Del 1. 3) Øker eller minker den momentane veksthastigheten når x = 1? ( )

Transkript

1 Del Oppgave a) Deriver funksjonen f( x) = x cos( x) b) Deriver funksjonen ( ) ( 4 x f x = e + ) c) Gitt funksjonen f( x) = x 4x + x+ ) Ligger grafen over eller under x-aksen når x =? ) Stiger eller synker grafen når x =? ) Øker eller minker den momentane veksthastigheten når x =? d) Finn summen av den uendelige rekka: 9+ 0, 9+ 0, 09+ 0, 009+L e) Bestem integralet 4 d x x 4 f) Funksjonen f( x) = er gitt. x ( ) ) Vis at likningen for tangenten i punktet 4, f( 4) er gitt ved y= x+ 8. ) Bestem arealet av det området som er avgrenset av grafen til f, tangenten i 4, f ( 4) og linja x =. ( ) Eksempeloppgave REA04 Matematikk R Side av 8

2 g) Gitt punktene A (,, ), B (,, ) og (,, ) C. Finn BAC. h) Løs differensiallikningen y + (cos x) y= 0 når y ( 0 ) = 4 i) En rekke er gitt ved at a = og an+ = an + n + der n N ) Skriv opp de 5 første leddene i rekken. ) Bruk induksjon til å bevise at det generelle leddet er a n n( n+ ) = I Del av eksamen kan du få bruk for eksaktverdier til noen vinkler: v sin v 0 cos v tan v Eksempeloppgave REA04 Matematikk R Side 4 av 8

3 Del Oppgave Gitt funksjonen f( x) = ( sin x) der x, a) Tegn grafen til f, og finn nullpunktene til funksjonen. b) Tegn fortegnslinja til f ( x) og bruk den til å finne eventuelle topp-, bunn- og terrassepunkter på grafen til f. Det kan vises at f( x) dx= a( cos x) + bcos x+ c, der a, b og c er konstanter. c) Vis at a = og b=. d) Bruk c) til å bestemme arealet som er avgrenset av grafen til f og som ligger over x-aksen. Eksempeloppgave REA04 Matematikk R Side 5 av 8

4 Oppgave I et koordinatsystem har vi punktene O ( 0, 0, 0), A (, 0, 0), B ( 0, 4, 0) og ( 0, 0, 5) a) Tegn punktene i et koordinatsystem. Finn avstanden fra A til B. b) Finn AB AC, og bruk svaret til å finne volumet av tetraederet OABC. C. En arealsetning oppkalt etter Pytagoras sier at: Her betyr F = F + F + F ABC AOC BOC OAB F ABC arealet av trekanten ABC. Tilsvarende gjelder for leddene på høyre side. c) Regn ut de fire arealene, og kontroller at arealsetningen stemmer i dette tilfellet. Planet går gjennom punktene A, B og C. d) Bestem likningen til planet. Et annet plan er gitt ved : x+ y z = 5 e) Finn vinkelen mellom planene og. Vi lar nå punktet C få koordinatene (, 0, t) 0. Vi antar at t 0. f) Forklar at likningen til planet da kan skrives på formen x y z : + + = 4 t g) Finn likningen for det planet som nærmer seg til når t. Hva kan du si om dette planet? Eksempeloppgave REA04 Matematikk R Side 6 av 8

5 Oppgave 4 Alternativ I Newtons. lov sier at F = m a, der F er summen av kreftene som virker på en gjenstand med masse m og akselerasjon a. Vi minner om at akselerasjonen er den deriverte av farten med hensyn på tiden. Newtons. lov kan for eksempel brukes til å beskrive og studere fallskjermhopp. En fallskjermhopper med fallskjermen har til sammen massen m. La v( t ) være farten til hopperen ved tiden t etter uthoppet. Hoppingen skjer fra et utoverhengende fjell, slik at vi kan anta at v( 0)= 0. Det er to krefter som virker på hopperen: tyngdekraften m g og luftmotstanden som er k v( t ) når fallskjermen er lukket. Her er k en konstant og g er tyngdeakselerasjonen. Alle størrelsene har benevning i SI-systemet, det vil si at masse måles i kg, tid måles i sekunder og strekning måles i meter. a) Vis at Newtons. lov kan omformes til følgende differensiallikning: k v ( t) + v( t) = g m Vi setter m = 80, g = 0 og k 6. = 0 b) Vis at v( t) = er en løsning av differensiallikningen i a). e c) Finn farten og akselerasjonen til hopperen når t = 4., t Etter 5 sekunder drar hopperen i snora og utløser fallskjermen. Vi regner med at luftmotstanden nå blir k v( ). Vi setter g = 0 og k 8. t d) Bruk Newtons. lov til å sette opp en differensiallikning for situasjonen når fallskjermen er åpnet. e) Differensiallikningen i d) er separabel. Vi setter v i stedet for v( t ). Vis at vi kan skrive differensiallikningen som: dv + = 0 v 0+ v dt = f) Finn et uttrykk for v ved å løse differensiallikningen i e). Eksempeloppgave REA04 Matematikk R Side 7 av 8

6 Oppgave 4 Alternativ II Vi har gitt differensiallikningen x y y = 0 x der x og x a) ) Vis at y C x x. = er en løsning når, ) Skisser grafene til y for C = og for C =. ) Velg andre verdier for C og skisser grafene til y. Kommenter. b) ) Vis at y = C x er en løsning når x,,. ) Velg ulike verdier for C og skisser grafene til y. Kommenter. c) ) Løs differensiallikningen ved regning y y 0 = x når y ( 0 ) = C ) Velg ulike verdier for C, og tegn de tilhørende grafene til y. Eksempeloppgave REA04 Matematikk R Side 8 av 8