R2 - Funksjoner, integrasjon og trigonometri

Transkript

1 R - Funksjoner, integrasjon og trigonometri Løsningsskisser Del I - Uten hjelpemidler Oppgave 1 Regn ut integralene: a) x cosx dx b) x x 3x dx c) ex cose x dx a) Delvis integrasjon: x cosx dx x sin x sin xdx x sin x cosx C x x b) Delbrøkoppspalting: dx dx 1 dx x 3x x1x x x1 ln x ln x 1 C 1 ln x ln C lnc x x1 x1 c) Variabelskifte: u e x du dx Oppgave e x cose x dx e x cosu du e x sine x C Løs ligningene når x 0, : e x dx du gir: e x cosudu sinu C a) tanx 1 3 b) tanx sinx tanx cosx c) tan x 3 tanx 3 tanx (Hint: På den siste kan du få bruk for: ) a) x 1 3 k x k x 3 k L 3, 43, 73, b) Betingelse: cosx 0 Enten: tanxsinx cosx 0 tanx 0 tanx 1 Eller: tanx sinx sinx sinxtanx 1 0 sinx 0 tanx 1 Eller: tanx tanx tanx (dividerer med cosx, som ikke er null) tanxtanx 1 tanx 0 tanx 1 L 0, 4,, 5 4 c) Enklest: tanxtanx 3 tanx 3 tanxtanx 3 tanx 3 0 tanx 1tanx 3 0 H-P Ulven av 7 r_15116_ls.tex

2 tanx 1 tanx 3 L 3, 3 4, 4 3, 7 4 Uten direkte faktorisering, som vist over, må vi trekke sammen og bruke abc-formel og hintet : u 1 3u 3 0, u tanx u ): u 3 u 1 tanx 3 tanx 1 Oppgave 3 En funksjon f er gitt ved: fx cosx 1, D f 0, 1 a) Hva er perioden til f? b) Bestem null-, topp-, bunn- og vendepunkter til f. c) Finn vendetangenten til vendepunktet nærmest y-aksen. a) Periode gitt av: T b) fx svinger dobbelst så fort som cosx og er flyttet en enhet nedover, med likevektslinje: y 1 Graf: En graf-skisse, som over, viser alle interessante punkter, dette er en sinus-svingning og det er derfor ikke nødvendig å derivere for å finne ekstremalpunkter eller vendepunkter! Vi vet at alle ekstremalpunktene er der cosx 1 og vi vet alle vendepunktene ligger på likevektslinjen med innbyrdes avstand lik en halv periode! Nullpunkter: cosx 1 x 0 k x k ): x x x 3 Toppunkter: x 0 k x k (Der cosx 1) ):, 0,, 0 og 3, 0 (Punkter! Se side 14!) Bunnpunkter: x k x k (Der cosx 1) H-P Ulven av 7 r_15116_ls.tex

3 ):,, 3,, 5, og 7, Vendepunkter: x k x 4 k (Der cosx 0) ):,1, 3,1, 5,1, 7,1, ,1,,1,,1 og, c) f x sinx sinx f sin 4 Ett-punkts-formelen: y 1 x 4 Vendetangent: y x Oppgave 4 Gitt funksjonen fx sinx cosx, D f 0, a) Vis at fx kan skrives sinx 4. b) Løs ligningen sinx cosx 1. c) Finn arealet avgrenset av fx og funksjonen gx 1. a) Formel: A a b, tan b a 1, i 4de kvadrant gir: fx sinx 7 eller fx sinx QED 4 4 b) sinx cosx 1 sinx 1 sinx x k x 3 k x k x k L, c) Areal: A fx gxdx sinx 1dx 4 (Eller: sin x cosx 1dx ) cosx x 4 cos 3 cos H-P Ulven av 7 r_15116_ls.tex

4 Del II - Med hjelpemidler Oppgave 5 En ellipse har ligningen x a y b 1 og ser slik ut: a og b kalles halvakser og vi legger merke til at grafen til ellipsen skjærer koordinataksene i a, 0, 0, b, a, 0 og0,b. a) Forklar at den delen av ellipsen som ligger over x-aksen er grafen til funksjonen fx b a a x b) Vi definerer et rektangel ABCD der punktene Ac, 0 og Bc, 0 ligger på x-aksen og punktene C og D ligger på fx, slik som vist i figuren: Bestem hva c må være for at arealet av rektanglet ABCD skal bli størst mulig. c) Dreier vi grafen til fx 360 om x-aksen, får vi en ellipsoide. Vis at formelen for volumet av ellipsoiden er V 4ab 3. H-P Ulven av 7 r_15116_ls.tex

5 a) y b 1 x a y b x 1 y a x a b a y b 1 a a x y b a a x ): Øvre del: fx b a a x b) Grunnlinje: AB c c c Høyde: BC fc b a a c Areal: Ax cfc bc a a c Størst rektangelareal hvis c a c) Volum ellipsoide: V f xdx f xdx a a a a Oppgave 6 En rett linje l går gjennom A0, r og Bh, R. a) Vis at linjen l har funksjonsuttrykket lx Rr h x r. b) Linjestykket AB roteres 360 om x-aksen og vi får da et omdreiningslegeme som er en såkalt avkortet kjegle. Finn et uttrykk for volumet av omdreiningslegemet uttrykt ved r, R og h. a) Signingstall: st y By A x B x A Rr Rr h0 h Da A 0, r er skjæring med y-akse, har vi: lx Rr h x r QED b) H-P Ulven av 7 r_15116_ls.tex

6 Eller: V h 3 R Rrr Oppgave 7 En fallskjermhopper som hoppet ut fra et fly hadde konstant fart 50 m/s da han utløste fallskjermen. Farten utviklet seg videre slik det er vist i denne tabellen: t [s]: v [m/s]: a) Bruk kurvetilpasning i GeoGebra til å vise at funksjonsuttrykket 1b ekt 1b e kt, vt e0.48t, basert på den teoretiske modellen vt a 10.73e 0.48t er en god modell for utviklingen av farten etter at fallskjermen ble utløst. b) Regn ut v 0 og forklar hva denne verdien representerer. c) Etter en stund stabiliserte farten seg. Hva var farten da? d) Fallskjermhopperen nådde bakken etter minutter. Hvor høyt over bakken var han da fallskjermen ble utløst? a) Legger inn tabellen i regneark og lager Liste1 med punktene. 1b ekx Definerer en testfunksjon testx a med kommandoen: 1b e kx test(x)a (1b exp(-k x))/(1-b exp(-k x)) Justerer gliderne a, b og k til det stemmer nogenlunde med punktene. Kurvetilpasning med: v(x) Reg[ Liste1, test] Gir vt e0.48t 10.73e 0.48t som angitt i oppgaven. (RKvadrat[Liste1,v] er lik så dette er en god kurvetilpasning.) b) v 0 73 m/s er momentanakselerasjonen idet fallskjermen utløses. (Farten avtar altså med over 70 m/s det første sekundet. H-P Ulven av 7 r_15116_ls.tex

7 Sånn sett er modellen ikke så god helt i starten, dette er jo over 7g i utgangspunktet og ville nok være i overkant brutal nedbremsing for et menneske.) c) Farten stabiliserer seg da t e kt 0 vt 7. 9 [m/s] d) Da farten er den deriverte av veilengden; vt s t, har vi at t veilengden er st vtdt, så etter 10 sekunder har han falt 0 10 s vtdt 990 [m] 0 H-P Ulven av 7 r_15116_ls.tex