Oppgaver om derivasjon

Transkript

1 Oppgaver om derivasjon Oppgave 1 Gitt funksjonen g(x) = x 3 6x 48x + 13 a) Finn g (x). b) Bruk den deriverte til å finne x-koordinaten til topp/bunn-punktene til grafen. Finn også de tilhørende y-koordinatene, og vurder hva som må være toppunkt og hva som må være bunnpunkt. c) Hva er stigningstallet til g(x) når x =? Finn ligningen til tangenten til grafen når x =. Oppgave Gitt funksjonen g(x) = 3x 3 9x + 10 a) Finn g (x). b) Bruk den deriverte til å finne x-koordinaten til topp/bunn-punktene til grafen. Finn også de tilhørende y-koordinatene, og vurder hva som må være toppunkt og hva som må være bunnpunkt. c) Hva er stigningstallet til g(x) når x = 1? Finn ligningen til tangenten til grafen når x = 1. Oppgave 3 Gitt funksjonen f(x) = x 3 + 6x 15x + 6 a) Finn f (x). b) Bruk den deriverte til å finne x-koordinaten til topp/bunn-punktene til grafen. Finn også de tilhørende y-koordinatene, og vurder hva som må være toppunkt og hva som må være bunnpunkt. c) Hva er stigningstallet til f(x) når x =? Finn ligningen til tangenten til grafen når x =. d) I et annet punkt på grafen er også stigningstallet til tangenten det samme som du fant i spørsmål c. Finn dette punktet og finn også likningen til tangenten i dette punktet. Hva kan du si om tangenten i dette punktet i forhold til den du fant i spørsmål c)

2 Oppgave 4 Gitt funksjonen f(x) = x 3 6x 48x + 10 a) Finn f (x). b) Bruk den deriverte til å finne x-koordinaten til topp/bunn-punktene til grafen. Finn også de tilhørende y-koordinatene, og vurder hva som må være toppunkt og hva som må være bunnpunkt. c) Hva er stigningstallet til f(x) når x = 3? Finn ligningen til tangenten til grafen når x = 3. d) I et annet punkt på grafen er også stigningstallet til tangenten det samme som du fant i spørsmål c. Finn dette punktet og finn også likningen til tangenten i dette punktet. Hva kan du si om tangenten i dette punktet i forhold til den du fant i spørsmål c) Oppgave 5 Gitt funksjonen f(x) = x 3 6x + 4 a) Finn f (x). b) Bruk den deriverte til å finne x-koordinaten til topp/bunn-punktene til grafen. Finn også de tilhørende y-koordinatene, og vurder hva som må være toppunkt og hva som må være bunnpunkt. c) Hva er stigningstallet til f(x) når x =? Finn ligningen til tangenten til grafen når x =. d) Dersom vi deriverer en funksjon to ganger får vi det vi kaller den dobbeltderiverte. Den skrives som f (x). Regn ut f (x). Finn ut når f (x) er lik 0. Hva er det som kjennetegner dette punktet? Oppgave 6 Gitt funksjonen f(x) = 3x 4 + 4x 3 36x + 4 a) Finn f (x). b) Bruk den deriverte til å finne x-koordinaten til topp/bunn-punktene til grafen. Finn også de tilhørende y-koordinatene, og vurder hva som må være toppunkt og hva som må være bunnpunkt. c) Skisser grafen til funksjonen. NB. Oppgave 6 er litt på kanten av det vi har gjennomgått, men den bør likevel være mulig å løse

3 Løsningsforslag Oppgave 1 a) g (x) = 6x 1x 48 b) Vi setter g(x) = 0. Det gir oss 6x 1x 48 = 0 x x 8 = 0 x = ( ) ± ( ) 4 1 ( 8) 1 Vi får to løsninger x = og x = 4 = ± 36 = ± 6 x = gir at y = ( ) 3 6 ( ) 48 ( ) + 13 = 69 x = 4 gir at y = = 147 Punktet (,69) er toppunkt og punktet (4, 147) er bunnpunkt c) Vi setter inn x = i uttrykket for g (x). g () = = 48 For å finne tangenten må vi kjenne y verdien til funksjonen når x =. g() = = 91 Likningen til tangenten er på formen y = ax + b Vi kjenner a = 48. Det gir oss y = 48x + b Vi bestemmer b 91 = 48 + b b = 5 Likningen til tangenten blir dermed y = 48x + 5

4 Grafen i GeoGebra Oppgave a) g (x) = 9x 9 b) Vi setter g(x) = 0. Det gir oss 9x 9 = 0 x 1 = 0 Vi får to løsninger x = 1 og x = 1 x = 1 gir at y = 3 ( 1) 3 9 ( 1) + 10 = 16 x = 1 gir at y = = 4 Punktet ( 1,16) er toppunkt og punktet (1,4) er bunnpunkt c) Vi setter inn x = 1 i uttrykket for g (x). g (1) = = 0 Vi vet fra spørsmål b) at tilhørende y verdi er 4. Likningen til tangenten blir dermed y = 4

5 Grafen i GeoGebra Oppgave 3 a) f (x) = 3x + 1x 15 b) Vi setter f(x) = 0. Det gir oss 3x + 1x 15 = 0 x + 4x 5 = 0 x = 4 ± ( 5) 1 = Vi får to løsninger x = 5 og x = 1 4 ± 36 = 4 ± 6 x = 5 gir at y = ( 5) ( 5) 15 ( 5) + 6 = 106 x = 1 gir at y = = Punktet ( 5,106) er toppunkt og punktet (1, ) er bunnpunkt c) Vi setter inn x = i uttrykket for f (x).

6 f () = = 1 For å finne tangenten må vi kjenne y verdien til funksjonen når x =. f() = = 8 Likningen til tangenten er på formen y = ax + b Vi kjenner a = 1. Det gir oss y = 1x + b Vi bestemmer b 8 = 1 + b b = 34 Likningen til tangenten blir dermed y = 1x 34 d) I det andre punktet vet vi at stigningstallet til tangenten er 1. Vi setter derfor f (x) = 1. Det gir oss 3x + 1x 15 = 1 3x + 1x 36 = 0 x + 4x 1 = 0 x = 4 ± ( 1) 1 = Vi får to løsninger x = 6 og x = 4 ± 64 = 4 ± 8 Det er x = 6 vi skal bruke nå. Vi finner tilhørende y verdi f() = ( 6) ( 6) 15 ( 6) + 6 = 96 Likningen til tangenten er på formen y = ax + b Vi kjenner a = 1. Det gir oss y = 1x + b Vi bestemmer b 96 = 1 ( 6) + b

7 b = Likningen til tangenten blir dermed y = 1x + Grafen i GeoGebra Oppgave 4 a) f (x) = 6x 1x 48 b) Vi setter f(x) = 0. Det gir oss 6x 1x 48 = 0 x x 8 = 0 x = ( ) ± ( ) 4 1 ( 8) 1 Vi får to løsninger x = og x = 4 = ± 36 = ± 6 x = gir at y = ( ) 3 6 ( ) 48 ( ) + 10 = 66 x = 4 gir at y = = 150 Punktet (,66) er toppunkt og punktet (4, 150) er bunnpunkt c) Vi setter inn x = 3 i uttrykket for f (x).

8 f ( 3) = 6 ( 3) 1 ( 3) 48 = 4 For å finne tangenten må vi kjenne y verdien til funksjonen når x = 3. f( 3) = ( 3) 3 6 ( 3) 48 ( 3) + 10 = 46 Likningen til tangenten er på formen y = ax + b Vi kjenner a = 4. Det gir oss y = 4x + b Vi bestemmer b 46 = 4 ( 3) + b b = 17 Likningen til tangenten blir dermed y = 1x + 17 d) I det andre punktet vet vi at stigningstallet til tangenten er 4. Vi setter derfor f (x) = 4. Det gir oss 6x 1x 48 = 4 6x 1x 90 = 0 x x 15 = 0 x = ( ) ± ( ) 4 1 ( 15) 1 Vi får to løsninger x = 3 og x = 5 = ± 64 = ± 8 Det er x = 5 vi skal bruke nå. Vi finner tilhørende y verdi f() = = 130 Likningen til tangenten er på formen y = ax + b Vi kjenner a = 4. Det gir oss y = 4x + b Vi bestemmer b 130 = b

9 b = 340 Likningen til tangenten blir dermed y = 4x 340 Grafen i GeoGebra Oppgave 5 a) f (x) = 3x 1x b) Vi setter f(x) = 0. Det gir oss 3x 1x = 0 x 4x = 0 x(x 4) = 0 Vi får to løsninger x = 0 og x = 4 x = 0 gir at y = = 4 x = 4 gir at y = = 8 Punktet (0,4) er toppunkt og punktet (4, 8) er bunnpunkt

10 c) Vi setter inn x = i uttrykket for f (x). f () = 3 1 = 1 For å finne tangenten må vi kjenne y verdien til funksjonen når x =. f() = = 1 Likningen til tangenten er på formen y = ax + b Vi kjenner a = 1. Det gir oss y = 1x + b Vi bestemmer b 1 = 1 + b b = 1 Likningen til tangenten blir dermed y = 1x + 1 d) f (x) = 6x 1 f (x) = 6x 1 = 0 når x = Dette punktet kalles et vendepunkt. Tegn opp grafen i GeoGebra og se hva som skjer med stigningstallet til tangenten når du beveger deg gjennom dette punktet. Tangenten blir brattere og brattere helt til du når vendepunktet, før den blir flatere igjen. Vi har ikke jobbet med vendepunkt, men de finnes som sagt ved å derivere to ganger.

11 Grafen i GeoGebra Oppgave 6 a) f (x) = 1x 3 + 1x 7x b) Vi setter f(x) = 0. Det gir oss 1x 3 + 1x 7x = 0 x 3 + x 6x = 0 Her har vi en tredjegradslikning. De kan vi i utgangspunktet ikke løse, men denne er spesiell siden konstantleddet mangler. Vi setter x utenfor en parentes. x(x + x 6) = 0 Da har vi to muligheter. Enten er x = 0 eller så er x + x 6 = 0 Regner vi ut siste likningen får vi x = 1 ± ( 6) 1 = 1 ± 5 = 1 ± 5 Vi får to løsninger x = 3 og x =. I tillegg har vi at x = 0 x = 3 gir at y = 3 ( 3) ( 3) 3 36 ( 3) + 4 = 165 x = 0 gir at y = = 4

12 x = gir at y = = 40 Punktet (0,4) er toppunkt og punktene ( 3, 165) og (, 40) er bunnpunkt c) Grafen i GeoGebra