Løsningsforslag MAT102 Vår 2018

Transkript

1 Løsningsforslag MAT102 Vår 2018 Universitetet i Bergen Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i emnet MAT102 Tirsdag 12 juni 2018, kl Oppgavesettet har fem oppgaver Hver deloppgave teller likt Du kan velge om du vil skrive besvarelsen digitalt eller for hånd på vedleggsark, eller som en kombinasjon av disse Dersom du skriver på ark, husk å generere kode på den rette oppgaven påføre denne på alle arkene tilhørende den oppgaven Tillatte hjelpemidler: Kalkulator i samsvar med fakultetets regler Lykke til! Emneansvarlig: Morten Brun 1 Oppgave 1 (a) Finn den inverse til matrisen Forklar hvert steg i utregningen Dette kan gjøres ved gausseliminasjon På den utvidede matrisen Trekkes to ganger andre rad fra første rad fås Legges den tredje raden til første rad fås Trekkes to ganger den tredje raden fra den andre raden fås Vi kan nå lese av at den inverse matrisen er (b) 1/9

2 Her er et utdrag fra MATLAB: Bruk dette til å skrive opp den inverse til matrisen Vi leser av at den inverse matrisen er (c) Determinanten til matrisen er Bruk dette til å finne alle egenverdier til matrisen Bemerk at du ikke blir bedt om å regne ut egenvektorer Forklar hvordan du kom frem til svaret Egenverdiene er røttene til det karakteristiske polynom egenverdiene er tallene 1, 2, 3 4 Det vil si at Skriv ditt svar her Maks poeng: 30 2 Oppgave 2 La være matrisen 2/9

3 (a) Sjekk, ved å regne ut at er en egenvektor for Hva er den tilhørende egenverdien? Direkte utregning gir Siden er en egenvektor med tilhørende egenverdi (b) Matrisen har egenvektorer Bruk dette til å finne den generelle løsningen på systemet av differensialligninger: Skriver vi kan systemet av differensialligninger skrives Direkte utregning gir så Fra (a) vet vi at Det vil si at matrisen har egenverdiene Den generelle løsningen til er Her er frie parametre Settes inn tall fås, 3/9

4 (c) Finn den løsningen av systemet av differensialligninger fra b som har startverdier Vi bruker startverdiene til å bestemme parametrene fra (b) Formlene for den generelle løsningen med gir, Vi kan lese av at Da er løsningen, Skriv ditt svar her Maks poeng: 30 3 Oppgave 3 Vi ser i denne oppgaven på ligningen Underveis bruker vi funksjonen (a) Forklar hvorfor denne ligningen både har en løsning i intervallet i intervallet Funksjonen er kontinuerlig med Siden er negativ i venstre endepunkt positiv i høyre endepunkt gir skjæringssetningen at har et nullpunkt i intervallet Tilsvarende for intervallet : (b) Forklar hvorfor funksjonen har et maksimum i intervallet Funksjonen er kontinuerlig så ekstremalverdisetningen gir at har minst et maksimumspunkt på intervallet Siden vet vi fra (a) at der finnes en slik at Dessuten vet vi 4/9

5 fra regningen i svaret til (a) at Derfor kan maksimumspunkt for verken være eller så har et maksimumspunkt i intervallet (c) La være en funksjon slik at Forklar hvorfor den deriverte til funksjonen er ikke-negativ (Du skal altså forklare hvorfor ) Vi deriverer funksjonen får ved bruk av kjerneregelen at Dette tallet er ikke-negativt siden det er kvadratet til et tall (d) Fyll inn det som mangler i nedenstående MATLAB kode til å finne en tilnærmet løsning til differensialligningen ved hjelp av Eulers metode Spesielt trenger du å uttrykke den deriverte funksjonen til på en form som MATLAB kan jobbe med Skriptet gir, hvis du har gjort det riktig, følgende figurer: 5/9

6 Hva forteller det om løsninger til ligningen Det ferdige skriptet kan se ut slik: Det første plottet forteller meg at tallet nærmer seg null når vokser Siden nærmer funksjonen seg null når vokser Det vil si at nærmer seg et nullpunkt for funksjonen når vokser Det andre plottet viser meg nærmer seg tallet når vokser Det vil si at tallet tilnærmelsesvis er null, så tallet er en tilnærmet løsning til ligningen (e) Beskriv Newtons metode til å finne løsninger til ligningen La Newtons metode består i først å velge en startverdi, la være x-koordinaten til punket hvor til tangenten til grafen til gjennom skjærer x-aksen Newtons metode fortsetter nå ved å la være startverdi bruke til å finne et tall på samme måte som vi brukte til å finne I neste steg lar vi være startverdi, vi fortsetter slik inntill vi finner et tall slik at er så nær null som ønsket Skriv ditt svar her 6/9

7 Skriv ditt svar her Maks poeng: 50 4 Oppgave 4 I denne oppgaven ser vi på integralet (a) Tegn en skisse av funksjonen for i intervallet beregn integralet for hånd Grafen til er (begynner først i 3,14) Integralet er (b) Denne kodesnutten bruker trapesmetoden til å finne en tilnærmet verdi til integralet Hva blir verdien til tallet kalt integralverdi i linje 9 når skriptet har kjørt? Listen x kommer til å bli Listen y blir Derfor blir tallet integralverdi null (c) 7/9

8 La Det blir oppgitt at feilen ved trapesmetoden for integralet med delintervaller er avgrenset av Her er Forklar hvorfor for alle, velg Beregn tallet for som i b Beregn så absoluttverdien til forskjellen mellom integralverdiene funnet i a i b ( er altså feilen til integralverdien fra trapesmetoden) Stemmer det at Ja, det er sant at Skriv ditt svar her Maks poeng: 10 5 Oppgave 5 Funksjonen i to variable har som definisjonsmengde de slik at (a) Finn eventuelle stasjonære punkter (kandidater til maksimum minimum) i det indre av definisjonsområdet, altså der Stasjonære punkter er punkter med Vi beregner Stasjonære punkter i det indre av definisjonsområdet er altså punkter med Det vil si det er punkter på formen med, det vil si med (b) Finn eventuelle kandidater til maksimum minimum på randen av definisjonsområdet, altså der, ved Lagranges metode Randen er punktene der for Lagranges metode sier at kandidater til ekstremalpunkter for på kurven er punkter med for et reelt tall Regner vi ut gradienter får vi En liten overveielse gir at hvis, da er Da gir at, så Vi har funnet kandidatene Hvis, da er så fra (a) vet vi at Da gir at, så Vi har funnet kandidatene 8/9

9 Vi konkluderer at kandidater til ekstremalpunkter på randen av definisjonsområdet er (c) Hva er den største den minste funksjonsverdien (i hele definisjonsmengden)? For med er I de resterende kandidater til ekstremalpunkter får vi Største minste funksjonsverdi for i hele definisjonsmengden blir altså -8 8 Skriv ditt svar her Maks poeng: 10 9/9