EKSAMENSOPPGAVE. FYS-1001 Mekanikk. Fire A4-sider (to dobbeltsidige ark) med egne notater. Kalkulator ikke tillatt. Ruter.

Transkript

1 Fakultet for naturvitenskap og teknologi EKSAMENSOPPGAVE Eksaen i: FYS-1001 Mekanikk Dato: Klokkeslett: 09:00 13:00 Sted: Åsgårdvegen 9 Tillatte hjelpeidler: Fire A4-sider (to dobbeltsidige ark) ed egne notater. Kalkulator ikke tillatt. Type innføringsark (rute/linje): Antall sider inkl. forside: Kontaktperson under eksaen: Ruter 5 Njål Gulbrandsen Telefon/obil: NB! Det er ikke tillatt å levere inn kladdepapir so del av eksaensbesvarelsen. Hvis det likevel leveres inn, vil kladdepapiret bli holdt tilbake og ikke bli sendt til sensur. Postboks 6050 Langnes, N-9037 Trosø / / postottak@uit.no / uit.no

2 Oppgave 1: Stang φ θ l En tynn stang ed lengde ` og asse er festet til en vegg ed et hengsel, se figur. I første del av oppgaven skal vi anta at den andre enden av stangen er festet til en uelastisk og asseløs snor, slik at snoren danner en vinkel ' ed horisontalen. Stangen har unifort fordelt asse langs hele sin lengde. (a) Vis ved hjelp av integrasjon at tyngden til stangen har et dreieoent o hengselen lik stang D g` 2 : Hint: Bruk so asse pr lengdeenhet, D `. (b) Tegn opp kreftene so virker på stangen og finn snordraget, S. (c) Vis at treghetsoentet til stangen o opphengpunktet er gitt ved: I D `2 3 : (d) Hvis snora kuttes vil stangen svinge fritt. Vi kan anta at det ikke virker noen friksjon i opphengspunkt. Finn en differensialligning so beskriver stangens bevegelse so en funksjon av vinkelen, og finn svingeperioden for så utslag (anta sin ). 1

3 Oppgave 2: Rullende kule φ En assive kule ed asse, ed radius r og treghetsoent I 0 D 2=5r 2 o assesenteret, ruller uten å gli på et skråplan ed lengde ` og vinkelen ' D =4 i forhold til en horisontal flate. (a) Tegn kreftene so virker på og finn noralkrafta N. (b) Hva er friksjonskrafta F f fra underlaget når kula ruller nedover skråplanet? (c) Hva er kulas hastighet etter å har rullet en strekning `. Anta at den starter i ro. r ɵ R Vi skal nå la kulen rulle på overflaten av rør ed radius R istedet. Kulen starter fra ro på toppen av røret og den ruller uten å gli. (d) Finn kulens hastighet so funksjon av? (e) Ved hvilken vinkel K forlater kulen røret? 2

4 Oppgave 3: Dening H O h En betongdening har trapesforet tverrsnitt, se figur. Vannstandene i deningen er H og bredden på deningen er L (a) Finn vannets totale kraftoent,, o punktet O ved foten av deningen uttrykt ved L og H Det er satt inn et horisontalt, sirkulært stålrør ed indre radius R gjenno deningen. Røret er dekket av en luke og ligger i en høyde h over bakken. Luken åpnes og vannet strøer ut. Vi ser i det følgende bort fra viskositet og friksjonstap. (b) Hastighetene vannet synker ed kan neglisjeres. Vis at hastighetene v til vannet so spruter ut av røret er gitt ved v D p 2g.H h/ : Hva er uttrykker for volustrøen q v gjenno røret? (c) Hvor langt bortetter bakken rekker vannstrålen? Se bort ifra luftotstand og regn avstanden fra åpningen av røret. 3

5 Oppgave 4: Roterende asse r 45 ω En liten asse kan gli friksjonsfritt langs aren til Y-strukturen i figuren over. Aren har et utslag på 45 ı i forhold til horsiontalen. Anta at strukturen er asseløs. (a) Vis at Lagrange-funksjonen for systeet i sylindriske koordinater kan skrives so: L D Pr 2 C 1 2 r 2 P 2 gr : Hint: I sylinderkoordinater er hastigheten gitt so v D Pr Or C r P O C PzOz. (b) Løs Euler-Lagrange-ligningene for systeet og finn et konservert oentu. (c) Sett opp total energien, E, til systeet og vis at den effektivt potensielle energien V eff.r/ kan skrives so: der L er spinnet til assen. V eff.r/ D L2 2r 2 C gr ; (d) Finn likevektsposisjonen til assen derso Y-strukturen roterer ed konstant vinkelhastiget! so indikert i figuren. Hint: eff =@r D 0 til å finne likevektsposisjonen r 0. (e) I likevekstposisjonen kan assen på Y-strukturen ansees for å stå stille i et akselerert (roterende) syste. Tegn et frilegeediagra for assen i det akselererte systeet og identifiser de krefter og pseudokrefter so virker på. Regn ut likevekstposisjonen r 0 ved hjelp av kraftbalansen. 4