EKSAMENSOPPGÅVE. Mat-1005, Diskret matematikk. Godkjent kalkulator, Rottmanns tabellar og 2 A4 ark med eigne notater (4 sider).

Transkript

1 Fakultet for naturvitenskap og teknologi EKSAMENSOPPGÅVE Eksamen i: Mat-1005, Diskret matematikk Dato:. desember 016 Klokkeslett: Stad: Åsgårdvegen 9 Lovlege hjelpemiddel: Godkjent kalkulator, Rottmanns tabellar og A ark med eigne notater ( sider). Type innføringsark (rute/linje): Antall sider inkl. forside: Kontaktperson under eksamen: Ragnar Soleng Telefon/mobil: 77601/ Postboks 6050 Langnes, N-9037 Tromsø / / postmottak@uit.no / uit.no

2 Oppgåve 1 at a) Bruk metoden i Kinesisk restteorem til å finne x med 0 x < 851 slik x (mod 3) x 3(mod 37) b) Bruk rask eksponentiering (modular exponentiation) til å finne 3 7 mod 05 (Hugs at eit rett svar, til dømes eit som du lett finner på kalkulator, ikkje teljer. Svaret er 137.) Oppgåve Vi skal i denne oppgåva telje passord av lengde n, frå alfabetet {a, b, c, d, 0, 1}, med den restriksjonen at eit passord ikkje får ha to bokstavar etter kvarandre. Til dømes er a eit lovleg passord, medan 1011ab0 ikkje er det. La a n vere talet på lovlege passord. a) Forklar at a n = a n 1 + 8a n. b) Kva er a 1 og a? Hugs å forklare. c) Løys differenslikninga a n = a n 1 + 8a n med dei startverdiane du fann i b. Eller om du ikkje fann a 1 og a, så berre løys likninga med a 0 = 1 og a 1 = 6. Oppgåve 3 Ein Boolsk funksjon i tre variablar, F (x, y, z), har output som i tabell 1. a) Lag Sum av produktutviklinga til F (x, y, z). b) Vis at F (x, y, z) = xy + xz ved å samanlikne output (sanningstabell). c) Vis at F (x, y, z) = xy + xz ved å bruke Karnaugh maps.

3 x y z F (x, y, z) Tabell 1 Oppgåve Bruk inklusjons-eksklusjonsprinsippet til å finne talet strenger frå alfabetet {a, b, c} av lengde som inneheld to a etter kvarandre. Til dømes er acaa og aaab slike strengar. Hint. Start med å definere 3 mengder A 1, A, A 3 der A 1 er alle strengar på formen aaxy, der x og y kan vere kva for helst A er alle strengar på formen xaay, der x og y kan vere kva for helst A 3 er alle strengar på formen xyaa, der x og y kan vere kva for helst Oppgåve 5 I figuren under fins ein uretta graf G. a) Bruk Dijkstras algoritme til å finne kortaste veg frå a til z. Bruk helst tabell slik som den nedanfor til å løyse denne oppgåva. b) Har grafen ein Euler sykel? Har den ein Euler sti? Hugs å forklare. c) Har grafen ein Hamilton sykel? 3

4 b d 1 f a z 8 c 1 e 3 5 g k S a b c d e f g z 0 Ø 0 Oppgåve 6 a) Bruk Huffmankoding til å finne ei optimal prefikskoding av desse symbola med tilhøyrande frekvensar: (a : 0.07), (b : 0.1), (c : 0.15), (d : 0.), (e : 0.). b) Rekn ut gjennomsnittleg tal bit per bokstav som må til for å kode ein tekst frå alfabetet {a, b, c, d, e}.

5 Fakultet for naturvitenskap og teknologi EKSAMENSOPPGAVE Eksamen i: Mat-1005, Diskret matematikk Dato:. desember 016 Klokkeslett: Sted: Åsgårdvegen 9 Tillatte hjelpemidler: Godkjent kalkulator, Rottmanns tabeller og to egne A ark med notater ( sider) Type innføringsark (rute/linje): Antall sider inkl. forside: Kontaktperson under eksamen: Ragnar Soleng Telefon/mobil: 77701/ Postboks 6050 Langnes, N-9037 Tromsø / / postmottak@uit.no / uit.no

6 Oppgave 1 at a) Bruk metoden i Kinesisk restteorem til å finne x med 0 x < 851 slik x (mod 3) x 3(mod 37) b) Bruk rask eksponentiering (modular exponentiation) til å finne 3 7 mod 05 (Husk at et rett svar, for eksempel et som du lett finner på kalkulator, ikke teller. Svaret er 137.) Oppgave Vi skal i denne oppgaven telle passord av lengde n, fra alfabetet {a, b, c, d, 0, 1}, med den restriksjonen at et passord ikke får ha to bokstaver etter hverandre. For eksempel er a et lovlig passord, mens 1011ab0 ikke er det. La a n være antall lovlige passord. a) Forklar at a n = a n 1 + 8a n. b) Hva er a 1 og a? Husk å forklare. c) Løs differensligninga a n = a n 1 + 8a n med de startverdiene du fant i b. Eller om du ikke fant a 1 og a, så bare løs ligninga med a 0 = 1 og a 1 = 6. Oppgave 3 En Boolsk funksjon i tre variabler, F (x, y, z), har output som i tabell 1. a) Lag Sum av produktutviklinga til F (x, y, z). b) Vis at F (x, y, z) = xy + xz ved å sammenligne output (sannhetstabell). c) Vis at F (x, y, z) = xy + xz ved å bruke Karnaugh maps.

7 x y z F (x, y, z) Tabell 1 Oppgave Bruk inklusjons-eksklusjonsprinsippet til å finne antall strenger fra alfabetet {a, b, c} av lengde som inneholder to a etter hverandre. For eksempel er acaa og aaab slike strenger. Hint. Start med å definere 3 mengder A 1, A, A 3, der A 1 er alle strenger på formen aaxy, der x og y kan være hvilke for helst A er alle strenger på formen xaay, der x og y kan være hvilke for helst A 3 er alle strenger på formen xyaa, der x og y kan være hvilke for helst Oppgave 5 I figuren under fins en uretta graf G. a) Bruk Dijkstras algoritme til å finne korteste veg fra a til z. Bruk helst tabell slik som den nedenfor til å løse denne oppgaven. b) Har grafen en Euler sykel? Har den en Euler sti? Husk å forklare c) Har grafen en Hamilton sykel? 3

8 b d 1 f a z 8 c 1 e 3 5 g k S a b c d e f g z 0 Ø 0 Oppgave 6 a) Bruk Huffmankoding til å finne en optimal prefikskoding av disse symbolene med tilhøyrende frekvenser: (a : 0.07), (b : 0.1), (c : 0.15), (d : 0.), (e : 0.). b) Regn ut gjennomsnittlig antall bit per bokstav som må til for å kode en tekst fra alfabetet {a, b, c, d, e}.