EKSAMENSOPPGAVE. Eksamen i: FYS Elektromagnetisme Fredag 31. august 2012 Kl 09:00 13:00 adm. Bygget, rom B154

Transkript

1 side 1 av 6 sider FAKULTET FOR NATURVITENSKAP OG TEKNOLOGI EKSAMENSOPPGAVE Eksamen i: FYS Elektromagnetisme Dato: Tid: Sted: Fredag 31. august 2012 Kl 09:00 13:00 adm. Bygget, rom B154 Tillatte hjelpemidler: - K.Rottmann: Matematische Formelsammlung/ Matematisk Formelsamling - Lommekalkulator med tomt minne Oppgavesettet er på 6 sider inklusiv forside Kontaktperson under eksamen: Frank Melandsø Telefon:

2 side 2 av 6 sider Oppgave 1 En sylindrisk kondensator består av en indre leder med radius a, og en ytre leder med en indre radius b, slik som figur 1 viser. Kondesatoren er koblet til en likespenningskilde, slik at den indre lederen har potensial V 0 og den ytre lederen har potensial V = 0. Kondensatoren er fullstendig oppladet slik at det er en fri ladning per lengdeenhet λ f uniformt fordelt på den indre lederens utside, og tilsvarende fri ladning per lengdeenhet λ f uniformt fordelt på innsiden av den ytre lederen. Det antas at kondensatorens lengde l er av en størrelsesorden mye større enn b a, slik at randeffekter er neglesjerbar. Figur 1: Rommet mellom lederene er fylt med et dielektrisk medium der det elektrostatiske feltet kan beregnes fra Gauss lov E = ρ f + ρ p ε 0, (1) der E, ρ f, ρ p og ε 0 er henholdsvis det elektriske feltet, den fri ladningstettheten, den bundne ladningstettheten og permittivitet for vakuum. (a) Vis at ligning (1) kan omformes til D = ρ f (2) der D = ε 0 E+P, og angi relasjonen mellom ρ p og polarisasjonen P. Skisser også hvor du forventer å finne såkalte bundne ladninger.

3 side 3 av 6 sider (b) Videre i oppgaven skal vi anta at relasjonen D = εe (3) gjelder mellom forskyvningsvektoren D og E. Hvilken antagelse ligger bak relasjon (3)? (c) Beregn det elektriske feltet E som funksjon av radius r uttrykt ved λ f når det antas at ladningene er uniformt fordelte på den indre lederens utside og at den ytre lederens innside. Det kan også antas at det ikke eksisterer frie ladninger i dielektrikumet. Du skal her anta at relasjon (3) gjelder. (d) Definer begrepet kapasitans og beregn kapasitansen C til kondensatoren. Oppgave 2 Vi skal i denne oppgaven se på effekter av strømlekasje og induksjon i en kondensator. La oss ta utgangspunkt i figur 2 som modellerer en strømlekasje ved hjelp av en motstand med resistans R koblet i parallell med en ideell kondensator med kapasitans C Figur 2: (a) Hva er forutsetningen for å kunne bruke impedanseteori til å finne strømmen gjennom kretsen i figur 2? Skisser uten å gjøre beregninger, hvor du forventer at strømmen vil gå for veldig lave- (ω 0) og høye (ω ) frekvenser.

4 side 4 av 6 sider (b) Beregn den totale (ekvivalente) impedansen for kretsen i figur 2, og hvis at grenseverdiene i punkt a) er riktige. (c) Vis at resistansen i den sylindriske kondensatoren behandlet i oppgave 1 (se fig.1) må kunne uttrykkes som integralet b 1 1 R = a σ 2πLr dr, der det er antatt at strømtettheten J responderer i henhold til Ohms lov J = σe. Vi vil nå utvide modellen som vist i figur 3, der induktive effekter er inkludert ved induktansen L Figur 3: (d) Beregn den totale impedansen til kretsen i figur 3. Finn også et tilnærmet uttrykk for den totale impedansen når ω >> RC, og gi en fysisk fortolkning av resultatet.

5 side 5 av 6 sider Oppgave 3 Vi skal i denne oppgaven se på en kvadratisk torriodal spole med N viklinger. Gjennom sentrum av denne spolen normalt til spolens plan, legges en uendelig lang rett leder som vist i figur 4. Figur 4: (a) Utled formelen for den magnetisk energien til en generell spolen med selvinduktans L. (b) Vis at magnetfeltet inne i den torriodal spolen i en avstand r fra spolens sentrum har en norm gitt ved B 1 = N µ 0I 1 2πr når det går en konstant strøm I 1 gjennom de N viklingene på spolens overflate. Beregn også magnetfeltet B 2 generert fra den rette lederen når det går en konstant strøm I 2 gjennom denne. Angi i en figur retningen til magnetfeltene for en selvvalgt retning av strømmene. Du skal her anta at systemene er uavhengige og at mediene rundt lederen og inni spolen ikke er magnetiserbar.

6 side 6 av 6 sider (c) Skriv Faraday s lov på integralform og beskriv kort inneholdet i denne. Beregn selvinduktansen L til den torriodale spolen. (d) Vis at den gjensidige induktansen M mellom spolen og den rettlinjete lederen er gitt ved M = µ 0bN 2π ( ln 1 + b ) a Vi vil nå anta at spolen er koblet i serie med en kondensator med kapasitans C og en ohm sk resistor med resistans R. Vis at strømmen gjennom kretsen er beskrevet av differensialligningen L di 1 dt + RI C Q = M di 2 dt (4) der Q er ladningen på kondensatorplaten.