EKSAMENSOPPGAVE. Alle skrevne og trykte. Godkjent kalkulator.

Transkript

1 Fakultet for naturvitenskap og teknologi EKSAMENSOPPGAVE Eksamen i: MAT-0001 Brukerkurs i Matematikk Dato: Klokkeslett: 15:00-19:00 Sted: Åsgårdvegen 9, Teorifagb. hus 1 plan Tillatte hjelpemidler: Alle skrevne og trykte. Godkjent kalkulator. Type innføringsark (rute/linje): Antall sider inkl. forside: Kontaktperson under eksamen: Telefon/mobil: Rute Ola Løvsletten NB! Det er ikke tillatt å levere inn kladdepapir som del av eksamensbesvarelsen. Hvis det likevel leveres inn, vil kladdepapiret bli holdt tilbake og ikke bli sendt til sensur. Postboks 6050 Langnes, N-907 Tromsø / / postmottak@uit.no / uit.no

2 Oppgave 1. Regionen M består av de punktene (x, y) som oppfyller ulikhetene y 2 x + y 2 y x a) Skisser M i et rettvinklet koordinatsystem. b) Finn minste og største verdi til funksjonen på M. f(x, y) = 5x y Oppgave 2 En funksjon f : R R er gitt ved f(x) = 2 e x a) Bestem grenseverdiene lim f(x) og lim f(x). x x + Hva er definisjonsmengden og verdimengden til f? b) Finn tangentlinja til f(x) i punktet x = 0. c) Vis at f er strengt avtakende for alle x. Er f injektiv? Finn definisjonsmengden og verdimengden til den inverse funksjonen f 1 (x). Regn ut f(ln(2)), og finn f 1 (0). d) Bestem f 1 (x) (funksjonsuttrykket til den inverse funksjonen). Hint: Løs y = f(x) med hensyn på x, du har da funnet x = f 1 (y). e) Finn (f 1 ) (0) (den deriverte til den inverse funksjonen i 0). Det er mulig å finne (f 1 ) (0) uten å ha fått til d). Du kan bruke formelen: (f 1 ) (f(x)) = 1 f (x). 2

3 Oppgave a) Regn ut grensene i) lim sin(x) x π 4 ii) lim x 0 1 cos(x) x x 2 lim x (x + 2) 2 Hint til ii): Bruk L Hôpitals regel. b) Utfør derivasjonene i) ( 2x 5 + cos(5x) ) ii) [ (x 2 + 1) cos(x) ] [ e sin x] c) Regn ut de ubestemte integralene ( i) x + 2 ) dx x 2 ii) x 2 e x dx x cos(2πx)dx

4 Fakultet for naturvitenskap og teknologi EKSAMENSOPPGÅVE Eksamen i: MAT-0001 Brukarkurs i Matematikk Dato: Klokkeslett: 15:00-19:00 Stad: Åsgårdvegen 9, Teorifagb. hus 1 plan Lovlege hjelpemiddel: Alle skrevne og trykte. Godkjent kalkulator. Type innføringsark (rute/linje): Antall sider inkl. forside: Kontaktperson under eksamen: Telefon/mobil: Rute Ola Løvsletten NB! Det er ikkje lov å levere inn kladd saman med svaret. Om det likevel leverast inn, vil kladden bli heldt tilbake og ikkje sendt til sensur. Postboks 6050 Langnes, N-907 Tromsø / / postmottak@uit.no / uit.no

5 Oppgåve 1. Regionen M vert utgjort av av dei punkta (x, y) som oppfyller ulikskapane y 2 x + y 2 y x a) Skisser M i eit rettvinkla koordinatsystem. b) Finn minste og største verdi til funksjonen på M. f(x, y) = 5x y Oppgåve 2 Ein funksjon f : R R er gjeve ved f(x) = 2 e x a) Finn grenseverdiane lim f(x) og lim f(x). x x + Kva er definisjonsmengda og verdimengda til f? b) Finn tangentlinja til f(x) i punktet x = 0. c) Vis at f er strengt avtakende for alle x. Er f injektiv? Finn definisjonsmengda og verdimengda til den inverse funksjonen f 1 (x). Rekn ut f(ln(2)), og finn f 1 (0). d) Finn f 1 (x) (funksjonsuttrykket til den inverse funksjonen). Hint: Løys y = f(x) med omsyn på x, du har da funne x = f 1 (y). e) Finn (f 1 ) (0) (den deriverte til den inverse funksjonen i 0). Det er mogleg å finne (f 1 ) (0) utan å ha fått til d). Du kan nytte formelen: (f 1 ) (f(x)) = 1 f (x). 2

6 Oppgåve a) Rekn ut grensene i) lim sin(x) x π 4 ii) lim x 0 1 cos(x) x x 2 lim x (x + 2) 2 Hint til ii): Bruk L Hôpitals regel. b) Utfør derivasjonane i) ( 2x 5 + cos(5x) ) ii) [ (x 2 + 1) cos(x) ] [ e sin x] c) Rekn ut dei ubestemte integrala ( i) x + 2 ) dx x 2 ii) x 2 e x dx x cos(2πx)dx