LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN MA0002, VÅR 09

Transkript

1 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 6 LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN MA000, VÅR 09 Oppgave a) (0%) Løs initialverdiproblemet gitt ved differensialligningen med initialbetingelsen r() = Anta at r > 0 dr = rt + 3rt, Løsning: Ligningen er separabel, med dr = rt + 3rt = r(t + 3t ) Dette gir at vi vil integrere det følgende (venstre side med hensyn til r og høyre side med hensyn til t): som gir r dr = t + 3t, lnr = t + t 3 + C, hvor vi slipper absoluttverditegnet på r siden r > 0 Opphøyd i e får vi da r = e t +t 3 +C = Ce t +t 3 Initalbetingelsen tilsier at dvs at C = e, som gir løsning r() = Ce + 3 = Ce =, r = e et +t 3 b) (0%) Regn ut determinanten til matrisen 3 B = 4 3 3

2 Side av 6 Løsning:Vi benytter regnereglene for determinanter: = = ( ) 3 ( ) = = = 0 + (0 0 + ( ) ) 3 = ( )(3 ) = c) (0%) Finn ligningen til planet i punktet (,,) som er vinkelrett på vektoren Løsning: Dette planet har ligningen (fra formel) 4(x ) (y ) + 7(z ) = 4x 4 y + + 7z 7 = 4x y + 7z 9 = 0, som eventuelt kan skrives om til 4x y + 7z = Oppgave Max Rebo har en sparekonto hos Sparebanken Arkanis Mengden credits i denne kontoen er x(t), hvor t er tiden målt i år Innskuddsrenta på denne kontoen er 6% per år, og Max setter inn 0 credits i måneden på kontoen I tillegg skal banken ha credits i året i gebyrer Du kan gå ut fra at både renter, innskudd og gebyrer settes inn/taes ut kontinuerlig (0%) Finn differensialligningen for x(t), det vil si ligningen for dx Løsning: Vi velger år som tidsenhet Innskuddsrenta, dvs renta, gjør at mengden credits øker med 0, 06x(t) pr år, dvs 6 hundredeler av den mengden credits som står på kontoen I tillegg forsvinner det credits i året i gebyr, og mengden credits øker med 0 = 600 credits i året Dette gir følgende ligning: dx = 0, 06x = 0, 06x + 89

3 Side 3 av 6 Oppgave 3 Vi ser på funksjonen f(x, y) = x 3 4x + y a) (%) Finn gradienten til f, dvs f Løsning: Det er bare å derivere, og gradienten blir b) (%) Finn den retningsderiverte av f i retning 3x 4 y fra punktet (,) Løsning: Vi vet at den retningsderiverte i retning v, hvis v er en vektor av lengde, i punktet (a, b) er f(a, b) v Den oppgitte vektoren har lengde ( ) + = Tilsammen gir dette at den retningsderiverte av f i den gitte retningen er f(, ) = 4 4 = = 4 = c) (0%) Finn globale max og min for f på området begrenset av x + y 4 Løsning: Området vi ser på er en avgrenset av en sirkel om origo med radius Kritiske punkt for f er der f = 0, som er punktene (runder til 3 desimaler) (±, 0) Disse punktene gir verdiene: f(, 0) = 3079 () f(, 0) = 3079 () Dernest må vi undersøke randen til området Dette er punktene slik at x + y = 4, dvs der y = 4 x Dette er lett å substituere inn i den originale ligningen, som gir ny ligning Kritiske punkt til g(x) er der g(x) = x 3 x 4x + 4 g (x) = 3x x 4 = 0 Finner disse x via a, b, c-formelen, som gir x = 0869 eller x = 3 Setter vi disse verdiene tilbake i x + y = 4 så får vi følgende verdier, med tilhørende verdier for f (ligningsverdiene blir like siden y ganges med seg selv): f(3, 8) = f(3, 8) = 0880 (3) f( 0869, 80) = f( 0869, 80) = 606 (4) Siden randen ikke har noen hjørner får vi ingen hjører å undersøke, og fra dette ser vi at punktet i () er globalt minimum og at punktene i (4) er globale maximum

4 Side 4 av 6 3 / Oppgave 4 Vi ser på matrisen A = 3 / a) (0%) Finn egenverdiene til A og tilhørende egenvektorer Løsning:Vi starter med determinantligningen, som blir (3 λ)( 3 / λ) /( ) = λ 3 /λ + / = 0 Denne ligninga har løsninger for x = og x = /, som er egenverdiene Trekker vi egenverdiene og / fra på diagonalen til A får vi matrisene / : mulig egenvektor er / 4 / / : mulig egenvektor er b) (0%) Regn ut A 0 Finn så 40 lim n An 408 Løsning: Vi har at = 4 6 A 0 = A 0 ( 4 Videre så er = lim n An 6, som er en sum av egenvektorer Dette betyr at ) = 0 6 ( 6/ 4 )0 = / Dette gir at 40 = lim A n ( + 00 ) 408 n 4 = lim ( n + ( n 4 /) n 00 = 4 ) Oppgave Vi ser på et system av differensialligninger: dx = (xy y x + ) dy = (xy + y) + x + 0,

5 Side av 6 a) (0%) Tegn et retningsdiagram for systemet av diffligninger, for alle punkter hvor x og y er et heltall, x og y Løsning: (Det følgende retningsdiagrammet har for mange piler, riktig svar skal ha piler, der hvor koordinatene er gitt av heltall, som spesifisert i oppgaveteksten) y 0 x b) (0%) Finn likevektspunktene til systemet, og avgjør om de er stabile eller ustabile Løsning: Likevektspunktene er der de gitte diffligningene er lik 0 Hvis vi ser litt nøyere på koeffisientene til ligningene så finner vi: dx = (xy y x + ) = (x )(y ) (= d ) dy = (xy + y) + x + 0 = (xy + y + x + ) = (x + )(y + ) (= d ), som betyr at systemet har to likevektspunkter (, ) og (, ) Neste steg for å undersøke stabiliteten til disse likevektspunktene er å finne Jacobimatrisa til systemet, som er (y ) (x ) = (y + ) (x + ) d x d x d y d y Setter vi inn for de to likevektspunktene får vi matrisene

6 Side 6 av 6 Vi finner nå stabiliteten ved å se på realdelene av egenverdiene til disse matrisene Den første matrisen har egenverdier -4 og, den andre har egenverdier ±i Dette betyr at ingen av dem har bare negative realdeler (den siste har realdel =0 for begge egenverdiene), og begge likevektspunktene er ustabile