Løsningsforslag MAT 120B, høsten 2001

Transkript

1 Løsningsforslag MAT B, høsten Sett A = ( ) (a) Finn egenverdiene og egenvektorene til A ( ) λ =, e = ( λ =, e = ) (b) Finn matrisen e ta og den generelle løsningen på initialverdiproblemet Ẋ = AX, X() = X, der X = (x, y) (transponert) og X er en gitt vektor Da har vi at e ta = Løsningen X(t) er da gitt ved eller i koordinater ( ) ( ) ( ) e t e t = X(t) = e ta X, x(t) = et (x + y ) + (x y ), y(t) = et (x + y ) (x y ) ( ) e t + e t e t e t + (c) I resten av oppgaven lar vi A være en generell reell n n matrise med elementer a ij i n, j n Vis at dersom B er en matrise som er similær med A, så har A og B samme karakteristiske polynom, dvs p A (λ) = p B (λ) Hvis vi har B = P AP for en invertibel matrise P så får vi at (B λi) = (P AP λp IP ) = P (A λi)p Altså blir p B (λ) = det(p AP λp IP ) = P (A λi)p = (det(p)) det(a λi)det(p ) = p A (λ)

2 (d) Vis at n n a ii = b ii, i= i= der elementene i B er b ij (Hint: Dette kan ( vises direkte, men det er lettere å bruke n ) formelen p A (λ) = det (λi A) = λ n +λ n i= a ii + ledd av lavere orden enn λ n, som du ikke skal bevise) Hvis B er similær til A, så har de samme karateristiske polynom Sammenligner vi leddene foran (n )te grads leddet så må disse være like (e) For enkelhets skyld antar vi nå at A har n distinkte, men muligens komplekse egenverdier Vis formelen der Tr(A) = i a ii det ( e A) = e Tr(A), Siden A har distinkte egenverdier, er A kompleks diagonaliserbar, mao similær med en diagonal n n matrise J gitt ved λ λ J = λ n Videre er e A similær med e J, og derfor er det(e A ) = det(e J ), og Tr(J) = Tr(A) Determinanten til e J er lett å regne ut det(e A ) = det(e J ) e λ e λ = det e λn = e λ e λ e λn = e λ+λ+ +λn = e Tr(J) = e Tr(A) Gitt matrisen A = 8 (a) Forklar hvorfor A er ortogonalt diagonaliserbar, og vis at A har egenverdiene, 3 og 9

3 3 A er ortogonalt diagonaliserbar siden A er symmetrisk Det karakteristiske polynomet til A blir p A (λ) = ( λ 4λ + 3 ) ( λ) (6 λ) Ved innsetting ser vi at egenverdiene gir p A () = p A (3) = p A (9) = (b) Bestem egenvektorene til A, og finn en ortogonal matrise Q slik at Q T AQ er en diagonalmatrise Vi finner egenvektorene e =, e =, e 3 = 4 Siden A er symmetrisk, er disse ortogonale, ved å normalisere får vi at Q = (c) La lineæravbildningen L : P P være definert ved ( L(p)(x) = p(/) + p()x p( )x + p () 5x x 5 ) 4 Bestem matrisen til L i standardbasisen {, x, x }, og finn basiser for (nullrommet) N(L) og (rekkevidden) R(L) Vi får P () = + x + x dvs [L()] B = P (x) = / + x ( ) x dvs [L(x)] B = P (x ) = /4 + 4 x x [ dvs L(x ) ] B = 8 Altså { er L } = A Da følger det av forrige punkt at en basis for N(L) er x + x, og en basis for R(L) er { + x, + x + 4x } (d) Klassifisér den kvadratiske formen Svaret skal begrunnes q(x, y, z) = x + y + 4z + xy xz + yz Formen er X T BX der B = A/ Altså har B egenverdier, 3/ og 9/, som alle er ikke-negative Altså er A positivt semidefinitt

4 4 3 Anta at konstantene a, a og b er slik at π ( sin t (a + a cos(t) + b sin(t)) ) dt π er minst mulig Forklar, med mindre enn 3 ord, hvorfor a, a og b er Fourierkoeffisientene til f(t) = sin (t) Finn a, a og b Integralet er f p, der p J Fourierkoeffisientene er definert ved at de minimaliserer avstanden (5 ord!) Vi har at sin (t) = / (/) cos(t) Siden cos(t) er ortogonal til, cos(t) og sin(t), blir a = /, a = b = 4 (a) Finn alle likevektspunktene for differensialligningen ẋ = ρx x 3, () og bestem deres stabilitetsegenskaper Tegn et bifurkasjonsdiagram for () Vi får likevektspunktene x = og x = ± ρ, dersom ρ >, hvis ρ < får vi bare likevekten x = Videre har vi at for f(x, ρ) = ρx x 3 at { < ρ <, f x (, ρ) = ρ > ρ > Altså er x = asymptotisk stabilt for ρ < og ustabilt for ρ > For ρ > har vi at f x (± ρ, ρ) = ρ 3 (± ρ) = ρ < Altså er disse asymptotisk stabile Da får vi følgende bifurkasjonsdiagram: (b) Vi utvider nå ligningen fra (4a) ved å legge til en variable y, ẋ = ρx x 3 y ẏ = x Finn alle likevektspunkter til (), og bestem deres stabilitetsegenskaper for forskjellige verdier av parameteren ρ () Fra den andre ligningen får vi at x = i alle likevekter, da impliserer den første at også y = Altså får vi bare likevekten (x, y) = (, ) for alle verdier av ρ Vi regner ut Jacobimatrisen i origo og får ( ) ρ df =, denne har egenverdier gitt ved λ = ( ρ ± ) ρ 4 Derfor har begge egenverdiene negativ realdel dersom ρ < og positiv realdel dersom ρ > Altså blir (, ) asymptotisk stabilt for ρ < og ustabilt for ρ > For ρ = sier ikke denne testen noe om stabilitet

5 y y (c) Vi løser () numerisk og får følgende to faseportretter for ρ = 5 (til venstre) og ρ = 5 (til høyre) 5 x ' = rho x - x 3 - y y ' = x rho = -5 x ' = rho x - x 3 - y y ' = x rho = x x Bruk disse faseportrettene til å tegne et bifurkasjonsdiagram for () Fra før vet vi at origo er asymptotisk stabilt for ρ < og ustabilt for ρ > Fra faseportrettene ser vi at det blir dannet en stabil grensesykel når ρ passerer null Da har vi en Hopf bifurkasjon og bifurkasjonsdiagrammet ser slik ut