t t ) ( ) ( 1 1 c u t t t

4 access number: Et romskip passerer deg med hastighet v = 0.8 c. I ditt system måler du lengden til romskipet og du finner L = 00 m. Senere kommer romskipet tilbake og lander. Hva er lengden du måler nå? A. 10 m B. 00 m C. 333 m Romskipet har egenlengde L. Mens den passerer deg måler du en lengde som er kortere: L = 1 γ L L = γl = 1 00 m = 333 m Etter landing er romskipet i ro i ditt system og du måler egenlengden. FYS-MEK

5 Lorentz transformasjon for hastighet et partikkel beveger seg i system S med hastighet og i system S med hastighet v t ( ut) v t Lorentz transformasjon: t ( t ) u c v = t = u t t u c = t u 1 u c t = v u 1 u c v transformasjon fra S til S: v = v + u 1 + u c v FYS-MEK

6 access number: Du ser et romskip som beveger seg mot deg med hastighet u = 0.4 c. Romskipet skyter et prosjektil som beveger seg med hastighet v = 0.3 c relativ til romskipet i samme retning. Hva er hastigheten v til prosjektilet relativ til deg? A. v = 0.1 c B. v = 0.3 c C. v = 0.65 c D. v = 0.7 c E. v = 0.85 c S v = 0.3 c u = 0.4 c S system S: Jorden system S : romskip relativhastighet: u = 0.4 c v' u 0.3c 0.4c v 0. 65c u 1 v' c FYS-MEK

7 Fri-legeme diagram 1. Del problemet inn i system og omgivelser. system: person; omgivelse: tau, luft. Tegn figur av objektet og alt som berører det. 3. Tegn en lukket kurve rundt systemet. 4. Finn kontaktpunkter hvor kontaktkrefter angriper. Personen er i kontakt med tauet og med luften. 5. Navngi kontaktkrefter og definer symboler. Kraft fra tauet på personen: T Luftmotstand: F D v 6. Identifiser langtrekkende krefter og definer symboler. Gravitasjonskraft: G 7. Angrepspunktene er viktig for å finne kraftmomentene 8. Tegn objektet med skalerte krefter. 9. Tegn inn koordinatsystemet. 10. Det kan hjelpe å tegne inn en hastighetsvektor (f.eks. hvis det er hastighetsavhengige krefter). Ikke tegn hastighetsvektorer i kontakt med system: ikke bland hastigheter og krefter G: gravitasjon T: tauspenning F D : luftmotstand FYS-MEK

8 translasjon rotasjon posisjon (t) (t) vinkel hastighet v( t) d dt ( t) d dt vinkelhastighet akselerasjon a( t) dv dt 1 translatorisk energi Kt mv d dt d dt d dt ( t) Kr vinkelakselerasjon masse m I dm treghetsmoment 1 I rotasjonell energi kraft F r F kraftmoment O M bevegelsesmengde p mv l O r p spinn NL F d p dt ma z d dt L z I spinnsats FYS-MEK

9 Betinget bevegelse pendel T y W NL i y retning: N mg may bil i kontakt med bakken: v R a y sentripetalakselerasjon N mg v m R N v m g R normalkraft er fartsavhengig v For at bilen forblir i kontakt med bakken: N m g 0 R v gr FYS-MEK

10 programmering på papir i eksamen... skriv et program som finner posisjonen og hastigheten... Det er tilstrekkelig kun å ta med integrasjonsløkken. eksempel: F C e r r ˆ C 3 r r r(1,:) = [0 y0 z0]; v(1,:) = [v0 v0y v0z]; for i = 1:n-1 r3 = norm(r(i,:))^3; F = C*r(i,:)/r3; a = F/m; v(i+1,:) = v(i,:) + a*dt; r(i+1,:) = r(i,:) + v(i+1,:)*dt; t(i+1) = t(i) + dt; end syntaks må ligne matlab eller python beregningen må foregå i diskrete tidsskritt må bruke indeks ikke bland skalarer og vektorer FYS-MEK

11 obs: retning av krefter! eksempel: luftmotstand F D = Dv rettet mot bevegelsesretning F D = D v v eksempel: dynamisk friksjonskraft f d = μ d N virker motsatt bevegelsesretning: f d N d v v FYS-MEK

12 Konservative krefter konservativ kraft: F arbeid: W 0,1 t1 1 F v dt F dr t 0 potensiell energi: U( r) U(, y, z) 0 U r ) U( ) ( 0 r1 integral uavhengig av veien, bare avhengig av start og sluttposisjon én dimensjon: F( ) du d tre dimensjoner: F r = U r = U(r) U(r) i y j U(r) dz k konservativ kraft F U arbeid uavhengig av veien energi er bevart K U( 0) K1 U( 1) 0 flere konservative krefter: energibevaring: Ui 0) K1 K U ( ) 0 F F i ( ) net i i ( i 1 i FYS-MEK

13 Bevaring av energi, bevegelsesmengde, spinn Forklar hva du gjør! Du må begrunne bruk av bevaringslover konservative krefter netto ytre krefter netto ytre kraftmomenter FYS-MEK

14 access number: En kule spretter på et flatt underlag. Er spinn bevart? A. ja B. nei C. vet ikke FYS-MEK

15 Eksempel: Vår 011, oppgave 3 en kule som spretter på gulvet rotasjon om massesenteret til kulen: gravitasjon angriper i massesenteret ingen kraftmoment normalkraft er parallell med kraftarmen ingen kraftmoment bare friksjon gir et kraftmoment: τ z = Rf spinn er ikke bevart spinnsats: τ z = Iα FYS-MEK

16 Rullebetingelse Rotasjon om z aksen: ω = ωk ω > 0: mot klokken ω < 0: med klokken r P rcm rp, cm y v P vcm vp, cm r cm r P R y' r P, cm P ' punktet P beveger seg på en sirkelbane i massesentersystemet: r kˆ ( R ˆj ) v P, cm P, cm v P v cm v P R( kˆ ˆj ) Riˆ cm vcm Riˆ, Legemet ruller uten å skli: v cm Riˆ v P 0 ω > 0 ω > 0 v P, cm v P, cm ω < 0 v P, cm ω < 0 v cm FYS-MEK

17 Eksempel: Vår 007, oppgave krefter: tyngdekraft, normalkraft i hengselen, ingen friksjon, ingen luftmotstand tyngdekraften er konservativ normalkraften gjør ingen arbeid fordi hengselet beveger seg ikke vi kan bruke energibevaring FYS-MEK

18 access number: Hvilke størrelser er bevart i kollisjonen? A. bare energi B. bare bevegelsesmengde C. bare spinn D. energi og spinn E. energi og bevegelsesmengde F. bevegelsesmengde og spinn G. alle tre H. ingen energi generelt ikke bevart: lyd deformasjon oppvarming ytre kraft fra hengselen på staven bevegelsesmengde ikke bevart kraft fra hengselen gir ingen kraftmoment om O spinn om O er bevart FYS-MEK

19 støtet er fullstendig elastisk energi er bevart (per definisjon) i kollisjonen oppstår krefter fra hengselen på stangen det virker ytre krefter og bevegelsesmengden er ikke bevart normalkraft i hengselen gir ingen kraftmoment om O tyngdekraft til stangen gir ingen kraftmoment siden kraftarm er null ingen kraftmoment fra ytre krefter om O spinn om O er bevart argumentene for spinnbevaring er fortsatt gyldig energi er ikke bevart, men vi kan løse problemet allikevel siden begge legemer beveger seg som ett. FYS-MEK

20 access number: En kule skytes i en tynn, homogen stav som ligger på en friksjonsfri overflate. Kulen treffer på staven i rett vinkel med hastighet v i en avstand d fra midten av staven. Kulen stoppes i staven og forblir der mens staven begynner å bevege seg. Hvilke størrelser er bevart i kollisjonen? A. bare energi B. bare bevegelsesmengde C. bare spinn D. energi og spinn E. energi og bevegelsesmengde F. bevegelsesmengde og spinn G. alle tre H. ingen fullstendig uelastisk kollisjon energi er ikke bevart: ingen friksjon ingen ytre kraft i horisontal retning normalkraft kompenserer gravitasjon ingen netto kraft i vertikal retning bevegelsesmengde er bevart ingen netto kraft ingen netto kraftmoment spinn er bevart FYS-MEK m M m v d y Våren 013 L

21 access number: Hvilke størrelser er bevart i kollisjonen med kanten? Vår 014, oppgave 5 A. bare energi B. bare bevegelsesmengde C. bare spinn D. energi og spinn E. energi og bevegelsesmengde F. bevegelsesmengde og spinn G. alle tre H. ingen energi: ikke spesifisert at kollisjon er elastisk generell ikke bevart bevegelsesmengde: ytre kraft fra kanten på terningen ikke bevart spinn: ytre kraft fra kanten angriper i rotasjonsaksen ingen kraftmoment bevart FYS-MEK

22 access number: Hvilke størrelser er bevart i rotasjonsbevegelsen om kanten? Vår 014, oppgave 5 A. bare energi B. bare bevegelsesmengde C. bare spinn D. energi og spinn E. energi og bevegelsesmengde F. bevegelsesmengde og spinn G. alle tre H. ingen energi: gravitasjon konservativ kraft kraft fra kanten gjør ingen arbeid bevart bevegelsesmengde: gravitasjon og kraft fra kanten er ytre krefter ikke bevart spinn: gravitasjon gir kraftmoment ikke bevart FYS-MEK