Eksempelsett R2, 2008

Transkript

1 Eksempelsett R, 008 Del Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave a) Deriver funksjonen f x x cosx f x cosx x s x f x cosx 6x sinx in 4x b) Deriver funksjonen f x e x f x e e 4x 4x f x 4e e 4 4x 4 f x x 4x x c) Gitt funksjonen ) Ligger grafen over eller under x-aksen når x? f 4 f 0 Grafen ligger under x-aksen når x. ) Stiger eller synker grafen når x? f x x 8x f 8 f 5 f 0 Grafen synker når x.

2 ) Øker eller minker den momentane veksthastigheten når x? Vi finner veksten til den deriverte når x f x 4x 8 f 48 4 f 0 Den momentane veksthastigheten avtar når x. d) Finn summen av den uendelige rekka: 9 0,9 0,09 0,009 Dette er en geometrisk rekke med k 0,. Siden k, Summen av rekken er da, er rekken konvergent. a 9 9 S 0 k 0, 0,9 e) Bestem integralet 4 x dx Her må vi bruke delbrøksoppspaltning. (Hvis vi hadde hatt x i. grad i nevneren, kunne vi brukt variabelskifte.) x x x x 4 A B A B A B x A B x x x x x x A B 0 A B 4 AB BB4 B A Det betyr at 4 dx dx dx x x x dx dx x x ln x ln x C x ln x C

3 f) Funksjonen f x 4 er gitt. x ) Vis at likningen for tangenten i punktet 4, 4 4 f x x 4 f f x 4 x x x x f f er gitt ved y x8. Likningen for tangenten i punktet 4, f 4 blir y y a x x y f f x y x 4 y x 6 y x 8

4 ) Bestem arealet av det området som er avgrenset av grafen til f, tangenten i 4, f 4 og linja x. Vi lager en skisse og finner arealet av området som er markert med blått A 4 f x dx x dx x 8 dx 4 48 x x 8x y dx 4

5 g) Gitt punktene A,,, B,,, C,,. Finn BAC. ABAC AB AC cos AB, AC AB AC,,,0, cosbac AB AC,,,0, BAC 45 cos 0 når 0 4 h) Løs differensiallikningen y x y y y cos x y 0 ln y y e e y cos x y dy cos x y dx dy cos x dx y ln y C sinx C ln y sinx C C C C e y Ce 4 Ce C 4 e sinxc sinx y e e C sinx C sinx y C e C e sin0 0 C y 4 sinx e

6 i) En rekke er gitt ved at a og an an n der n N ) Skriv opp de 5 første leddene i rekken. a a a 5 a a 5 9 a a a a ) Bruk induksjon til å bevise at det generelle leddet er a Trinn, Induksjonsgrunnlaget Vi skal vise at formelen gjelder for n. Bevis n n n Venstre side a 4 Høyre side Formelen gjelder for n. Trinn, Induksjonstrinnet Vi antar at formelen gjelder for n t. Det betyr at t t at Vi må vise at formelen gjelder for nt. Vi må altså vise at t t t t 4 t 5t4 at

7 Bevis a t a t t tt t t t t t t 4 t 5t4 t Vi har dermed vist at formelen gjelder for nt. I følge induksjonsprinsippet gjelder formelen da for alle verdier av n. I Del av eksamen kan du få bruk for eksaktverdier til noen vinkler:

8 Del Tid: timer Hjelpemidler: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Oppgave Gitt funksjonen f x sin x der x, a) Tegn grafen til f, og finn nullpunktene til funksjonen. Vi tegner grafen til f i GeoGebra ved å bruke kommandoen Funksjon [Funksjonsuttrykk, Startverdi for x, Sluttverdi for x ] og finner nullpunktene som skjæringspunktene mellom grafen og x - aksen ved å bruke kommandoen Skjæring mellom to objekter Funksjonen f har nullpunkt i 0,0 og i,0. (Se koordinatsystemet ovenfor.) Vi kan også finne dette ved regning, ved å løse likningen fx 0. f x 0 x sin 0 sinx 0 x 0 x Funksjonen f har nullpunkt i 0,0 og i 0,.

9 b) Tegn fortegnslinja til f x grafen til f. og bruk den til å finne eventuelle topp-, bunn- og terassepunkter på Vi tegner først grafen til den deriverte i GeoGebra Fortegnslinjen blir da slik x - verdier 0 f x Av fortegnslinjen ser vi at grafen til f har toppunkt når når x og terrassepunkter når x 0 og når x. x, bunnpunkter når x og

10 Toppunkt, f, sin,, Bunnpunkter, f, sin,,, f, sin,, Terrassepunkter 0, f 0 0, sin 0 0, 0 0, 0 f,, sin, 0, 0 f x dx a cos x bcos x c, der a, b og c er konstanter. Det kan vises at c) Vis at a og b. Vi setter Vi skal vise at cos g x a x bcos x c gx f x når a og b Vi finner først g x g x a cos x sinx bsinx a sinx cos x bsinx cos x sinx a sinx sinx bsin x a sinx a sinx bsinx a sinx a b sinx sinx f x

11 g x f x a sinx a b sinx sinx Det må bety at a a b 0 a b d) Bruk c) til å bestemme arealet som er avgrenset av grafen til f og som ligger over x-aksen. Grafen ligger over x - aksen mellom x0 og x. (Se a).) Fra oppgave c) har vi gitt det ubestemte integralet til f. cos f x dx x cos x c Arealet 0 f x dx cos x cos x c cos x cos x 0 cos cos cos 0 cos 0 4 0

12 Oppgave I et koordinatsystem har vi punktene O 0,0,0, A,0,0, B 0,4,0 og C 0,0,5. a) Finn avstanden fra A til B. AB 0, 0 4, 0 0,4,0 AB,4, b) Finn AB AC, og bruk svaret til å finne volumet av tetraederet OABC. AB AC ex ey ez,4,0,0, , 5, 4 0,5, 0 5 Volumet blir AB AC OA 0,5,,0, En arealsetning oppkalt etter Pytagoras sier at: F F F F ABC AOC BOC OAB Her betyr F arealet av trekanten ABC. Tilsvarende gjelder for leddene på høyre side. ABC c) Regn ut de fire arealene, og kontroller at arealsetningen stemmer i dette tilfellet. F ABC AB AC 0,5, 0 5 F ABC

13 OA,0,0 OC 0,0,5 5 OB 0, 4,0 4 Siden punktene A, B og C ligger på koordinataksene, er rettvinklede trekanter og vi regner ut arealene slik AOC, BOC og OAB 5 F AOC OA OC 5 F BOC OB OC F OAB OA OB AOC BOC OAB F F F F F F F ABC AOC BOC OAB Arealsetningen stemmer i dette tilfellet.

14 Planet går gjennom punktene A, B og C. d) Bestem likningen til planet. AB AC 0,5, er en normalvektor for planet. Vi bruker i tillegg at punktet A,0,0 ligger i planet. En likning for planet blir dermed 0 x 5 y 0 z 0 0 0x 5y z 60 Likning 0x 5y z 60 Et annet plan er gitt ved : x y z 5 e) Finn vinkelen mellom planene og. Vinklene mellom planene er gitt ved vinkelen mellom normalvektoren til planene. Normalvektoren til planet er 0,5,. Normalvektoren til planet er,,. Vi bruker wxmaxima og finner vinkelen mellom disse vektorene, 6,4 Vi lar nå punktet C få koordinatene 0,0,t. Vi antar at t 0. f) Forklar at likningen til planet da kan skrives på formen x y z : 4 t ex ey ez Normalvektoren blir AB AC,4,0,0, t t, t, Punktet A,0,0 ligger i planet. 0 t

15 En likning for planet kan da skrives som 4t x t y 0 z 0 0 4tx t ty z 0 4tx t ty z t t t t 0 x y z 4 t g) Finn likningen for det planet som nærmer seg til når t. Hva kan du si om dette planet? x y Når t, nærmer likningen seg 4 En normalvektor til dette planet er n,,0 4. Planet vil da være parallelt med z -aksen som har retningsvektor 0,0, Planet står da vinkelrett på xy -planet. rz fordi nr z 0.

16 Oppgave 4 Alternativ I Newtons. lov sier at F m a, der F er summen av kreftene som virker på en gjenstand med masse m og akselerasjon a. Vi minner om at akselerasjonen er den deriverte av farten med hensyn på tiden. Newtons. lov kan for eksempel brukes til å beskrive og studere fallskjermhopp. En fallskjermhopper med fallskjermen har til sammen massen m. La vt være farten til hopperen ved tiden t etter uthoppet. Hoppingen skjer fra et utoverhengende fjell, slik at vi kan anta at v 0 0. Det er to krefter som virker på hopperen: tyngdekraften mg og luftmotstanden som er k vt når fallskjermen er lukket. Her er k en konstant og g er tyngdeakselerasjonen. Alle størrelsene har benevning i SI-systemet, det vil si at masse måles i kg, tid måles i sekunder og strekning måles i meter. a) Vis at Newtons. lov kan omformes til følgende differensiallikning: k v t v t g m Vi velger positiv retning nedover. Newtons andre lov gir F ma ma mg k v t mv t mg k v t kv t vt g m k vt v t g m

17 Vi setter m 80, g 0 og k 6. 0, b) Vis at vt e t er en løsning av differensiallikningen i a). Vi setter inn m 80, g 0 og k 6 i differensiallikningen i a og får k vt v t g m 6 vt v t 0 80 v t 0,v t 0 v 0,v0 ve 0,v e 0e 0,t 0,t 0,t v e 0e v 0 0 0,0 50 Ce 0 0,t 0,t 0,t 0,t v e 0 e dt 0 0, 0,t 0,t v e e C 0,t 0,t v e 50e C C 50 v 50 Ce 0,t Vi får da 0, 50 50e v t t c) Finn farten og akselerasjonen til hopperen når t 4. v e 7,5 0, 4 Etter 4 sekunder er farten 7,5 m/s a v 4 0e 4,5 Etter 4 sekunder er akselerasjonen 4,5 m/s

18 Etter 5 sekunder drar hopperen i snora og utløser fallskjermen. Vi regner med at luftmotstanden nå blir k v t. Vi setter g k 0 og 8. d) Bruk Newtons. lov til å sette opp en differensiallikning for situasjonen når fallskjermen er åpnet. Newtons andre lov gir F ma v t 0,v t 0 ma mg k v t mv t mg k v t kv t vt g m k vt v t g m 8 vt v t 0 80 En differensiallikning for situasjonen er v t 0,v t 0 e) Differensiallikningen i d) er separabel. Vi setter v i stedet for vt. Vis at vi kan skrive differensiallikningen som: 0 0 dv 0 v 0 v dt v 0,v 0 v 0 0,v 0v 00 v 0 dv v v dt 0v 0 v 0 v Vi bruker delbrøkoppspalting på uttrykket 0 v 0 v 0

19 0 A B 0 v 0 v 0 v 0 v 0 v0 v 0 v0 v 0 A 0 v B 0 v 0 v 0 v 0 v 0 v 0 v 0 v 0 0A va 0B vb Vi finner A og B Vi setter inn og får 0 A B 0 va vb 0 0 A B 0 va vb A B AA A B 0 dv v v dt 0 0 A B dv 0 v 0 v dt dv 0 v 0 v dt dv 0 v 0 v dt

20 f) Finn et uttrykk for v ved å løse differensiallikningen i e). dv 0 v 0 v dt dv 0 v 0 v 0v ln 0v dt dv dv dt 0 v 0 v ln 0 v ln 0 v C t C ln 0 v ln 0 v t C C C C 0 v ln t C 0 v e 0 0 v 0 0 v e tc t 0v Ce 0 v v t C e e v t C e C C e t t 0 t 0Ce v t Ce t t t t 0 v 0Ce Ce v v Ce v 0Ce 0 v Ce Ce

21 Oppgave 4 Alternativ II Vi har gitt differensiallikningen x y y 0 der x og x x a) ) Vis at er en løsning når x,. y C x Vi bruker wxmaxima og får løsningen Siden x, er x 0 og vi må vi her huske å sette ln x. Vi har altså at ln x ln x ln x y Ce Ce Ce C x C x

22 Vi kunne også løst denne likningen uten digitale verktøy, som separabel x y y 0 x x y y x dy x y dx x x dy dx y x ln y C x du u x ln y C ln u C ln y C ln x C ln y lnx y e e ln x C C ln y ln x C x, C C C e e C y C x C e Integrasjon med variabelskifte u x du x dx du dx x ) Skisser grafene til y for C og for C. Vi bruker GeoGebra og tegner grafene til de to funksjonene y y x x

23 ) Velg andre verdier for C og skisser grafene til y. Kommenter. Vi bruker GeoGebra og tegner grafene til y for C 4,,,,, og 4. Grafene skjærer andreaksen i C - verdien som settes inn i uttrykket. Når C - verdien er positiv, ligger buen over x-aksen og krummer nedover. Når C - verdien er negativ, ligger buen under x-aksen og krummer oppover.

24 b) ) Vis at er en løsning når x,,. y C x Vi bruker wxmaxima og får løsningen Siden x,, vil x 0 og vi trenger ikke sette ln x. Vi har altså at ln x ln x ln x y Ce Ce Ce C x C x (Vi kunne også løst denne likningen som separabel som vist ovenfor.)

25 ) Velg ulike verdier for C og skisser grafene til y. Kommenter. Jo mindre C - verdien er, jo mer krummer grafene. Når C - verdien er positiv, er grafen over x-aksen og symmetrisk rundt y-aksen. Når C - verdien er negativ, er grafen under x-aksen og symmetrisk rundt y-aksen.

26 c) ) Løs differensiallikningen ved regning y y 0 x når y0 C y y x dy dx x x dy y x x dy y x x y dx ln y C dx x x dx Vi bruker så delbrøkoppspalting på uttrykket xx A B x x x x Ax x x x x Bx x x x x x x Ax A Bx B Da må A B x A B 0 A B A A A A Bx Ax B A B

27 Vi får da ln y C dx x x ln y C dx x x ln y C dx dx x x ln y C ln x ln x C ln y ln x ln x C C C C x ln y ln C x e x ln C ln y x e x ln x y e e C x C y e x C x y e x x y C C e x C Initialbetingelsen y0 C kan bare gjelde for x,. Da er x x y C C x x Vi har da 0 y0 C C C 0

28 ) Velg ulike verdier for C, og tegn de tilhørende grafene til y. Nedenfor har vi tegnet grafen til x y C x for ulike verdier av C når x,