EKSAMENSOPPGAVE I FYS-2001

Transkript

1 Side 1 of 7 EKSAMENSOPPGAVE I FYS-001 Eksamen i : Fys-001 Statistisk fysikk og termodynamikk Eksamensdato : Onsdag 5. desember 01 Tid : kl Sted : Adm.bygget, B154 Tillatte hjelpemidler: K. Rottmann: Matematisk Formelsamling, O. Øgrim: Størrelser, enheter og symboler i fysikken, S. Barnett and T.M. Cronin: Mathematical Formulae, C. Nordling and J. Österman: Physics Handbook for Science and Engineering, S. E. Pedersen, J. Gustavsen, S. Kaasa og O. Olsen: Teknisk formelsamling Fysiske og matematiske tabeller, lommekalkulator, Tabeller og formler i fysikk for FY og 3FY. Oppgavesettet er på 7 sider inkl. forside og formelark. Kontaktperson under eksamen: Åshild Fredriksen, tlf eller ashild.fredriksen@uit.no

2 Side of 7 Oppgave 1 Helmholtz fri energi er generelt gitt ved F U TS (1) Summen av Helmholtz fri energi for to systemer som er i termisk og diffusiv likevekt har et minimum. Det totale antallet partikler N = N 1 + N er konstant, og Helmolz frie energi for begge systemene F tot = F 1 + F. Vi definerer det kjemiske potensialet som F ( T, V, N) N TV, () a) Vis at to systemer med lik temperatur T 1 = T = T, og som er i diffusiv likevekt, har samme kjemiske potensial, Entropien for en en-atomig ideell gass er (3) 1. S Nk ln n Q 5 n (4) hvor kvantekonsentrasjonen er gitt ved n Q MkT h 3/ (5) b) Vis at det kjemiske potensialet for en ideell gass er n kt ln n Q (6) Dette er det indre kjemiske potensialet. Hva kan det ytre kjemiske potensialet være forårsaket av? Vi ser nå på en Einstein-krystall (solid) der både antall oscillatorer N og energienheter q er mye større enn 1 og energien U = konstant. Vi ser på hver oscillator som en separat 'partikkel'.

3 Side 3 of 7 Entropien er gitt ved: c) Vis at det kjemiske potensialet er S k q N ln q N qln q N ln N (7) kt ln N q N (8) d) Diskuter dette resultatet i grensene N >> q og N << q, spesielt med tanke på hvor mye entropien S øker når en annen partikkel uten energi adderes til systemet. Gir formelen intuitiv mening? Den termodynamiske identiteten kan skrives som Gibbs frie energi er gitt ved du TdS PdV dn. (9) G U TS PV (10) og har et minimum for et system som er i likevekt med konstant T og P. e) Vis at dette medfører dg dn (11) Generaliser (11) til også å gjelde for systemer bestående av mer enn én type partikler. Oppgave. En ideell to-atomig gass har frihetsgrader knyttet til translasjon, rotasjon og vibrasjon. Total enpartikkel-energi pr molekyl kan uttrykkes: og partisjonsfunksjonen Z 1 for et molekyl kan skrives: Etot Etrans Erot Evib, (1) Z1 ZtransZrot Zvib (13)

4 Side 4 of 7 der Z trans og Z rot ved høy nok temperatur har formen: V h kt Ztrans ; vq ; Zrot. vq mkt rot 3/ (14) og rot er en konstant. Energinivåene for vibrasjon av et toatomig molekyl er gitt ved: der vib er en konstant ( vib rot ). En n vib ; n 0,1,,... (15) a) Skriv opp Boltzmann-faktoren for vibrasjonsenergien, samt generelt uttrykk for partisjonsfunksjonen Z vib. Vis at Z vib ved en vilkårlig temperatur T er gitt ved: 1. (16) Z vib vib / 1 e kt Finn et tilnærmet uttrykk for Z vib når kt vib. Hint: For x < 1 gjelder følgende: n 1 x (17) 1 x n0 Partisjonsfunksjonen Z N for en gass av N identiske toatomige molekyler, kan ved høy temperatur (kt vib ) skrives: Z N 1 1 N V kt kt Z1 N! N! vq rot vib N (18) b) Bruk Z N til å bestemme indre energi U for gassen. Kommenter resultatet i lys av ekvipartisjonsteoremet. Helmholtz' fri energi F for gassen kan uttrykkes ved hjelp av partisjonsfunksjonen Z N : F kt ln Z (19) c) Sett opp den termodynamiske identiteten for F (hint: F=U-TS) og uttrykk entropien S som en partiellderivert av F for en prosess med konstant volum og antall partikler. N

5 Vis deretter at entropien i en to-atomig gass med både rotasjon og vibrasjon, kan uttrykkes som en ekvivalent til Sackur-Tetrode-ligningen (vi antar at kt vib ): Side 5 of 7 kt 7/ /3 V m 9 S Nk ln N h rot vib (0) Oppgave 3 I denne oppgaven tar vi for oss noen egenskaper for Fermi-gasser. a) Hva karakteriserer et fermion? Nevn minst ett eksempel på en slik partikkel. Skriv opp Gibbs-faktoren og den store partisjonsfunksjonen for fermioner, og vis at midlere antall partikler i en energitilstand er gitt ved: 1 n FD / kt e 1 (1) Lag en skisse av fordelingen for to temperaturer T 1 > T > 0. Vi skal nå se på en degenerert Fermi-gass. b) Hva legger du i dette begrepet? Gitt at det er ett lednings-elektron pr atom i et metall. Volumet til et atom er i størrelsesorden (0. nm) 3. Kvantevolumet ved romtemperatur er gitt ved v Q h mkt 3 (4.3nm) 3 () Kan ledningselektronene betraktes som en degenerert Fermi-gass? Begrunn svaret ditt. Skissér n FD for en degenerert Fermi-gass i samme graf som i punkt a). Hva kalles høyeste energi for okkupert (opptatt) energitilstand? Gitt at de opptatte energitilstandene er representert ved bølgefunksjoner innenfor en 3- dimensjonal boks med lik lengde L for alle sidene, slik at tillatte bølgelengder og moment for hver dimensjon er gitt ved henholdsvis L h n og pn n (3) n

6 Side 6 of 7 c) Skriv opp et uttrykk for tillatte tilstandsenergier i 3 dimensjoner i n-rommet og konstruer ut fra dette et uttrykk for den maksimale energien for N partikler. (Husk at fermionene har to spinn-tilstander for hver bølgefunksjon.) Vis at den totale energien til en degenerert elektrongass er gitt ved U 5 max hn (4) 40mL (Hint: ( n) dnxdnydn z dn d d n sin ( n), men du må selv sette inn riktige integralgrenser.) h d) Omgjør integralet over n til et integral over ved relasjonen n, og skriv opp 8mL integralet på formen F U g( ) d (5) 0 Finn uttrykket for g() og forklar betydningen av funksjonen. Lag en skisse av den. Forklar hvordan det totale antall partikler N kan beregnes ved hjelp av g(), når T = 0. Hvordan må denne beregningen modifiseres for T > 0? Forklar.

7 Side 7 of 7 Nyttige formler Stirlings tilnærmelse:! N N N N e eller ln N! N ln N N (6) x Rekkeutvikling: e 1 x, når x 1 (7) ln(1 x) x, x 1 (8) Momentum bølgefunksjon: p h/ (9) Energi definert ved momentum: p E (30) m Gibbs frie energi: G U TS PV (31) Termodynamisk identitet: du TdS PdV dn (3) Partisjonsfunksjon for ett molekyl: Z1 ZtrZint ; Zint ZrotZvib (33) Kvantevolumet: v Q 3 h lq mkt Ideell gass: ln Z N lnv ln Zint ln N ln v Q 1 3 (34) (35) Total (midlere) energi: U 1 Z 1 ln Z, Z kt (36)