Eksamen i TMA4122 Matematikk 4M

Transkript

1 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 6 Faglig kontakt under eksamen: Yura Lyubarskii: mobil Anne Kværnø: mobil Eksamen i TMA422 Matematikk 4M Bokmål Mandag 20. desember 200 Tid: Hjelpemidler (kode C: Enkel kalkulator (Hewlett Packard HP30S eller Citizen SR-270X Rottmann: Matematiske formelsamling Alle svar skal begrunnes og det skal gå klart frem hvordan svarene er oppnådd. Oppgave datasettet Finn polynomet av lavest mulig grad som interpolerer punktene i x i 0 2 f(x i Oppgave 2 La en 2π-periodisk funksjon f bli gitt ved f(x = e x, π < x < π. a Skisser grafen til den 2π periodiske utvidelsen til f, og finn dens komplekse Fourierrekke. b Finn summen av rekkene n=2 ( n + n 2 og n=2 + n 2.

2 Side 2 av 6 Oppgave 3 Løs integralligningen f(x e 4 x t f(tdt = e x, < x <. Oppgave 4 a Gitt ligningen u t = 2 u + 2u, 0 < x < π, t > 0, x2 finn alle løsninger på formen u(x, t = X(x T (t som tilfredstiller randbetingelsene u x (0, t = 0, u x (π, t = 0. b Finn den løsningen av problemet i punkt a som i tillegg tilfredstiller startbetingelsen u(x, 0 = (cos x + 2, 0 < x < π. Oppgave 5 Gitt et system av første ordens differensialligninger y = f(x, y, y(x 0 = y 0. Vi har sett på flere mulige måter å løse slike ligninger numerisk, i denne oppgaven velger vi «trapes-metoden», gitt ved y n+ = y n + h 2 [ f(xn, y n + f(x n+, y n+ ] ( der h er skrittlengden og x n+ = x n + h. Vi antar at y n er kjent, og ( brukes til finne en tilnærmelse til y n+. Metoden er implisitt, siden funksjonen f også beregnes i den ukjente løsningen y n+. Vi ender altså med et ikke-lineært ligningssystem som må løses med hensyn på y n+ for hvert skritt. La y = y(x være funksjonen som tilfredstiller den andre ordens differensialligningen y = sin y, med startbetingelser y(0 = π/2, y (0 = 0. Skriv om ligningen til et system av første ordens differensialligninger. Hva blir startverdiene for dette systemet? Sett h = 0. og sett opp det ikke-lineære ligningssystemet du får når du ønsker utføre det første skrittet med trapesmetoden for dette systemet.

3 Side 3 av 6 Oppgave 6 Gjør en iterasjon med Newtons metode på ligningssystemet 20x x 2 0π = 0, sin x 20x 2 + = 0. Bruk x (0 = π/2 og x (0 2 = 0 som startverdier for iterasjonene. Oppgave 7 Gitt den partielle differensialligningen u t = κu xx + x( x, (t > 0, 0 < x <, u(0, t = u(, t = 0, (t > 0, u(x, 0 = sin(πx, (0 < x <. Bruk et gitter bestående av punktene t j = jk og x i = ih, h = /N, og sett opp et eksplisitt differanseskjema for denne ligningen, det vil si, bruk en sentraldifferanse for å approksimere u xx og en foroverdifferanse for å approksimere u t. La κ = 0.. Sett h = 0.25 og k = 0.2, og finn tilnærmelser til u(0.25, 0.2, u(0.5, 0.2 og u(0.75, 0.2. Oppgave 8 Gitt et integral på formen I = b a f(xdx. Følgende MATLAB-funksjon beregner en numerisk tilnærmelse Q til dette integralet: function Q = metode(a,b,f,m h = (b-a/(2*m; x = [a:h:b]; y = f(x; s0 = y(+y(2*m+; s = sum(y(2:2:2*m; s2 = sum(y(3:2:2*m-; Q = h*(s0+4*s+2*s2/3; a Hvilken metode er implementert her?

4 Side 4 av 6 b Anta at du utfører følgende kommandoer i MATLAB: >> f exp(x.^2; >> Q = metode(0,,f,2 Hva blir Q? Du får nå oppgitt at Q2 = metode(0,,f,4 resulterer i Q2 = Bruk Q, Q2 og hintet under til å finne et estimat (tilnærmelse for feilen i Q2. Hint: For et gitt integral I vil feilen i tilnærmelsen Q gå som I Q C/m 4, C er en konstant.

5 Side 5 av 6 Formler i numerikk La p(x være et polynom av grad n som interpolerer f(x i punktene x i, i = 0,,..., n. Forutsatt at x og alle nodene ligger i intervallet [a, b], så gjelder f(x p(x = (n +! f (n+ (ξ n (x x i. Newtons dividerte differansers interpolasjonspolynom p(x av grad n: p(x = f[x 0 ] + (x x 0 f[x 0, x ] + (x x 0 (x x f[x 0, x, x 2 ] Numerisk derivasjon: i=0 + + (x x 0 (x x... (x x n f[x 0,..., x n ] f (x = [ ] f(x + h f(x + h 2 hf (ξ f (x = [ ] f(x + h f(x h 2h 6 h2 f (ξ f (x = [ ] f(x + h 2f(x + f(x h h 2 2 h2 f (4 (ξ Simpsons integrasjonsformel: x2 x 0 f(x dx h 3 (f 0 + 4f + f 2 Newtons metode for ligningssystemet f(x = 0 er gitt ved J (k x (k = f ( x (k x (k+ = x (k + x (k. Iterative teknikker for løsning av et lineært ligningssystem n a ij x j = b i, i =, 2,..., n Jacobi: Gauss Seidel: j= x (k+ i = a ii x (k+ i = ( a ii ( b i i j= b i i Heuns metode for løsning av y = f(x, y: k = hf(x n, y n j= a ij x (k j n k 2 = hf(x n + h, y n + k y n+ = y n + 2 (k + k 2 j=i+ a ij x (k+ j n j=i+ a ij x (k j a ij x (k j

6 Powered by TCPDF ( Side 6 av 6 Tabell over noen Laplace-transformer f(t F (s = L {f(t} = t t n n! (n = 0,, 2,... s n+ e at s a s cos ωt s 2 + ω 2 sin ωt cosh at sinh at e at cos ωt e at sin ωt s s 2 0 ω s 2 + ω 2 s s 2 a 2 a s 2 a 2 s a (s a 2 + ω 2 ω (s a 2 + ω 2 e st f(t dt Tabell over noen Fourier-transformer f(x g(x = f(ax u(x u(x a ˆf(w = F(f = 2π ĝ(w = a ˆf 2π ( sin aw w ( w a f(xe iwx dx i cos aw w u(xe x 2π ( + w 2 i w + w 2 e ax2 e w2 4a 2a 2 a e a x π w 2 + a 2