IR Matematikk 1. Eksamen 8. desember 2016 Eksamenstid 4 timer

Transkript

1 Eksamen 8. desember 16 Eksamenstid 4 timer IR151 Matematikk 1 Bokmål Hvis du blir ferdig med oppgavene under del 1 før kl. 11., så kan og bør du starte på del uten bruk av hjelpemidler. Du kan bare bruke tillate hjelpemidler etter kl Ta med all mellomregning som er nødvendig for å grunngi svaret. Del 1. (9.-11.). I denne delen er ingen hjelpemidler tillatt. Oppgave (1%) Regn ut 5 + i 3 i, der i 1. Regn ut AB og BA, og finn A 1 når A 3 og B Oppgave (5%) Finn alle løsningene til likningssystemet ved Gausseliminasjon. x 1 + 3x 4x 3 1 x 3x 3 4 x 1 x + x 3 1 Oppgave (1%) Deriver funksjonene med hensyn på x. f(x) x cos(x) g(x) ln( 5x 4) Oppgave (%) Finn integralene (c) (d) π x 7 x + x 6 dx x + (x + 4) dx x sin(x) dx x 1 + x dx Oppgave (5%) Finn grensa 1 cos(1 x ) lim x 1 x x + 1

2 IR151 Matematikk 1 8. desember 16 Bokmål Del. ( ). I denne delen av eksamen er kalkulator, lærebok og matematisk formelsamling tillatt. Derivasjon og integrasjon skal utføres manuelt og mellomregninger skal føres inn. Differensiallikninger skal løses ved manuell metode. Kalkulatoren kan bare brukes til tallregning og eventuelt til kontroll. Sett kalkulatoren på radianer. Oppgave (1%) Funksjonene y x 3 ( x) og y avgrenser et flatestykke F i første kvadrant. Finn arealet til F. Finn x-koordinaten til tyngdepunktet i flatestykket F. Oppgave (5%) En kurve er gitt ved x y x y 1. Bruk implisitt derivasjon til å finne et uttrykk for y. Oppgave (15%) Løs differensiallikningene y 4y + 5y. y y 3y e x. (c) y + xy x, der y(). Oppgave (5%) Finn P (x), Taylorpolynomet av grad, for f(x) 1 (ex + e x ) med senter i a. Bruk P (x) til å finne en tilnærma verdi av f(.5). Hvilken verdi gir kalkulatoren din for f(.5)? Oppgave (5%) Ei differensiallikning er gitt ved dy dx e y 1 med startbetingelse y() 1. Finn en tilnærmet verdi for y(.) ved Eulers Metode med steglengde h.1. Oppgave (5%) Sett opp integralet for lengden s av kurven y sin(x), x π. Bruk Trapesmetoden til å finne tilnærmingen T 4 til lengden s. Oppgave (5%) En båt kjører ut fra kysten i retning rett mot nord. Det Båt står et fyrtårn 3km øst for punktet på kysten hvor båten la ut ifra. På et tidspunkt observeres det med radar fra fyrtårnet at båten er nøyaktig 5km fra fyrtårnet og at avstanden mellom båten og fyrtårnet øker med 3 meter per sekund. Hvor fort kjører båten på dette tidspunktet? Gi svaret i km per time. Fyrtårn 3km

3 Eksamen 8. desember 16 Eksamenstid 4 timar IR151 Matematikk 1 Nynorsk Om du blir ferdig med oppgåvene under del 1 før kl. 11., så kan og bør du starte på del utan bruk av hjelpemiddel. Du kan berre bruke lovlege hjelpemiddel etter kl Ta med all mellomrekning som er nødvendig for å grunngi svaret. Del 1. (9.-11.). I denne delen er ingen hjelpemiddel lovleg. Oppgåve (1%) Regn ut 5 + i 3 i, der i 1. Rekn ut AB og BA, og finn A 1 når A 3 og B Oppgåve (5%) Finn alle løysingane til likningssystemet ved Gausseliminasjon. x 1 + 3x 4x 3 1 x 3x 3 4 x 1 x + x 3 1 Oppgåve (1%) Deriver funksjonane med omsyn på x. f(x) x cos(x) g(x) ln( 5x 4) Oppgåve (%) Finn integrala (c) (d) π x 7 x + x 6 dx x + (x + 4) dx x sin(x) dx x 1 + x dx Oppgåve (5%) Finn grensa 1 cos(1 x ) lim x 1 x x + 1

4 IR151 Matematikk 1 8. desember 16 Nynorsk Del. ( ). I denne delen av eksamen er kalkulator, lærebok og matematisk formelsamling lovleg. Derivasjon og integrasjon skal utførast manuelt og mellomrekningar skal førast inn. Differensiallikningar skal løysast ved manuell metode. Kalkulatoren kan berre brukast til talrekning og eventuelt til kontroll. Sett kalkulatoren på radianar. Oppgåve (1%) Funksjonane y x 3 ( x) og y avgrensar eit flatestykke F i første kvadrant. Finn arealet til F. Finn x-koordinaten til tyngdepunktet i flatestykket F. Oppgåve (5%) Ei kurve er gitt ved x y x y 1. Bruk implisitt derivasjon til å finne eit uttrykk for y. Oppgåve (15%) Løys differensiallikningane y 4y + 5y. y y 3y e x. (c) y + xy x, der y(). Oppgåve (5%) Finn P (x), Taylorpolynomet av grad, for f(x) 1 (ex + e x ) med senter i a. Bruk P (x) til å finne ein tilnærma verdi av f(.5). Kva for verdi gir kalkulatoren din for f(.5)? Oppgåve (5%) Ei differensiallikning er gitt ved dy dx e y 1 med startvilkår y() 1. Finn ein tilnærma verdi for y(.) ved Eulers Metode med steglengd h.1. Oppgåve (5%) Sett opp integralet for lengda s av kurva y sin(x), x π. Bruk Trapesmetoden til å finne tilnærminga T 4 til lengda s. Oppgåve (5%) Ein båt køyrer ut frå kysten rett nordover. Det står eit Båt fyrtårn 3km aust om punktet på kysten der båten la ut ifrå. På eit tidspunkt observerast det med radar frå fyrtårnet at båten er nøyaktig 5km frå fyrtårnet og at avstanden mellom båten og fyrtårnet aukar med 3 meter per sekund. Kor fort køyrer båten på dette tidspunktet? Gje svaret i km per time. Fyrtårn 3km

5 Eksamen 8. desember 16 IR151 Matematikk 1 Løsningsforslag Del 1. (9.-11.). Oppgave (1%) Regn ut 5 + i 3 i, der i 1. Regn ut AB og BA, og finn A 1 når A Løsning. Regner 3 og B i (5 + i)(3 + i) 3 i (3 i)(3 + i) 15 + i + 3i + 1i i i 9 4i 1 + i Regner og AB BA Utregninga over betyr at A B Oppgave (5%) Finn alle løsningene til likningssystemet ved Gausseliminasjon. x 1 + 3x 4x 3 1 x 3x 3 4 x 1 x + x 3 1 Løsning. Setter opp matrise og bruker Gauss-eliminasjon (radreduksjon) R1 R R3R3+R R3R3 R Fra dette kan vi lese av at x 3 1, x 4 + 3x , og x x x ( 1) 3. Altså x 1 3, x 1 og x 3 1 er den eneste løsningen. Oppgave (1%) Deriver funksjonene med hensyn på x. f(x) x cos(x) g(x) ln( 5x 4)

6 IR151 Matematikk 1 8. desember 16 Løsningsforslag Løsning. Produktregelen: f (x) x cos(x) x sin(x). Skriver først om g(x) ln( 5x 4) 1 ln(5x 4). Bruker så kjerneregelen: g (x) 1 1 5x 4 1x 5x 5x 4. Alternativt: Hvis vi ikke skriver om blir det bare litt mer kronglete utregning: g (x) 1 5x 4 1 5x 4 1x 5x 5x 4. Oppgave (%) Finn integralene (c) (d) π x 7 x + x 6 dx x + (x + 4) dx x sin(x) dx x 1 + x dx Løsning.. Delbrøk. abc-formelen gir at x + x 6 (x )(x + 3) så x 7 x + x 6 A x + B x + 3 A(x + 3) + B(x ). (x )(x + 3) Likning x 7 Ax + 3A + Bx B. x-ledd: 1 A + B og k-ledd: 7 3A B. Legger to ganger første likning til den andre og får 7 + 3A + A + B B, altså 5 5A så A 1. Det gir B 1 A. Integrerer x 7 x + x 6 dx 1 x dx + dx ln x + ln x C. x + 3. Her kan vi bruke delbrøk eller rett og slett substituere u x + 4 slik at du dx og x + x + 4 u : x + u 1 (x + 4) dx u du u u du ln u + + C ln x u x C.

7 IR151 Matematikk 1 8. desember 16 Løsningsforslag (c). Delvis integrasjon. Delvis integrasjon ved tabell. Fortegn i første kolonne, deriverer andre og integrerer tredje. + x sin(x) x cos(x) + sin(x) cos(x) Ganger nedover langs diagonalene og får π x sin(x) dx [ ] π x cos(x) + x sin(x) + cos(x) π cos(π) + π sin(π) + cos(π) + cos() sin() cos() π 4 siden cos(π) 1, sin(π) og cos() 1. (d). Det enkleste er kanskje substitusjon u 1 + x slik at du dx og x u 1: x 1 + x dx (u 1)u 1/ du u 3/ u 1/ du 5 u5/ 3 u3/ + C 5 (1 + x)5/ 3 (1 + x)3/ + C Alternativt: Delvis integrasjon med u x og v 1 + x: som gir + x (1 + x) 1/ 1 3 (1 + x)3/ (1 + x)5/ x 1 + x dx 3 x(1 + x)3/ 4 15 (1 + x)5/ + C. som faktisk er samme svar selv om det ikke er helt åpenbart. Oppgave (5%) Finn grensa 1 cos(1 x ) lim x 1 x x + 1 Løsning. Siden cos(1 1 ) 1 og sin(1 1 ) kan vi bruke l Hospital: 1 cos(1 x [ ) H x sin(1 x lim x 1 x lim x + 1 ] [ ) x 1 x ] H cos(1 x )( x) sin(1 x ) lim 1( ) 4 x 1. Del. ( ). Oppgave (1%) Funksjonene y x 3 ( x) og y avgrenser et flatestykke F i første kvadrant. Finn arealet til F. Finn x-koordinaten til tyngdepunktet i flatestykket F.

8 IR151 Matematikk 1 8. desember 16 Løsningsforslag Løsning.. Grafene krysser hverandre når x og når x. Regner areal A. Trenger moment: M x [ x 3 ( x) dx 4 x4 1 ] ( 1 5 x ) 5 x(x 3 ( x)) dx Fra har vi m A 8/5. Dette gir [ x 4 x 5 dx 5 x5 1 ] ( 1 6 x ) 6 x M x m 3/15 8/ Oppgave (5%) En kurve er gitt ved x y x y 1. Bruk implisitt derivasjon til å finne et uttrykk for y. Løsning. Deriverer begge sider med hensyn på x: som gir Da blir (y x )y 1 + xy slik at d dx (x) d dx (y x y 1) 1 yy xy x y +. y 1 + xy y x. Oppgave (15%) Løs differensiallikningene y 4y + 5y. y y 3y e x. (c) y + xy x, der y(). Løsning.. Andre orden lineær diff.likn. Karakteristisk likning r 4r + 5 som har løsninger r 4 ± 16 4(5) 4 ± 4 4 ± i ± i. Tilfelle III løsning (k og ω 1) y(x) Ae x sin(x) + Be x cos(x).. Andre orden lineær diff.likn. som er inhomogen. Karakteristisk likning r r 3 som fra abc-formelen har løsninger r ± 4 4 ( 3) ± 16 ± 4 1 ± { 1 3

9 IR151 Matematikk 1 8. desember 16 Løsningsforslag Homogen løsninga av likninga er Tilfelle I løsning y h (x) Ae x + Be 3x Høyre side i likning er f(x) e x. Gjetter y p (x) Ce x. Det gir y p(x) Ce x og y p(x) 4Ce x. Setter inn i likning y p y p 3y p 4Ce x Cxe x 3 Ce x 3Ce x f(x) e x. Vi må ha C 1/3 så y p (x) 1 3 ex. Tilsammen gir dette løsningen y(x) y h (x) + y p (x) Ae x + Be 3x 1 3 ex. (c). Lineær likning med p(x) x og q(x) x. Det gir integrerende faktor Løsning blir y(x) 1 e x / F (x) e xdx e x /. xe x / dx e x / xe x / dx Integralet her løser vi med substitusjonen u x / så du xdx: xe x / dx e u du e u + C e x / + C som satt inn i y(x) gir y(x) e x / (e x / + C) 1 + Ce x /. Skulle ha y() 1 + Ce 1 + C så C 1. Løsning: y(x) 1 + e x /. Oppgave (5%) Finn P (x), Taylorpolynomet av grad, for f(x) 1 (ex + e x ) med senter i a. Bruk P (x) til å finne en tilnærma verdi av f(.5). Hvilken verdi gir kalkulatoren din for f(.5)? Løsning. Deriverer f(x) 1 (ex + e x ) f (x) 1 (ex e x ) f (x) 1 (ex + e x ). Setter inn a x (og bruker e 1): f() 1, f (), f () 1. Dette kan vi nå plugge inn i formelen for P (x): Kan nå finne P (x) f() + f ()(x ) + f () (x ) 1 + 1! x. f(.5) P (.5) (.5) Kalkulatoren gir f(.5) cosh(.5)

10 IR151 Matematikk 1 8. desember 16 Løsningsforslag Oppgave (5%) Ei differensiallikning er gitt ved dy dx e y 1 med startbetingelse y() 1. Finn en tilnærmet verdi for y(.) ved Eulers Metode med steglengde h.1. Løsning. Euler s metode. Oppgitt x, y 1, f(x, y) e y 1 og h.1. x n y n f(x n, y n ) y n+1 y n + hf(x n, y n ) 1 e (.63) e (.68) Vi får y(.).876. Oppgave (5%) Sett opp integralet for lengden s av kurven y sin(x), x π. Bruk Trapesmetoden til å finne tilnærmingen T 4 til lengden s. Løsning. Bruker ds 1 + (y ) dx med y cos(x) gir det π s 1 + cos (x) dx. Intervallet [, π] delt i fire biter gir punktene x, x 1 π/4, x π/, x 3 3π/4 og x 4 π. Lager tabell over tilhørende y-verdier for f(x) 1 + cos (x). x n π/4 π/ 3π/4 π y n 3/ 1 3/ Eller med tilnærma verdier avrunda til tre tellende siffer: x n y n Trapesmetoden med h (π )/4.785 gir ( 1 T 4 h y + y 1 + y + y ) y ( ).785 ( ) ( Eksaktverdiene over gir T 4 π ) / 3.8. PC-en sier at s Oppgave (5%) En båt kjører ut fra kysten i retning rett mot nord. Det Båt står et fyrtårn 3km øst for punktet på kysten hvor båten la ut ifra. På et tidspunkt observeres det med radar fra fyrtårnet at båten er nøyaktig 5km fra fyrtårnet og at avstanden mellom båten og fyrtårnet øker med 3 meter per sekund. Hvor fort kjører båten på dette tidspunktet? Gi svaret i km per time. Fyrtårn 3km

11 IR151 Matematikk 1 8. desember 16 Løsningsforslag Løsning. La x være avstanden fra kysten til båten (den prikka linja i tegningen). La L være avstanden fra fyrtårnet til båten. Pytagoras sier at x + 3 L. Det er oppgitt av dl dx dt 3 m/s i det L 5 km. Vi er bedt om å finne dt (båten går rett nordover). Endring av enheten fra m/s til km/t er: km m s t km t. Hvis vi deriverer begge sider av x + 3 L med hensyn på t får vi fra kjerneregelen: x dx dt + LdL dt Når L 5 er x 5 3 (5 9)1 16 så x 4 km. Vi får som når L 5 gir dx dt L5 5 km 4 km dx dt L x dl dt dl dt L dl x dt km/t 13.5 km/t. L5 4