EKSAMENSOPPGAVE. Dato: Fredag 01. mars Tid: Kl 09:00 13:00. Administrasjonsbygget B154

Transkript

1 side 1 av 6 sider FAKULTET FOR NATURVITENSKAP OG TEKNOLOGI EKSAMENSOPPGAVE Eksamen i: FYS-1001 Mekanikk Dato: Fredag 01. mars 2013 Tid: Kl 09:00 13:00 Sted: Administrasjonsbygget B154 Tillatte hjelpemidler: 2 dobbeltsidige A4-ark med egne notater Kalkulator er ikke tillatt! Oppgavesettet er på 6 inkl. forside Kontaktperson under eksamen: Ralph Kube Telefon:

2 side 2 av 6 sider Oppgave 1 I denne oppgaven ønsker vi å beskrive et system bestående av to partikler med henholdsvis masse og posisjon m 1, m 2, r 1 og r 2 slik som skissert i figur nedenfor. Bruk Newtons 2. og 3. lov til å beskrive forskjellen mellom indre og ytre krefter. Vis at i fravær av ytre krefter så er systemets totale momentum bevart. I resten av oppgaven vil vi anta at partiklene befinner seg i et isolert system, slik at det ikke virker ytre krefter på systemet. Vi ønsker å beskrive den gjensidige vekselvirkningen mellom partiklene pga. indre krefter F 12 og F 21. ( F 12 er kraften som virker på m 1 fra m 2 ). Vi vil komme tilbake til hva F 12 er senere.

3 side 3 av 6 sider Innfør massesenterkoordinat R og seperasjonsvektor r = r 2 r 1 til å vise at systemet kan beskrives ved der µ = m 1m 2 m 1 +m 2. Fortolk ligning (1). F 21 = µ d2 r 2, (1) Finn et uttrykk for den relative hastigheten v = dr og den relative akselerasjonen a = dv mellom ( ( )) partiklene i et polart koordinatsystem (r(t), θ(t)) = x(t) 2 + y(t) 2,tan 1 y(t) x(t). Du kan her bruke at enhetsvektorene i et polart koordinatsystem er relatert til enhetsvektorene i et kartesisk koordinatsystem ved r = cos(θ) x + sin(θ)ŷ (2) θ = sin(θ) x + cos(θ)ŷ, (3) d r slik at = dθ θ og d θ = dθ r. Fortolk spesielt det ene leddet i a som er r ( ) dθ 2 r. Massene m 1 og m 2 er forbundet med en masseløs fjær med fjærkonstant κ. Fjærdens utstrekning i likevektstilstand er r 0, slik at Hooks lov gir F 21 = κ (r r 0 ) r. Anta at massene roterer omkring massesenteret med konstant vinkelhastighet ω = dθ, slik at avstanden mellom massene er konstant r L = r. Bruk resultatet fra og til å finne vinkelhastigheten ω og spinnet L til systemet omkring massesenteret. (e) Finn avstanden mellom hver av partiklene og massesenteret når systemetet er i tilstanden beskrevet i.

4 side 4 av 6 sider Oppgave 2 I denne oppgaven skal vi betrakte en fysisk pendel bestående av en sylinderskive med masse M og radius R festet til en stang med masse m og lengde l slik figuren nedenfor viser. Pendelen svinger omkring en akse perpendikulært på papirplanet gjennom punktet O. Anta at massene er homogent fordelt og at pendelen er koblet til to seriekoblete fjærer med kontaktpunkt i pendelens massesenter. I oppgaven skal du bruke at fjærene er masseløse og at likevektstilstanden er gitt ved φ 0 = 0. Bestem avstanden mellom opphengningspunktet O og massesenteret til pendelen. Bestem treghetsmomentet til pendelen om rotasjonsaksen gjennom O. (Oppgitt: Treghetsmomentet om symmetriaksen til en sylinder er 1 2 MR2, og treghetsmomentet om en akse gjennom massesenteret på tvers av en lang, tynn stang er 1 12 ml2 ). Finn den ekvivalente fjærkonstanten κ til de seriekoblede fjærene. Beregn det totale kraftmomentet om rotasjonsaksen gjennom O, og vis at for liten utslagsvinkel φ vil bevegelsesligningen for pendelen være d 2 φ 2 + r κr cm + (m + M)g cm φ = 0, (4) I O der I O, κ og r cm er henholdsvis treghetsmomentet om rotasjonsaksen, ekvivalent fjærkonstant og avstanden mellom rotasjonsaksen og massesenteret. (For φ << 1 gjelder sin(φ) φ og

5 side 5 av 6 sider cos(φ) 1) (e) Hva er vinkelfrekvensen ω og perioden T til pendelen når utslagsvinkelen er liten? Oppgave 3 Et massepunkt med masse m glir friksjonsfritt på overflaten av et rør med radius R. Det starter fra ro på toppen av røret og glir så ned på overflaten. Finn massepunktets hastighet og akselerasjon som funksjon av vinkelen θ. Finn vinkelen θ 0 når massepunktet forlater røret. Vi erstatter nå massepunktet med en kule med radius r og masse m. Det er nok statisk friksjon slik at kulen ruller uten å gli. Hva blir kulens hastighet som funksjon θ? Du kan her bruke at treghetsmomentet om symmetriaksen til kulen er I = 2 5 mr2. Ved hvilken vinkel θ k forlater kulen røret? Hvordan samsvarer θ k med θ 0? Oppgitt: cos 1 ( 1 3 ) = 71 o, cos 1 ( 2 3 ) = 48 o, cos 1 ( ) = 54 o, cos 1 ( ) = 35 o

6 side 6 av 6 sider Oppgave 4 Figuren nedenfor viser en sylinder med radius r som kommer rullende på horisontalt underlag mot en kant B. Sylinderen har hastigheten v C. Idet sylinderen støter mot punktet B danner radiusvektor fra sylinderens sentrum C til punktet B vinkelen φ med vertikalen. Vi regner sammenstøtet med punktet B som meget kortvarig. Hvilke størrelser er bevart under bevegelsen av sylinderen? Finn hastigheten v C til sylinderens sentrum C like etter sammenstøtet. Hva slags kollisjon gjennomfører sylinderen med punktet B og hvilken størrelse er ikke bevart under kollisjonen? Hvor stor må hastigheten v C minst være hvis sylinderen skal kunne vippe helt opp over punktet B?