Lineære diffligning(ssystem)er i ECON 4140 V2017: Hva er pensum, hva er forelest, og hva er vesentlig.

Transkript

1 Lineære diffligning(ssystem)er i ECON 4140 V2017: Hva er pensum, hva er forelest, og hva er vesentlig. (If you need an English version, please notify me. Nils) Jeg har blitt gjort oppmerksom på at forelesningsplanen ikke har vært nøyaktig hva angår henvisninger til den norske MA2. Det følgende typesatt del er ment å oppklare i forhold til referansene til boka. (Om noen har en gammel MA2: en feil rettes opp.) Vedlagt er også en oversikt over hva man kan si om klassifisering av likevektspunkter for lineære og ulineære systemer. Det er kanskje ryddigst å vedta at terskelverditilfellene der man ikke kan konkludere for ulineære systemer, ikke er like vesentlige V2017. MA2 avsnittene (FMEA avsnittene delvis unntatt Eulers differensialligning) er pensum. Spesielt må man vite at hvis man har to ikke-proporsjonale løsninger av en homogen 2. ordens lineær differensialligning, så får man allmenn løsningen ved å ta lineærkombinasjoner (MA2 setning jf ; FMEA setning 6.2.1). Eulers differensialligning (MA2 avsnitt 2.5 og et underavsnitt i FMEA) er ikke pensum i seg selv. Det er gitt i oppgaver med hint, og dersom den homogene ligningen har to løsninger t q 1 og t q 2, med q 1 q 2, så er det uansett pensum å kunne ta en lineær kombinasjon av disse for allmenn løsning. Mer generelle metoder for å finne løsninger med ikke-konstante koeffisienter (M2 avsnitt 2.4) er ikke pensum, men igjen: om dere får oppgitt løsningskandidater og kan verifisere, så må dere også kunne ta lineære kombinasjoner. Konstante koeffisienter: Stabilitet av lineære 2. ordens ligninger (MA2 avsnitt 2.6, FMEA avsnitt 6.4) og systemer i R 2 (MA2 avsnitt 2.7 og 2.8, FMEA 6.6 og 6.7) er pensum. MA2 2.7 og 2.8 stod dessverre ikke på forelesningsplanen, men er forelest. Tilfeller for 2. ordens diffligninger 1 : ẍ + aẋ + bx = 0 er globalt asymptotisk stabil a > 0 & b > 0. Ustabil hvis a < 0 eller hvis b < 0. Hvis b > 0 = a: Udempede svingninger A cos(t b) + B sin(t b). Stabil, men ikke asymptotisk (noen litteratur kaller dette «neutrally stable»). Hvis b = 0 = a: Tilfellet ẍ = 0 har løsning C + Dt, ustabil. Tilfeller for systemer i R 2 : tilsvarende, men se håndskrevet vedlegg. 1 Om noen har en eldre utgave av MA2, så er det en trykkfeil om det følgende versjonen er riktig. 1

2 Siden forelesningsplanen var uklar her (men er klar på at kriteriene for ulineære systemer er med, se nedenfor): fokusér på de tilfellene der vi kan konkludere for ulineære systemer. Terskeltilfellene der vi ikke kan si noe om ulineære, kan V2017 nedprioriteres også for de linære. Spesielt om sadelpunkter: De to partikulærløsningene som konvergerer mot stadelpunktet, følger egenvektoren tilhørende den negative egenverdien. Enkelte lineære systemer i R n : Dersom vi har n lineært uavhengige egenvektorer v (1),..., v (n) med tilhørende egenverdier λ 1,..., λ n, får vi C 1 v (1) e λ1t + + C n v (n) e λnt. (I e.g. eksamen 2008 problem 1 (d) vil det forenkle, men man trenger det ikke, som Eric påpeker i løsningsforslaget.) Ulineære systemer. MA2: som på forelesningsplanen, FMEA: Ikke Theorem Faseplananalyse er pensum. Ambisjonsnivå for eksamen er å «skissere» et faseplan, altså, få ting kvalitativt til å stemme (loddrett/vannrette på tvers av nullkliner, riktige retninger...). Egenverdimetoden for å klassifisere likevektspunkter er pensum. Se vedlegg for oppdeling i tilfeller. Spesielt om sadelpunkter: De to partikulærløsningene som konvergerer mot stadelpunktet, vil i grensen gå som egenvektoren tilhørende den negative egenverdien; mer presist vil stigningstallet konvergere mot stigningstallet til egenvektoren. Ikke pensum: Lyapunov-funksjoner og Olechs setning (MA2 avsnitt 2.12 og en del av FMEA avsnitt 6.8). Det er henvist til Olechs setning i en seminaroppgave, men med beskjed om å klassifisere kun lokalt. Komplekse tall: dere klarer dere uten. Man trenger ingenting til eksamen, men i undervisningen bruker jeg begrepet «realdelen». Realdelen til et reelt tall er tallet selv. Det vi har bruk for i kurset, er når en andregradsligning ikke har reelle løsninger: om formelen gir, si, r = 7 ± 4, vil 7 være realdelen (både når «±» er pluss og når det er minus). Obs. at realdelen i dette tilfellet er stasjonærpunktet for andregradsfunksjonen. For 2x2-matrise A med egenverdier bestemt ved λ 2 λtra + deta = 0 og løsninger λ ± = tra ± ( tra 2 2 )2 deta vil realdelen enten være egenverdien selv, eller hvis ingen reelle egenverdier finnes realdelen er tra. 2 2

3

4

5