EKSAMENSOPPGAVE Njål Gulbrandsen / Ole Meyer /

Transkript

1 Fakultet for naturvitenskap og teknologi EKSAMENSOPPGAVE Eksamen i: FYS-1001 Mekanikk Dato: Klokkeslett: 09:00 13:00 Sted: Åsgårdvegen 9 Tillatte hjelpemidler: Fire A4-sider (to dobbeltsidige ark) med egne notater. Kalkulator ikke tillatt. Type innføringsark (rute/linje): Antall sider inkl. forside: Kontaktperson under eksamen: Ruter 5 Njål Gulbrandsen / Ole Meyer Telefon/mobil: / Postboks 6050 Langnes, N-9037 Tromsø / / postmottak@uit.no / uit.no

2 Noen generelle råd: Les gjennom hele oppgaveteksten og lag en plan for bruken av eksamenstida. Tegn gode figurer. Skriv tydelig og presenter oppgavene oversiktlig. Ikke bare skriv opp formler, men forklar hvorfor du bruker dem og hvilken fysisk forståelse som ligger bak. Forklar overganger fra ei ligning til ei annen. Skriv opp mellomregninger. Oppgave 1: Atwood-maskin Figuren viser en Atwood-maskin hvor vi antar at snora og trinsene er masseløse. Det virker ingen friksjon i systemet og snorene er uelastiske. Koordinatene y 1 og y 2 angir de respektive posisjonene til massene m 1 og m 2 i forhold til bakkenivå, der nullnivået til den potensielle energien også er satt. (a) Tegn frilegemediagram og sett opp kraftregnskapet (Newtons andre lov) for begge massene. (b) Vis at snordraget i m 2 blir S D 3m 1m2 m 1 C 4m 2 : (c) Finn a 1, akselerasjonen til massen m 1, uttrykt ved m 1 og m 2. Hva er betingelsen for at systemet skal være i likevekt? 1

3 Oppgave 2: Rullebevegelse på skråplan R x d (a) I Figuren vises det en kule som ruller uten å skli nedover et skråplan. Massesenterhastigheten er v langs x-aksen og kulen ruller med konstant vinkelhastighet,!, i positiv retning med klokken om massesenteret. Forklar hva rullebetingelsen er og vis sammenhengen mellom den konstante vinkelhastigheten! og massesenterhastigheten, v. (b) Vis ved integrasjon at treghetsmomentet om en akse gjennom massesenteret og vinkelrett på siden til en tynn skive med masse M og radius R er gitt ved I skive D 1 2 MR2. Bruk dette resultatet til å vise at treghetsmomentet om massesenteret til en kule med masse M og radius R er gitt ved I kule D 2 5 MR2. Hint: Del opp kulen i tynne skiver og integrér opp. (c) Vis at Lagrangefunksjonen for et roterende objekt med masse M, treghetsmoment I og vinkelhastighet! om massesenteret, som ruller uten å skli, nedover et skråplan med helningsvinkel, som vist i figuren, er gitt ved L D 1 2 M v2 C 1 2 I!2 C Mgx sin ; og x måles fra toppen langs skråplanet. (d) Finn bevegelsesligningen for objektet ved å løse Euler-Lagrange ligningen. (e) Skråplanet har en lengde d. Vi slipper samtidig kulen og skiven fra oppgave (b) fra toppen av skråplanet. Finn forholdet mellom tidene det tar hvert objekt å rulle ned skråplanet. Hvilket objekt kommer først? Hint: Bruk akselerasjonen du fant i oppgave (d). 2

4 Oppgave 3: Relativitetsteori (a) Relativitetsteorien er basert på to postulater. Hvilke? Lorentztransformasjonene er gitt ved x D. x 0 C v t 0 / (1) t D. t 0 C v x 0 =c 2 / (2) y D y 0 (3) z D z 0 (4) hvor D 1= p 1 v 2 =c 2 / og hvor hastighetene v kun har en komponent i x-retning. En stang med lengde L 0 i sitt eget referansesystem passerer deg med en hastighet v D 3 5 c i lengderetningen. (b) Hvor lang er stanga i ditt referansesystem? (c) Det er et tidsintervall mellom fronten og bakenden på stanga passerer deg. Hva blir dette tidsintervallet i ditt referansesystem? Hva blir det i stangens referansesystem? (d) Stangen er utstyrt med en en lampe i hver ende som blinker 1 gang i sekundet i stangens hvilesystem. Hvor lang tid mellom hvert lysblink observerer du? (e) Lampene blinker samtidig i stangens hvilesystem. Hva blir tidsforskjellen mellom lampen foran og lampen bak sett fra ditt referansesystem. 3

5 Oppgave 4: Sfærisk pendel l En sfaerisk pendel består av en masse M som er festet i enden av en masseløs stang av lengde ` som kan rotere fritt om origo i det kartesiske koordinatsystemet vist i figuren. Sammenhengen mellom de kartesiske koordinatene.x; y; z/ og kulekoordinatene.r; ; / er gitt ved x D r sin cos y D r sin sin z D r cos (a) Vis at Lagrangefunksjonen kan skrives som L D 1 2 M `2. P 2 C sin 2 P 2 / Mg` cos : (b) Identifisér den sykliske koordinaten og finn det adjungerte momentumet. Gi en fysisk fortolkning på hvorfor dette momentumet er bevart. (c) Vis at bevegelsesligningen for koordinaten kan skrives Hva er uttrykket for h? R C g` sin C h2 cos sin 3 D 0: (d) Hva er bevegelsesligningen dersom D.t D 0/ D konstant? Finn vinkelhastigheten P dersom D.t D 0/ D konstant 2 Œ=2; 3=2 (dvs. at pendelen svinger under ekvatorialplanet i figuren). 4