Eksamen R2, Høst 2012

Transkript

1 Eksamen R, Høst 01 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 ( poeng) Deriver funksjonene a) x cos f x e x b) 3 g x 5 1 sinx Oppgave ( poeng) Bestem integralene a) 3 e 1 cos x 1sinx dx b) x lnxdx Oppgave 3 (4 poeng) Vi har gitt punktene A1, 1, 1, B, 1, 5 og C 3, 7, 3. a) Undersøk om ABC er rettvinklet. b) Bestem koordinatene til et punkt D slik at ABCD blir et parallellogram. Oppgave 4 (4 poeng) Vi har gitt differensiallikningen y y 0 der y er en funksjon av x x x a) Vis at y C1e Ce er en løsning av differensiallikningen, når C1 og C er konstanter. b) Bestem C C y y og når 0 5 og Eksamen REA304 Matematikk R høst 01 Side 1 av 7

2 Oppgave 5 ( poeng) Vi har gitt den uendelige rekken Forklar at rekken konvergerer, og bestem summen av rekken. Oppgave 6 ( poeng) En periodisk funksjon f er gitt på formen sin f x a cx d Grafen til f går gjennom punktet A 0, 5. Den har bunnpunkt i B 3, og toppunkt i T Det er ingen andre ekstremalpunkter i intervallet 3, 5. 5, 8. Bestem verdier for konstantene a, c, og d. Oppgave 7 (3 poeng) Vi har gitt funksjonen x f x x e a) Bestem eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til f. b) Tegn en skisse av grafen til f. Oppgave 8 (3 poeng) Bevis påstanden ved induksjon 1n 5 n n Pn: nn 3, n 3 Eksamen REA304 Matematikk R høst 01 Side av 7

3 Tid: 3 timer Hjelpemidler: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Oppgave 1 (7 poeng) En funksjon er gitt ved x 8 sin f x e x a) Tegn grafen til f, og bestem eventuelle null-, topp-, bunn- og vendepunkter når x 0,. I en formelsamling for matematikk finner vi formelen b) Bruk formelen til å bestemme f x dx Kontroller svaret ved derivasjon. c) Bestem det samlede arealet av områdene som er avgrenset av x aksen og grafen til f når x 0,. Eksamen REA304 Matematikk R høst 01 Side 3 av 7

4 Oppgave (6 poeng) Farten v til en sprinter måles i meter per sekund og er en funksjon av tiden t. Tiden t er målt i sekunder etter start. Farten v er en løsning av differensiallikningen v 1,0 1,15 v a) Løs differensiallikningen og bestem vt når du får vite at v0 0. b) Strekningen s måles i meter og er definert ved s v og s 0 0 Bestem en formel for st. c) Hvor lang tid vil sprinteren bruke på 100 m, ifølge modellen ovenfor? Eksamen REA304 Matematikk R høst 01 Side 4 av 7

5 Oppgave 3 (8 poeng) Gitt vektorene a, b og c. Ingen av vektorene er 0. a) Forklar hvordan vektorene ligger i forhold til hverandre 1) når ab 0 ) når ab 0 3) når abc 0 b) Bruk definisjonen av ab og a b til å vise ab ab = a b c) Skisse 1 viser en trekant utspent av vektorene a og b. Forklar at arealet F av trekanten er 1 F a b a b Kommenter hvert av de to tilfellene ab 0 og ab 0. d) Bruk uttrykket i oppgave c) til å regne ut arealet av ABC i skisse. Eksamen REA304 Matematikk R høst 01 Side 5 av 7

6 Oppgave 4 (4 poeng) Vi har gitt rekken 13 5 n 1 a) Bestem et uttrykk for summen S n av de n første leddene, og bestem hvor mange ledd vi må ta med for at S n skal bli En uendelig rekke er gitt ved b) Forklar at dette er en konvergent, geometrisk rekke. Bestem summen av rekken. Oppgave 5 (4 poeng) En såkalt ellipse med sentrum i origo O er gitt ved likningen x y a b 1 Hvis vi dreier øvre halvdel av ellipsen 360 om x aksen, får vi et omdreiningslegeme som vi kaller en ellipsoide. a) Vis at likningen for ellipsen kan omformes til y bx b a b) Bruk integrasjon for å vise at formelen for volumet av ellipsoiden er 4 3 ab Eksamen REA304 Matematikk R høst 01 Side 6 av 7

7 Oppgave 6 (6 poeng) Skissen ovenfor viser grafen til funksjonene f gitt ved x f x På skissen er det også tegnet inn tangenten til grafen i punktet P a, f a. a) Vis at likningen til tangenten er 1 a 4 y x a a Bestem koordinatene til punktene A, B og C på figuren. b) Vis at arealet av området som er avgrenset av grafen til f og x aksen fra Btil C er 3 3 a Bestem også arealet av ACP c) Grafen til f deler ACP i to områder. Vis at arealet til det ene området er dobbelt så stort som arealet til det andre. Eksamen REA304 Matematikk R høst 01 Side 7 av 7