Terminprøve R2 våren 2014

Transkript

1 Terminprøve R2 våren 2014 Magne A. Myhren 30. april 2014 Delprøve 1 må leveres etter 2 timer. Det er da lov å benytte seg av hjelpemidler. Oppgavesettet er på totalt 12 oppgaver fordelt på 6 sider. Kontroller at du har fått alle oppgavearkene. Tips til tidsbruk: Maksimalt mulig poeng å oppnå er 60, og prøven er på 300 minutter. Dette betyr at dere har 5 minutter per poeng. Bruk tiden klokt. 1

2 DELPRØVE 1-24 POENG Tillatte hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med cm-mål og vinkelmåler. Du kan angi svar som kvadratrøtter uten tilnærmingsverdi. OPPGAVE 1 ( = 5 POENG) Bestem integralene: (6x a) 2 e 2x) dx b) x + 15 x e x dx c) x 2 9 dx d) (x 2 4x + 5) 3 (x 2)dx OPPGAVE 2 (1 + 2 = 3 POENG) Figuren nedenfor viser grafen til en trigonometrisk funksjon av typen f (x) = A sin(cx + φ)+d. a) Bruk grafen til å bestemme likevektslinja, amplituden og perioden til funksjonen. b) Bestem et funksjonsuttrykk for f (x). OPPGAVE 3 (2 + 3 = 5 POENG) Vi har gitt punktene A = ( 2,1,3), B = (0,1,7) og C = ( 1,2,7). a) Finn likningen for planet α som går gjennom A, B og C. Planet β har likningen 2x + 2y z + 17 = 0. Punktet D ligger i β. b) Forklar hvorfor volumet av tetraedret ABCD blir det samme for alle punkter D i β, og finn deretter volumet av tetraedret. 2

3 OPPGAVE 4 (2 + 1 = 3 POENG) 1 + ln x + (ln x) 2 + (ln x) 3 + er en uendelig geometrisk rekke. a) Bestem konvergensområdet for rekka og finn summen av rekka. b) Undersøk om summen av rekka kan bli 1 3. OPPGAVE 5 (1 + 2 = 3poeng ) POENG) Finn den generelle løsningen av disse likningen i radianer: 3 a) sin3x = 2 b) sin2x cos2x = 0 OPPGAVE 6 ( = 5poeng ) POENG) Vi har gitt differensiallikningen y = x + y a) Finn likningen for tangenten til integralkurven gjennom punktet (1,2). b) Finn den generelle løsningen til differensiallikningen. (Hint: Det kan hende du får bruk for en av integralene du løste i oppgave 1) c) Finn den spesielle løsningen der x = 2 er et av nullpunktene. d) Tenk deg at du skulle ha tegnet retningsdiagrammet til differensiallikningen. Hvor i diagrammet hadde du plassert alle de vannrette tangentene? 3

4 DELPRØVE 2-36 POENG Alle hjelpemidler som ikke innebærer kommunikasjon med andre er tillatt. OPPGAVE 7 ( = 8 POENG) Vi disponerer et stort fond der vi årlig tar ut et utbytte. Utbyttet er i år a 1 = 40 millioner kroner. Fordi utbyttet er noe for stort, regner vi med at utbyttet for hvert år blir redusert med 5%. a) Finn a 2 og a 3. b) Hva slags tallfølge har vi her? c) Hvor mye tar vi ut i samlet utbytte de 20 første årene? d) Finn ved regning hvor lang tid det tar før vi samlet har tatt 600 millioner kroner. e) Hvor lang tid tar det før vi samlet har tatt ut 1000 millioner. Hva er bakgrunnen for svaret du får? OPPGAVE 8 ( = 9 POENG) Funksjonen f er gitt ved f (x) = 1.5sin x (1 cos x) og D f = [0,2π]. a) Finn nullpunktene til f ved regning. b) Vis ved regning at f (x) = 1.5 ( 2cos 2 x cos x 1 ) og bruk dette til å finne eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til f. c) Tegn grafen til f. Punktene A = (0,0), B = (x,0) og C = ( x, f (x) ) danner hjørnene i en trekant. Vi tar for oss funksjonen f i intervallet x [0, π]. d) Finn arealet av trekanten uttrykt ved x og bruk det til å finne hvilken verdi av x som gir størst areal. Hvor stort er arealet? 4

5 OPPGAVE 9 ( = 7 POENG) Vi har gitt to punkter P = (0,2,1) og Q = (4,1,2). a) Bestem en parameterframstilling for en linje l som går igjennom P og Q. b) Et plan Π inneholder l og går gjennom R = (3,0,3). Bestem likningen for planet. c) Er planet Π parallelt med noen av aksene? d) Finn avstanden fra origo til planet Π. e) En rett linje m har parameterframstilling: x = 2 + t m : y = 2t z = 4 t Regn ut skjæringspunktet mellom Π og m. f) Bestem avstanden mellom linjene l og m. OPPGAVE 10 (3 POENG) Figuren viser funksjonene f (x) = x + 1 og g (x) = x 1 mellom x-verdiene 0 og 4. Vi roterer det skraverte området 360 om x-aksen. Bestem ved regning volumet av omdreiningslegemet. 5

6 OPPGAVE 11 ( = 6 POENG) En pasient får tilført 400mg per time intravenøst (direkte inn i blodet) av en bestemt type medisin. Kroppen absorberer til enhver tid 40% av medisinen i blodet per time. La ymg være medisinen i blodet t timer etter at pasienten begynte å få medisinen intravenøst. Vi går ut fra at medisinen fordeles jevnt i blodet til pasienten. a) Forklar at medisinmengden i blodet kan beskrives ved differensiallikningen y y = 400 b) Finn den generelle løsningen av differensiallikningen. c) Hvor mye vil medisinmengden i blodet nærme seg hvis behandlingen fortsetter over tid? OPPGAVE 12 (3 POENG) Bevis ved induksjon at (7n 1) = 1 n(7n + 5). 2 Lykke til! 6