En del utregninger/betraktninger fra lab 8:

Transkript

1 En del utregninger/betraktninger fra lab 8: Fra deloppgave med ukjent kondensator: Figur 1: Krets med ukjent kondensator og R=2,2 kω a) Skal vise at når man stiller vinkelfrekvensen ω på spenningskilden slik at V 1 = V 2 så vil man kunne finne kondensatoren C av sammenhengen C = 1/(R ω). Benytter spenningsdeling til å finne V 1 og V 2 utrykt av V s: og Finner så forholdet V 1/V 2: Dette gir: Dersom V 1 måles å være lik V 2 så må det bety at 1. Ettersom j =1 gir dette at ωrc=1. Dette gir da at C = 1/(R ω) når ω på spenningskilden er slik at V 1 = V 2.

2 b) Skal vise at når V 1 = V 2 så vil 2 Velger at I er reell, dvs. har vinkel 0 0. Det gir: Ettersom V 1 = V 2 : 2 2

3 Fra deloppgave med ukjent spole: a) Finne spolens egenindukstans og indre resistans ved hjelp av målinger og beregninger: Figur 2: 2 Finner så (ωl x) 2 av ligningene for Z spole 2 : Setter dette inn i utrykket for Z inn 2 og får: Av dette utrykket finnes resistansen R x i spolen til å bli:

4 Ved å sette utrykket for R x inn i utrykket for (ωl x) 2 finnes spolens selvinduktans. Denne blir:

5 b) Beregne spolens egenkapasitans ved hjelp av forholdene ved resonans Figur 3: Krets som viser spolens ekvivalentskjema inkludert modell total kapasitans som spolens vindinger har mot jord Spolens impedans Z spole vil totalt sett ha en liten kapasitans mot jord. Denne kapasitansen er en ekvivalent av kapasitanser mellom de ulike vindingene mot jord og kapasitanser mellom vindingene. Ved høye frekvenser vil kapasitansen føre til at spolen sett fra ytre nett tilnærmet er en kortslutning (kondensatorens impedans er j/ωc x). Ved lave frekvenser representerer seriekoblingen mellom R x og L x en lav impedans mens kondensatoren er en høy impedans. Kretsen vil ved økende frekvens i påtrykt spenning for en eller annen frekvens gå fra å være induktiv til å bli kapasitiv. Frekvensen akkurat i overgangen fra en induktiv til kapasitiv krets kalles kretsens resonansfrekvens. Vi skal se nedenfor at spolens impedans blir svært høy for frekvenser nær resonansfrekvensen. I tilfellet her er det enklest å først regne med admittanser: Ser at Det kan av dette vises at Y spole er: ) Akkurat i overgangen fra induktiv til kapasitiv krets ved økende frekvens i påtrykt spenning er admittansen rent konduktiv (og dermed også impedansen rent resistiv). Finner hvilken

6 frekvens som fører til rent konduktiv admittans ved å finne hvilken frekvens som fører til at Y spole sin imaginærdel er 0: Løser denne ligningen med hensyn på ω og får: 0 1 I kretsen i figur 3 vil slik at man tilnærmingsvis kan skrive: 1 Når man kjenner L x og finner den frekvensen som gjør at spenningen over spolen er i fase med kildespenningen (resonansfrekvensen for spolen) kan man dermed tilnærmet beregne C x. Teoretisk verdi av Z spole ved resonansfrekvensen blir tilnærmet: 1/ 1 På laben kan man måle spenningen over motstanden R ved den frekvensen der spenningen over spolen er i fase med kildespenningen. R bør da være en viss størrelse på for å få en målbar spenning over den. Velg 10 kohm eller noe mer. Deretter finner du strømmen i kretsen ved å ta målt spenning over R dividert med R. Spolens impedans ved resonans er da målt spenning over spolen delt på strømmen du fant gikk gjennom motstanden R. Man vil kunne få et stort avvik mellom teoretisk beregnet og målt impedans ved resonansfrekvensen. Det er likevel slik at man vil få en stor spoleimpedans også ved målinger. En forklaring til avvik mellom teori og målinger er at resonanstoppen er svært spiss slik at et lite avvik ifra resonansfrekvens gir et stort avvik i verdien på impedansen. Nedenfor er teoretisk impedanskurve for Z spole ved R x = 12,3 Ω, L x = 38,1 mh og C x = 90 pf vist, det samme gjelder teoretisk impedanskurve for vinkelen til Z spole. Av figur 4 ses det at et lite avvik fra nøyaktig resonansfrekvens gir stort avvik i verdi for Z spole. I tillegg kan forskjell mellom målt verdi og teoretisk beregnet verdi for Z spole ved resonans skyldes ulineære komponenter (for eksempel at C x ikke nødvendigvis er konstant når frekvensen varierer). Av figur 5 ses det at Z spole går fra å være induktiv til å bli kapasitiv ved resonansfrekvensen (nær 86 khz eller i vinkelfrekvens ca 540 krad/s).

7 Figur 4: Teoretisk beregnet Z spole ved R x = 12,3 Ω, L x = 38,1 mh og C x = 90 pf Figur 4: Teoretisk beregnet ved R x = 12,3 Ω, L x = 38,1 mh og C x = 90 pf.