A. positiv x-retning B. negativ z-retning C. positiv y-retning D. negativ y-retning E. krafta er null

Transkript

1 Flervalgsoppgaver En lang, rett ledning langs x-aksen fører en strøm i positiv x-retning. En positiv punktladning beveger seg langs z-aksen i positiv z- 1. retning (opp av papirplanet). Den magnetiske krafta som ledningen utøver på punktladningen når den er i posisjonen vist i figuren (i papirplanet) har retning A. positiv x-retning B. negativ z-retning C. positiv y-retning D. negativ y-retning E. krafta er null Løsning: B-feltet fra AB har ved punktladningen retning ned i papirplanet. Hastigheten er (anti)parallell med B-feltet og det er ingen magnetisk kraft: v B = En ledning med radius R fører en strøm I som er uniformt fordelt over dets tverrsnitt. Grafen som best representerer magnetfeltet B(r) som funksjon av avstanden fra sentrum av ledningen er A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 5 Løsning: Utenfor sylinder avtar B-feltet som 1/r, inninfor sylinder øker B lineært med r. Dette kan beregnes fra Amperes lov. 3. To svært lange parallelle ledninger i xy-planet ligger i avstand 2a fra hverandre, vist i figuren med origo for koordinatsystem midt mellom ledningene. Hvilken graf nedenfor viser best z-komponenten til B-feltet i xy-planet som funksjon av x? A. (1) B. (2) C. (3) D. (4) E. (5)

2 Løsning: Ifølge høyrehåndsregelen vil B-feltet mellom ledningene være i negativ z-retning fra begge ledningene, og sterkere jo nærmere en ledning. Utenfor ledningene er retningen i positiv z. 4. En lang, rett ledning AB fører en strøm I 1 mot høyre. Den rektangulære strømsløyfa har langsidene parallell med AB og fører en strøm I 2 i retning med klokka. Hva er retningen på netto magnetisk kraft på den rektangulære strømsløyfa pga. strømmen I 1 i leder AB? A. opp (mot AB) B. ned (bort fra AB) C. mot høyre D. mot venstre E. villedende spørsmål, krafta er null Løsning: B-feltet fra AB har i strømsløyfa retning ned i papirplanet slik at kraft på øvre horisontale del av rektangelet etter høyrehåndsregelen har retning oppover (tiltrekkende), mens kraft på nedre del er nedover (frastøtende). Feltet fra den rette lederen AB avtar som 1/r, slik at B-feltet og kraften er størst på øvre horisontale del med minst r. Derfor netto tiltrekkende kraft. 5. En tett viklet solenoide er cm lang, har 200 viklinger, et tverrsnitt 1.00 cm 2 og fører en spolestrøm på 2.0 A. Solenoiden har en jernkjerne med magnetisk susceptibilitet χ m = Hvis du ser bort fra endeeffekter, vil du finne at verdien til magnetisk flukstetthet B i sentrum er omtrentlig A. 16 µt B. 16 mt C. 24 mt D. 2.4 T E. 16 T Løsning: µ = µ r µ 0 = (χ m + 1)µ 0 = 1501 µ 0 slik at B = µin/l = / T = T = 2.4 T. 6. Hva er magnetisk dipolmoment for en ledersløyfe formet som en regulær sekskant med sidekanter 1.00 cm og strømstyrke 1.00 A i ledertråden? A A cm 2 B. 1.4 A cm 2 C. 2.6 A cm 2 D. 3.8 A cm 2 E. 5.2 A cm 2 Løsning: En regulær sekskant med sidekant a er like seks trekanter med sidekant a og 60 vinkler, dvs. sekskantens areal er A = a a sin 60 = 3 a Dermed er magnetisk moment µ = IA = cm = 2.60 A cm 2. Id l r Hvis Biot-Savarts lov db = µ0 r blir brukt 3 til å bestemme magnetfeltet ved puntet P på 7. aksen til ei sirkulær strømsløyfe, er vektoren r representert ved A. r 1 B. r 2 C. r 3 D. r 4 E. r 5 Halleffekt Page 2

3 8. En sølvplate med rektangulært tverrsnitt (tykkelse t = 1.00 mm og høyde d = 1.50 cm) fører en strøm på I = 10.0 A i et område med konstant B-felt lik 0.80 T. B-feltet er normalt på plata og dermed normalt på strømretningen. Hallspenningen måles mellom øvre og nedre del av lederen (over avstanden d) til V H = 0.55 µv. (a) Tegn figur og forklar hva som skjer. Legg inn et kartesisk koordinatsystem med x langs strømretningen og B i y-retningen. Finn uttrykk for Hallspenningen gitt ved v d, B og d. Løsning: Strømmen går i positiv x-retning mens elektronene har hastighet i negativ x-retning (fordi retning av strømmen er definert som retning av positive ladningsbærere). Magnetfeltet går i y-retning. Med følgende vektornotasjon: v d = v d î og B = B ĵ (v d og B er regnet positive), har vi følgende kraft på elektronene: F B = q v d B = ( e) v d B( î ) ĵ = ev db ˆk. Magnetisk kraft på elektronene virker altså oppover. Pga. denne krafta blir negativ ladning akkumulert i øverste del av biten; nederste del blir positivt ladet. Denne separasjonen av ladning resulterer i et E-felt retning oppover: E = E ˆk. Potensialforskjellen VH = E d kalles Hallspenningen. I tillegg til magnetisk kraft vil elektronene da påvirkes av en elektrisk kraft i retning nedover: F E = ( e) E = ee ˆk. Vi får en likevektssituasjon når nettokraft er lik null: F E + F B = ee ˆk + ev d B ˆk = 0 E = v d B, og V H = E d = v d Bd. (b) Beregn antallstettheten av ladningsbærere n. Sammenlign svaret med atomtettheten i sølv, som har massetetthet ρ = 10.5 g/cm 3 og en molmasse på M = g/mol. Løsning: Med tverrsnittsarealet A = td (se figuren) er antallstettheten av ladningsbærere, n, gitt ved I = nev d A n = I ev d A = I ev d td. Fra uttrykk for V H ser vi at driftsfarten v d kan estimeres fra målt V H hvis B og d er kjent: v d = V H Bd. Vi kan da finne antallstetthet av ladningsbærere uttrykt ved Hallspenningen: n = I ev d td = IBd ev H td = IB ev H t (10.0 A)(0.80 T) = ( C)( V)( m) = m 3. Antall atomer pr enhetsvolum (= antallstetthet) i sølv er gitt ved massetetthet, Avogadros tall og molvekta: n a = ρn A M = (10.5 g/cm3 )( mol 1 ) = cm g/mol Page 3

4 Vi ser at dette indikerer at antall ladningsbærere i sølv er tilnærmet én per atom. (Beregningen av n fra Hallspenningen er usikker. Hallspenningen er veldig lav og usikker å måle, dessuten har vi ignorert kvanteeffekter og vekselvirkning mellom elektronene. Hallprober for måling av B-felt bruker halvledere med betydelig lavere n slik at verdien får målt Hallspenning blir mye større.) Biot-Savart på kvadratisk strømsløyfe 9. Vi har i forelesning Kap.28-Eks.2 (eller Y&F kap. 28.5) funnet at magnetfeltet på aksen (sammenfallende med x-aksen) til en sirkulær strømsløyfe med radius a er (sirk) (x) = µ 0I 2 a 2. (1) (x 2 + a 2 3/2 ) Vi har også i forelesning Kap.28 - Eks.1 (eller Y&F kap. 28.3) vist at B-feltet i avstand ρ fra midtaksen på en rett leder med lengde 2a er asimutal (φ) og lik B φ = µ 0I 2a ρ ρ 2 + a 2. (2) (a) Bruk resultat (2) til å finne uttrykk for magnetfeltet B (kvad) (x) på midtnormalen til en kvadratisk strømsløyfe med sidekant 2a. Legg origo i sentrum av kvadratet med x-aksen langs normalen etter høyrehåndsregel for strømmen. Tips: Se på bidraget til B fra to og to motstående sidekanter samtidig. Løsning: Vi betrakter et punkt P på midtnormalen i avstand x fra sløyfas sentrum. I figuren til høyre ligger strømsløfa i yz-planet som står normalt på papirplanet. Avstanden fra P til sentrum for hver side i kvadratet er ρ = x 2 + a 2. Feltet i P fra hver enkelt side er gitt ved likn. (2). Sidekanter 1 og 3 (i retning z) gir B i yx-planet (papirplanet) med vinkel α med x-aksen, der cos α = a/ρ. De andre sidekanter 2 og 4 (i retning y) gir B φ2 og B φ4 i xz-planet med samme vinkel α med x-aksen. Det betyr at cosinus-komponentene (langs x-aksen) for hver B φ adderer mens sinus-komponenten (normalt på x-aksen) vil nulles ut fra to motstående sidekanter. Dette gir at B (kvad) = (kvad) î med (kvad) = 4B φ cos α = 4 µ0i 2a ρ ρ 2 + a a 2 ρ = µ 0I π 2a 2 ρ 2 ρ 2 + a = µ 0I 2 π 2a 2 (x 2 + a 2 ) x 2 + 2a 2. (3) (b) Vis at følgende sammenheng gjelder i sentrum av strømsløyfene (dvs. x = 0): (kvad) = (sirk) 2 ( 2 2 ) 2 π π Page 4

5 (Og dermed har du en sjekk av svaret ditt i a)). Løsning: I sentrum: mens fra ligning (1), Altså er (kvad) (x = 0) = µ 0I 2a 2 π (a 2 ) 2a = µ 0I 2 2 π a, (sirk) (x = 0) = µ 0I a 2 2 a 3 = µ 0I 1 2 a. (kvad) (x = 0) = (sirk) (x = 0) 2 2 π = B(sirk) x (x = 0) 0, 90, som skulle vises. Feltet er altså 10 % mindre i sentrum av en kvadratisk sløyfe med sidekant lik diameter i sirkulær sløyfe (strømmen er i snitt noe lengre unna ). (c) Finn uttrykk for B (sirk) (x a) og B (kvad) (x a). Uttrykk disse ved de respektive strømsløyfers magnetiske moment µ = IA. Til slutt sammenlikn disse med uttrykket for elektrisk felt på aksen til en elektrisk dipol, langt unna: E(x) 1 p = 2πɛ 0 x 3. Løsning: For x a ser vi fra ligning (3) at (kvad) (x a) µ 0I 2a 2 π (x 2 ) x = µ 0I 2a 2 2 π x 3. Dipolmomentet for sløyfa er µ (kvad) 2 = I(2a) î = 4Ia2 î, slik at B(x a) = µ 0 µ (kvad) 2π x 3. For den sirkulære strømsløyfa finner vi tilsvarende fra likn. (1) at B (sirk) (x a) = µ 0I 2 a 2 x 3 î = µ 0 µ (sirk) 2π x 3, idet µ (sirk) 2 = Iπa î. Uttrykkene er altså helt like! Når vi sammenlikner med E-feltet på aksen langt fra en elektrisk dipol, E(x) = 1 p 2πɛ 0 x 3, ser vi at feltet langs aksen (henholdsvis langs p for el. dipol og langs µ for magn. dipol) er nøyaktig det samme, med µ istedenfor p og µ 0 istedenfor 1/ɛ 0. Vi skal finne flere analogier mellom elektrostatikken og magnetostatikken etterhvert. Biot-Savart halvsirkel 10. En ledning ligger i yz-planet og er formet som en halvsirkel med radius a som vist i figuren. Ledningen fører en strøm I og tilførselsledningene ligger svært tett og langs z-aksen. x-aksen er normal til papirplanet og går opp av papiret og origo er i sentrum av halvsirkelen. (For å synes godt er koordinatsystem i figuren lagt utenfor halvsirkelen). Finn uttrykk for magnetfeltet B i et punkt P(x) som ligger på x-aksen i høyden x over yz-planet. Page 5

6 Løsning: De to tilførselsledningene ved z < a bidrar ikke med magnetfelt, da de ligger tett og fører strøm i motsatt retning. (I Biot-Savarts lov blir Id s motsatt like store fra hver av dem.) Vi må da finne magnetfeltet fra halvsirkelen og fra den rette lederen fra z = a til z = +a. Uttrykk for feltet i avstand x midt på en rett leder med lengde 2a fant vi i forelesningene (eller Y&F kap. 28.3). Feltet er asimutalt retta om lederen og med strøm i negativ z-retning blir ifølge høyrehåndsregelen B-feltet på positiv x-akse retta i negativ y-retning: B y, rett (x) = µ 0 I 2a 1 x r, med r = a 2 + x 2. Vi har i forelesningene (og Y&F Kap. 28.5) bestemt B-feltet langs midtnormalen av en helsirkel, og fant at feltet har komponent kun normalt på sirkelen (her x-retning), fordi y og z-komponentene nulles ut når vi integrerer over sirkelen. Med en halvsirkel nulles ikke y- komponenten. La d s være et bueelement til halvsirkelen i posisjon (asimutal)vinkel φ [0, π] fra z-aksen (figuren). Avstanden fra bueelementet til punktet P er r = a 2 + x 2 og enhetsvektor i retning fra bueelementet til punktet P betegnes ˆr. Merk strømretningen, en bedre figur vil gjøre seg, se f.eks. fig i Y&F. For alle bueelement vil d s ˆr, slik at db = µ 0 I d s ˆr r 2 = µ 0 I ds r 2 = k mi ds r 2, hvor vi tillater oss å bruke k m = µ0. Vektor d B har vinkel θ med x-aksen slik at d = cos θ db. Komponenten i yz-planet har verdi sin θ db og vinkel φ med z-aksen. Dette gir at db har følgende komponenter: d B = [d, db y, db z ] = [cos θ db, sin φ sin θ db, cos φ sin θ db]. Vinkel θ blir lik vinkelen mellom ˆr og sløyfeplanet (eks. fig i Y&F), slik at cos θ = a/r og sin θ = x/r. Vinkelen θ er lik for alle bueelement mens φ er avhengig av plasseringen av bueelementet. Komponentene d og db y er alltid positive for halvsirkelen mens db z er positiv og negativ for hver kvarte sirkel (og vi aner at resultanten blir null). Med ds = adφ gir dette d = k m I cos θ ds r 2 = k mi a adφ r 3 db y = k m I sin θ sin φ ds r 2 = k mi x adφ r 3 sin φ db z = k m I sin θ cos φ ds r 2 = k mi x adφ cos φ. r3 Page 6

7 Ved integrasjon over halvsirkelen er x, r samt a konstant, slik at vi får følgende integraler ˆ π 0 dφ = π, ˆ π 0 sin φ dφ = 2, ˆ π 0 cos φ dφ = 0, med resultat = k m I a aπ r 3, B y = k m I x 2a r 3, B z = 0. Dette er eneste bidraget i x-retning, mens vi for y-komponenten må legge til B y, rett fra likn. (10), og svarene blir B y = µ 0 I 2a 1 x r + µ 0 I x 2a r 3 = µ 0 I 2π a rx = µ 0 I a πa r 3 = µ 0 I 4 a2 r 3 B z = 0, ) (1 x2 r 2 = µ 0 I 2π a rx a2 r 2 = µ 0 I 2π x a3 r 3 med r = x 2 + a 2. Merk dere grensetilfellet x a (dvs. nærme origo). Da er r a og B y = µ 0 I 2π x, = µ 0 I 4a. Her er B y lik feltet nærme en lang rett leder og er lik halvparten av feltet i sentrum av en sirkel med radius a. Page 7