3 Funksjoner R2 Oppgaver
|
|
- Ragnar Andreassen
- 5 år siden
- Visninger:
Transkript
1 3 Funksjoner R Oppgaver 3.1 Trigonometriske definisjoner Trigonometriske sammenhenger Trigonometriske likninger Trigonometriske funksjoner og funksjonsdrøfting Omforming av trigonometriske uttrykk Ubestemte integraler... 8 Integrasjon med variabelskifte Delvis integrasjon... 3 Delbrøkoppspalting... 3 Diverse integrasjonsoppgaver Bestemte integraler Arealberegninger og andre anvendelser av bestemte integraler Modellering Aktuelle eksamensoppgaver du finner på NDLA... 5 Øvingsoppgaver Stein Aanensen og Olav Kristensen 1
2 3.1 Trigonometriske definisjoner a) Bruk symmetri på enhetssirkelen til å finne en vinkelv 0,360 som har samme sinusverdi som en vinkel på 1) 30 ) 60 3) 90 4) 135 5) 5 6) 330 b) Bruk symmetri på enhetssirkelen til å finne en vinkelv 0,360 som har samme cosinusverdi som en vinkel på 1) 30 ) 60 3) 90 4) 135 5) 180 6) 5 7) 330 c) Bruk symmetri på enhetssirkelen til å finne en vinkelv 0,360 som har samme tangensverdi som en vinkel på 1) 30 ) 60 3) 90 4) 135 5) 150 6) 5 7) 330
3 3.1. Gitt en vilkårlig vinkel u 0,360. Finn en generell formel som viser hvilke vinkler som har samme a) sinusverdi som vinkel b) cosinusverdi som vinkel c) tangensverdi som vinkel Finn vinklene i første omløp som har følgende verdier for sinus, cosinus og tangens. I hvilken kvadrant ligger hver av vinklene? a) 0,5 b) 0,8 c) 0,5 d) 0,8 e) 1 f) 1 g) 0 h) 1,5 i) Kommenter resultatet i h). Hvorfor er det kun tangens som gir svar? 3
4 3.1.4 I hvilket omløp ligger hver av vinklene nedenfor? a) 67 b) 840 c) 360 d) Du får vite følgende om vinklene u, v - Vinklene ligger i første omløp - cosu cosv - sinu sinv - tanu 0 I hvilken kvadrant ligger u og i hvilken kvadrant ligger v? Du får vite følgende om vinklene u, v Finn vinklene. - Vinklene ligger i første omløp - sinu sinv - cosv 0 - tanu Lag en oppgave etter samme mønster som og Test oppgaven ut på en av dine medelever! 4
5 3.1.8 Finn radiantallet til vinklene nedenfor. 30, 45, 60, 90, 10, 135, 150, 180, 70, Gjør om disse vinklene fra grader til radianer. a) 50, 75, 105, 310 b) 50, 75, 105, 310 c) 400, 70, 900, Gjør om disse vinklene fra radianer til grader. a) 0,5 b) 0,8 c),5 d) -4, Vinklene nedenfor er gitt i radianer. I hvilken kvadrant ligger hver av vinklene? a) b) 3,5 c) 1, d) 5 5
6 3. Trigonometriske sammenhenger 3..1 Finn den eksakte verdien til a) cos10 b) sin10 c) tan Finn den eksakte verdien til a) cos330 b) sin330 c) tan Finn de eksakte verdiene til koordinatene til punktene A og B på figuren nedenfor. 6
7 3..4 Finn de eksakte verdiene til koordinatene til punktene A og B på figuren nedenfor Finn de eksakte verdiene til koordinatene til punktene A og B på figuren nedenfor. 7
8 3..6 Finn de eksakte verdiene til koordinatene til punktene A og B på figuren nedenfor I firkanten ABCD er AB AC AD 1, BAC 60 og BAD 90. a) Finn lengden BC. b) Finn den eksakte høyden fra C til linjen gjennom AB. c) Finn det eksakte arealet av firkanten ABCD. d) Sett AB r og finn arealet av firkanten ABCD uttrykt ved r. 8
9 3..8 Bruk enhetsformelen til å regne ut uttrykkene nedenfor hvis mulig. a) sin30 cos30 b) sin 30 cos 30 c) sin cos 6 6 d) 4cos 10 4sin 10 e) 3sin 4cos f) sin 0 sin 70 g) cos 15 cos 65 h) 3cos 3cos Bruk formlene for sum og differanse av vinkler og skriv uttrykket ved hjelp av sinus og cosinus. a) sin30v b) cos60v c) sinv 45 d) cosv 45 9
10 3..10 Bruk formlene for sum og differanse av vinkler og skriv uttrykket ved hjelp av sinus og cosinus. a) cosv 3 b) 3sin x c) 3 cos x 6 d) sinx Bruk formlene for sum og differanse av vinkler til å finne eksakte verdier for a) sin75 b) cos75 sin75 cos75 1. c) Bruk resultatene fra a) og b) til å vise at 3..1 Bruk formlene for sum og differanse av vinkler til å finne eksakte verdier for a) cos15 b) sin15 c) cos105 Vis hvordan du kan bruke resultatet fra a) til å finne d) sin75 e) sin85 10
11 3..13 Bruk formlene for sum og differanse av vinkler for sinus og cosinus, og vis at a) tanu v b) tanu v tanu tanv 1 tanu tanv tanu tanv 1 tanu tanv Bruk formlene for sum og differanse av vinkler til å vise at sin u sinucos u a) cos u cos u sin u b) tan u tanu 1 tan u c) d) cos usin u 1 sin u Du skal nå bevise formlene for sinus til sum og differanse mellom to vinkler. Her er starten, så fortsetter du u v u v cos90 uv cos90 u v sin cos
12 3.3 Trigonometriske likninger Løs likningene når x 0,360. a) 4sin x 0 b) cos x c) tan3x 3 d) 4cos4x a) Gitt likningen sin v a b) Gitt likningen tan v b der a er en konstant. For hvilke verdier av a der b er en konstant. For hvilke verdier av b vil likningen ha løsning? vil likningen ha løsning? c) Gitt likningen sinv 0,5 der v 0,. 1) Hvor mange løsninger vil vi få i første omløp? ) Løs likningen. 3) Løs likningen i ) ved hjelp av det digitale verktøyet du bruker. Merk deg hvordan du endrer innstillingene slik at du regner i radianer finner eksakte løsninger bare finner løsningene i 1. omløp 1
13 3.3.3 Løs likningene når x 0,. a) cos vcosv 0 b) tan v 10 c) sinvsinv 3 d) 3sinx 3 cosx 0 e) Løs likningene i a) d) ved CAS i GeoGebra Finn de generelle løsningene til likningene. a) sin x 1 sinx cos x 3cos x 0 b) 6sin x 1 sinx cos x 8cos x 5 c) cos xsin x 1 13
14 3.4 Trigonometriske funksjoner og funksjonsdrøfting Deriver funksjonene. f x 4x x a) 3 b) fx f x lnx x x 1 c) 3 x d) fx ln e) x ln f x e x f) f x 3x Deriver funksjonene. g x e a) 4 x 3 b) gx x e lnx c) 3 g x 3x g x 3x x d) e) gx x x 14
15 3.4.3 Bruk GeoGebra og undersøk grafen til sinusfunksjonen slik som beskrevet i teorien i begynnelsen til kapittel Bruk GeoGebra og undersøk grafen til cosinusfunksjonen slik som beskrevet i teorien. Hva er sammenhengen mellom sinusfunksjonen og cosinusfunksjonen? Funksjonen f er gitt ved Nedenfor har vi tegnet grafen til f. tan, f x x x a) Finn funksjonens nullpunkt grafisk og ved regning. b) Finn de vertikale asymptotene til f. 15
16 3.4.6 Deriver funksjonene. a) sin cos b) fx f x x x x 3cos x c) sin f x x x d) sin cos f x x x x e) cos f x e x Deriver funksjonene. a) ft sint cost b) f t tan c) t t f t e sint g x x x 3 d) 4sin 3cos e) gx lnx tan x g x sin x cos x f) 16
17 3.4.8 Funksjonen h er gitt ved a) Finn h x og h ( x). h x x x 3 ( ) 6 1 b) Finn infleksjonspunktet og vendepunktet. c) Finn likningen for vendetangenten En funksjon f er gitt ved 3 f x x 4x 4x 16 Grafen til f for x - verdier fra,5 til 5 er vist på figuren a) Les av nullpunktene til f. b) Finn f x. Regn ut f a x -aksen. c) Finn likningen for tangenten i punktet, når a ligger midt mellom de to nullpunktene lengst til høyre på a f a. d) Bestem skjæringspunktet mellom tangenten og x - aksen. Kommenter svaret. e) Gjenta utregningene i b), c) og d) når a ligger midt mellom de to nullpunktene som ligger lengst fra hverandre. 17
18 Funksjonen f er gitt ved. a) Finn f x f x cos 3x 1 x 0,. b) Finn eventuelle topp og bunnpunkt på grafen til f ved å sette f x 0 c) Finn toppunkt og bunnpunkt til f uten å derivere funksjonen. d) Finn ved regning når funksjonen f stiger raskest Funksjonen h er gitt ved h x x x x 3 3 cos sin 0, 10 a) Finn nullpunktene til h grafisk og ved bruk av CAS. b) Bruk CAS og finn toppunktene til h. c) Finn likningen til den vendetangenten som ligger nærmest origo. 18
19 3.4.1 Gitt funksjonen f x sinx x x 0, a) Finn eventuelle ekstremalpunkter og infleksjonspunkter til funksjonen. b) Finn eventuelle toppunkter, bunnpunkter og vendepunkter på grafen til funksjonen. c) Finn også likningen for én vendetangent hvis grafen har vendepunkt. d) Lag en skisse av grafen til f. For løsning: Se teorien 19
20 3.5 Omforming av trigonometriske uttrykk Skriv funksjonsuttrykkene nedenfor på formen Asinkx a) sin cos f x x x. b) 3sin cos g x x x 3.5. Finn de generelle løsningene til likningene a) cosx sinx 0 b) cosx sinx c) cosxsinx a) Omform uttrykket 3sinx cos x til et uttrykk på formen Asinkx. b) Finn den generelle løsningen til likningen 3sinxcos x 1. 0
21 3.5.4 Gitt likningen cos x 6 sinx x 0, a) Vis at denne likningen kan omformes til cosx 1 3 x 0, b) Finn de eksakte løsningene på likningen Funksjonen f er gitt ved f x 3sin x 3cos x 1 1 x0, 4 a) Vis at fx kan omskrives til f x 5 3 sin x 1 4 b) Finn koordinatene til eventuelle topp- og bunnpunkter ved regning. 1
22 3.5.6 Funksjonene f og g er gitt ved f x sinx g x sinx a) Ovenfor har vi tegnet grafen til f og grafen til g for x, 4 Hvilken graf tilhører hvilken funksjon? Begrunn svaret.. b) For hver av grafene skal du finne - Likevektslinjen - Amplitude - Periode - Faseforskyvning c) Finn nullpunktene til f ved regning. d) Tegn grafen til f og grafen til g for x, 4 i det digitale verktøyet du bruker.
23 3.5.7 Funksjonene f og g er gitt ved cos cos f x x g x x Nedenfor har vi tegnet grafen til f og grafen til g for x, 4. Forklar hvorfor de to grafene er like Funksjonen f er gitt ved x f x cos 3 1 a) Bruk funksjonsuttrykket til f til å finne amplitude, likevektslinje, faseforskyvning og periode. b) Finn den minste verdien funksjonen f kan ha. c) Finn ved regning for hvilke verdier av x funksjonen f har denne verdien. 3
24 3.5.9 Funksjonen g er gitt ved g x sin 3x 3 x 0, a) Bruk funksjonsuttrykket til g til å finne amplitude, likevektslinje, faseforskyvning og periode. b) Finn den største verdien funksjonen g kan ha. c) Finn for hvilke verdier av x funksjonen g har den største verdien. d) Løs likningen gx grafisk og ved CAS.. Hva har du funnet nå? Ovenfor har vi tegnet grafen til en periodisk funksjon g gitt ved for x1,9 g( x) Asin( kx ) d a) Bestem d, A, k og ut fra grafen. b) Finn topp- og bunnpunkt ved regning. 4
25 a) Finn funksjonsuttrykket til sinusfunksjonen til grafen ovenfor. b) Finn funksjonsuttrykket til cosinusfunksjonen til grafen ovenfor a) Finn funksjonsuttrykket til sinusfunksjonen til grafen ovenfor. b) Finn funksjonsuttrykket til cosinusfunksjonen til grafen ovenfor. 5
26 Eksamen 3MX (Privatister), Våren 007 Funksjonen nedenfor er en modell for hvordan temperaturen endrer seg i løpet av en vårdag i Bergen. x T x 3,1sin 0,6,34 8,3 Temperaturen T er målt i C, og x er antall timer etter midnatt. a) Tegn grafen til T. Marker følgende størrelser på grafen: amplitude, periode, likevektslinje og faseforskyvning. b) I hvor stor del av døgnet er temperaturen over 10 C? Grafen nedenfor viser middeltemperaturen i Bergen et bestemt år, der x er antall dager etter nyttår. c) Bruk grafen til å bestemme et funksjonsuttrykk som beskriver hvordan middeltemperaturen endrer seg gjennom året. 6
27 Figuren viser varslet tidevann i Stavanger 10. Januar 009. Kilde: Matematisk institutt Uio Bruk grafen til å bestemme et funksjonsuttrykk som beskriver hvordan tidevannet endrer seg gjennom døgnet. 7
28 3.6 Ubestemte integraler Bestem integralene. a) dx b) xdx c) d) x dx 10 x dx e) x dx f) 3 3 x x dx g) Sjekk svarene i a) til e) ved å derivere det ubestemte integralet du fikk til svar. h) Hva er et annet ord for integrasjon? 8
29 3.6. Bestem integralene. a) x x x dx b) x 3x dx x c) 1 dx x x x d) e e e dx e) x a dx f) g) 1 e x 3 1 x dx Bestem integralene. a) 1 t t dt 1 b) ln3 3 s e s ds 3 s c) ,013 5 x x 1 e a x dx 9
30 3.6.4 Bestem integralene. a) cos xdx b) cos xdx c) sinxdx d) sinxdx e) cos xdx f) sinxdx Bestem integralene. a) 4cosxdx 1 sin x dx b) c) cos 4x d) sin3x dx dx 30
31 3.6.6 Bestem integralene. a) x cos 4 1 dx b) x 0,5sin 3 0,3x dx c) cos0,5 3 0,3x x e dx Integrasjon med variabelskifte Bruk integrasjon med variabelskifte. a) lnx dx x x b) dx x 1 c) cos x 1 d) sinx cos xdx e) 6 x x dx xdx 31
32 Delvis integrasjon Bruk delvis integrasjon. a) x lnxdx b) cos x xdx x c) 4x e dx d) e x x dx x e) sin x e dx Delbrøkoppspalting Bruk delbrøkoppspalting. 1 a) x 1 dx x 6 b) dx x 4 3x 1 c) dx x x6 d) x x13 dx x x x 3
33 Diverse integrasjonsoppgaver Bestem integralene. a) x x e x 1 dx b) lnxdx x e c) x dx x d) e x dx x e) dx x 4 x 4 f) dx 3 x x Eksempelsett R, Bestem integralet x 1 dx 33
34 3.7 Bestemte integraler Funksjonen f er gitt ved a) Tegn grafen til f. 1 f x x x 4 4 x 0,10 b) Skraver det området som er avgrenset av grafen til f, x - aksen og linjene x 3 og x 6. c) Finn en tilnærmet verdi for arealet av det skraverte området ved å dele området opp i 1) tre rektangler med lik bredde. ) seks rektangler med lik bredde Funksjonen S er gitt ved 3 3 x x, S x a) Tegn grafen til S og skraver området avgrenset av grafen til S, x - aksen og linjene x x. og b) Finn en tilnærmet verdi for arealet av det skraverte området ved å dele området opp i 1) fire rektangler med lik bredde ) åtte rektangler med lik bredde c) Hvordan kunne du ha funnet en enda bedre tilnærmingsverdi for arealet av det skraverte området i oppgave a)? 34
35 3.7.3 Gitt funksjonen g 0, 4 g x x x a) Tegn grafen til g og skraver området avgrenset av grafen til g, x - aksen, y - aksen og linjene x 0 og x 4. b) Finn en tilnærmet verdi for arealet av det skraverte området ved å dele området opp i 1) fire rektangler med lik bredde ) åtte rektangler med lik bredde c) Finn den eksakte verdien for arealet av det skraverte området i oppgave a) uten å bruke integralregning Regn ut det bestemte integralet. 4 a) x 0 dx b) x dx c) e 1 1 d x x d) lne 0 e x dx e) x dx 35
36 3.7.5 a) Regn ut det bestemte integralet d 4 x x x b) Sammenlikn svaret du fikk i a) med svaret du fant i oppgave Regn ut det bestemte integralet. a) cos x 0 dx b) sinx 0 c) sinx 0 d) sinx 0 dx dx dx e) cos 0 x dx f) 0 sin d 3 x x 36
37 3.7.7 Regn ut det bestemte integralet. Bruk variabelskifte. a) x 0 sin cos x dx b) t 3 0 t dt Finn det bestemte integralet. Bruk delvis integrasjon. a) cos 0 x x dx b) cos 0 x x dx a) Regn ut det bestemte integralet 3 dx 3 x b) Bruk et digitalt hjelpemiddel og finn det bestemte integralet gitt i a). Skraver området. 37
38 3.8 Arealberegninger og andre anvendelser av bestemte integraler I koordinatsystemet nedenfor har vi tegnet grafen til funksjonen f gitt ved f x x Grafen skjærer x - aksen i x 1.. a) Arealet A1 er avgrenset av grafen til f, førsteaksen og linjene x1 og x 3. 1) Bestem arealet A1 ved integrasjon. ) Vis hvordan du kan finne dette arealet uten å integrere. b) Arealet A er avgrenset av grafen til f, førsteaksen og linjene x 1 og x 1. Bestem arealet A ved integrasjon. c) Bestem integralet f x 3 dx. 1 Kommenter resultatet. d) Bestem arealet avgrenset av funksjonen f, førsteaksen og linjene x 1 og x 3. 38
39 x. I koordinatsystemet nedenfor har vi tegnet grafen til funksjonen f gitt ved f x a) Vis ved regning at grafen skjærer x - aksen når x og når x. b) Bestem arealet A1 avgrenset av grafen til f, førsteaksen og linjene x1 og x. c) Bestem arealet A avgrenset av grafen til f, førsteaksen og linjene x og x 3. d) Arealet A3 er avgrenset av grafen til f, førsteaksen, andreaksen og linjen x 3. 1) Skisser grafen til f og marker arealet A3. ) Bestem arealet A3. 39
40 3.8.3 f x x x. Funksjonen f er gitt ved a) Finn nullpunktene til f ved regning. b) Tegn grafen til f for x 3,. c) Finn arealet, A1, avgrenset av grafen til f, førsteaksen og linjene x og x 1. d) Finn arealet, A, avgrenset av grafen til f, førsteaksen og linjene x 3 og x. e) Finn arealet, A3, avgrenset av grafen til f, førsteaksen, andreaksen og linjen x Funksjonen g er gitt ved gx sin x. a) Tegn grafen til g for x 0,. dx. b) Regn ut sinx 0 c) Regn ut arealet, A1, avgrenset av grafen til g og førsteaksen i området 0,. d) Regn ut arealet, A, avgrenset av grafen til g, førsteaksen og linjene x og x. 40
41 3.8.5 Funksjonene f og g er gitt ved f x x 3 og gx x a) Tegn grafene til og f g for x4, 5 i samme koordinatsystem. b) Bestem arealet, A1, av området som ligger mellom de to grafene. c) Bestem arealet, A, av området som ligger mellom de to grafene og linjene x 3 og x f x e. Funksjonen f er gitt ved x a) Bestem arealet A1 avgrenset av grafen til f, førsteaksen, andreaksen og linjen x 1. b) Lag en skisse og marker arealet A som er avgrenset av grafen til f, andreaksen og linjen y e. c) Bestem arealet A. g x e. Nedenfor har vi tegnet grafen til funksjonen g gitt ved 0,5x d) Vis at arealet, A, av det markerte området er A e 1 41
42 3.8.7 En fabrikk produserer nå 500 enheter per måned av en vare. Bedriften vil satse på et nytt marked og regner med at produksjonen vil øke med % per måned de to kommende årene. Bruk integrasjon og finn samlet produksjon av varen de neste to årene En bedrift slipper i dag ut 100 tonn av en klimagass per måned. Bedriften har som målsetting å redusere dette utslippet med 4 % per måned de neste månedene. a) Hvor stort er det månedlige utslippet, Kx, av klimagassen om 1 år dersom bedriften klarer målsettingen sin? b) Finn hvor lang tid det tar før utslippet er nede i 4 tonn per måned. c) Finn samlet utslipp, S, de neste tre årene Ved produksjon av en vare er etterspørselen per uke gitt ved 0, x 1, 5 E x e x, der x 1 betyr uke 1, x er uke osv. a) Finn etterspørselen av varen etter 6 uker. b) Finn hvor mange uker det går før etterspørselen er på 160 enheter i uka. c) Finn samlet etterspørsel, S, i hele definisjonsområdet Funksjonen T gitt ved T x 3,sin 0,3x 4,5 10,5 x 0, 4 er en modell for hvordan temperaturen endrer seg i løpet av et døgn et sted i Norge. Temperaturen T er målt i C, og x er antall timer etter midnatt. Bruk integrasjon og finn gjennomsnittstemperaturen denne dagen. 4
43 Funksjonen f er gitt ved f x x. Nedenfor har vi markert området avgrenset av x - aksen, y - aksen, linjen x 3 og grafen til f. Finn volumet av det omdreiningslegemet vi får dersom vi dreier det markerte området 360 om x - aksen Funksjonen f er gitt ved f x x. Nedenfor har vi markert området avgrenset av x - aksen, y - aksen, linjen x 4 og grafen til f. a) Hvilken geometrisk figur får vi dersom vi dreier det markerte området 360 om x - aksen? b) Finn volumet, V, av den geometriske figuren du fikk i a) ved å bruke formelen for volum av omdreiningslegemer. c) Finn volumet, V, ved å bruke formelen for volum av en kjegle. 43
44 Funksjonen g er gitt ved g x e x. 1 Nedenfor har vi markert området avgrenset av x - aksen, y - aksen, linjen x ln8 og grafen til g. Bestem volumet, V, av det omdreiningslegemet vi får dersom vi dreier grafen til g 360 om førsteaksen Gitt funksjonen f x ax Nedenfor har vi markert området avgrenset av x - aksen, y - aksen, linjen x h og grafen til f. a) Forklar at stigningstallet, a, kan uttrykkes ved r h. b) Bruk formelen for volum av et omdreiningslegeme og utled formelen for volumet av en kjegle. 44
45 (Eksempeloppgave R, 008) Funksjonen f x 4 er gitt. x a) Vis at likningen for tangenten i punktet 4, 4 f er gitt ved 3 y x 18. b) Bestem arealet av det området som er avgrenset av grafen til f, tangenten i 4, 4 linja x. f og 45
46 3.9 Modellering Tabellen under viser utslipp av svoveldioksid til luft i Norge for noen utvalgte år fra 1981 til 003 Årstall SO i 1000 tonn 136,4 104,0 37,0 33, 7,1 3, Bruk eksponentiell regresjon i et digitalt verktøy til å finne et funksjonsuttrykk som passer med punktene. La x være antall år fra 1980 og S x utslippet av svoveldioksid i tusen tonn. Plott punktene og tegn grafen til uttrykket du finner Tabellen viser bruk av tid på hjemme-pc i perioden 1994 til 003 i minutter. Årstall Tid i minutter a) Bruk eksponentialregresjon i et digitalt verktøy til å finne et funksjonsuttrykk som passer med punktene. La x være antall år fra 1994 og Plott punktene og grafen til uttrykket du finner. Tx bruk av tid på hjemme-pc. b) Bruk modellen du fant i a) og finn ut hvor mye tid som vil bli brukt på hjemme-pc i 010 og 00. c) Vurder gyldigheten av teorien fram i tid. 46
47 3.9.3 Tabellen viser temperaturen i et kjøleskap de første timene etter et strømbrudd. Antall timer etter strømbruddet Antall grader i C 4,0 4,4 6,0 8,9 1,5 17,9 a) Bruk eksponentialregresjon i et digitalt verktøy til å finne et funksjonsuttrykk som passer med punktene. La x være antall timer etter strømbruddet og punktene og tegn grafen til uttrykket du finner. Tx temperaturen i kjøleskapet. Plott b) Vurder gyldigheten til modellen framover i tid. Begrunn svaret ditt. La oss nå anta at vi får greie på at temperaturen i kjøleskapet etter timer er 0,0 C, etter 6 timer er den 1, C og etter 30 timer er temperaturen i kjøleskapet 1,5 C. c) Bruk logistisk regresjon i et digitalt verktøy til å finne et funksjonsuttrykk T opplysningen du nå har fått sammen med det du vet fra tidligere. L x som passer med d) Marker datamaterialet fra tabellen ovenfor som punkter i et koordinatsystem. Tegn grafen til den logistiske funksjonen du fant i c) i samme koordinatsystem. e) Vurder gyldigheten til denne modellen framover i tid. Begrunn svaret ditt. 47
48 3.9.4 Sol Sikke ville finne ut hvordan en solsikke i hagen vokste fra uke til uke. Hun målte høyden til solsikken hver uke i 8 uker. De observerte verdiene ser du i tabellen nedenfor. Etter x uker Høyde i cm a) Plott punktene i et koordinatsystem og finn et funksjonsuttrykk som passer til punktene. b) Vurder gyldigheten til modellen du fant i a). Sol Sikke fortsatte å måle solsikken sin 4 uker til. Høydene ser du i tabellen nedenfor. Etter x uker Høyde i cm c) Bruk logistisk regresjon i et digitalt verktøy og finn et funksjonsuttrykk Sx som passer til punktene. d) Marker datamaterialet fra tabellen ovenfor som punkter i et koordinatsystem. Tegn grafen til den logistiske funksjonen du fant i c) i samme koordinatsystem. e) Vurder gyldigheten til modellen du fant i c) 48
49 3.9.5 Eksamen 1MX, Høsten 005 En dag løp en ungdomsskoleelev 100-meteren på 14 sekunder. Med moderne måleutstyr får vi oversikt over hvor lang strekning utøveren har tilbakelagt som funksjon av tiden. Måleresultatene er satt opp i tabellen nedenfor: Tid i sek Strekning I meter ,5 100 a) Tegn inn punktene i et koordinatsystem, og tegn en glatt kurve gjennom dem. b) Bruk et digitalt hjelpemiddel og finn et funksjonsuttrykk som passer godt med måleresultatene. c) Bestem grafisk en tilnærmet verdi for den momentane farten etter sekunder og etter 7 sekunder. d) Nedenfor ser du tre grafer som beskriver fart som funksjon av tid. Hvilken av de tre grafene beskriver 100-meteren som utøveren har løpt? e) Anta at du ikke kjenner strekningen som ble tilbakelagt på de 14 sekundene. Hvordan kan du bruke fartsgrafen til å bestemme strekningen? 49
50 3.9.6 x h Tabellen ovenfor viser vannstanden utenfor Tregde 1. februar 008. I tabellen er x antall timer etter midnatt og h er vannstanden målt i cm over middelvann. a) Bruk et digitalt hjelpemiddel og finn en sinusfunksjon som passer godt til dataene. Tegn grafen til funksjonen. b) Bruk funksjonsuttrykket du fant i a) og bestem ved CAS når vannstanden var lavest og når den var høyest. Hvor langt under middelvann var vannstanden da? 50
51 3.9.7 Tid Temperatur,8 1, 1,,8 5,4 8,6 31, 3,8 3,8 31, 8,6 5,4,8 Tabellen viser temperaturen målt i C annenhver time etter midnatt på et feriested. a) Merk av punktene i et koordinatsystem, og tegn en glatt kurve gjennom dem. b) Finn en modell for temperaturen y 1 gitt på formen y1 asin( cx ) d, der x er antall timer etter midnatt. På et annet feriested varierer temperaturen mer. Minimumstemperaturen er 18 C, og maksimumstemperaturen er 34 C. Maksimumstemperaturen og minimumstemperaturen inntreffer på samme tidspunkt på døgnet som på det første feriestedet. c) Finn en modell for temperaturen y på dette feriestedet, når vi antar at y er på samme form som y 1. Tegn grafene til y 1 og y i samme koordinatsystem. d) Hvor stor del av døgnet har det andre feriestedet høyere temperatur enn det første feriestedet? 51
52 Aktuelle eksamensoppgaver du finner på NDLA Bruk farger og marker de eksamensoppgaver du har regnet! Jo mere farger, jo bedre eksamenskarakter! Geometri Algebra Funksjoner Differensiallik ninger Del 1 Del Del 1 Del Del 1 Del Del 1 Del H15 5, ,, 3, 4, 6 1, 5 8 V15 5 4, 6 1,, 3a, 7, 8, 9 3, 4 3b 1 H , ,, 5, V , 4 4 1,, 3, 6 5, H , 7 4 1,, 6 1,, V , 7 6 1,, 6, 4, H , 8 4 1,, 6, 7 1, 5, 6 4 V 1 8 1e, 3c 7 1a, 1b, 1c, 3 4, 5 1d 6 H 11 1g 5 1c 3 1a, 1b, 1e, 4 1f 6 V 11 1d, 1e 5 1f 4 1a, 1b, 1c 3, 6, 7 H 10 1d 3 1a, 1b, 4 1c 5 V 10 5, 6 alt 1a, 1b, 1d, 1e 4 1c 3, 6 alt1 H e, 1f 1a, 1b, 1d 4 1c 5 V 09 1d, 1c 5 1a, 1b, 1f 4 1e 3 E 08 1g 3 1d, 1i 1a, 1b, 1c, 1e, 1f 1h 4 5
3 Funksjoner R2 Løsninger
Funksjoner R Løsninger. Trigonometriske definisjoner.... Trigonometriske sammenhenger.... Trigonometriske likninger....4 Trigonometriske funksjoner og funksjonsdrøfting... 7.5 Omforming av trigonometriske
DetaljerFunksjoner S2 Oppgaver
Funksjoner S Funksjoner S Oppgaver. Derivasjon... Den deriverte til en konstant funksjon... Den deriverte til en potensfunksjon... Den deriverte til et produkt av to funksjoner... 4 Den deriverte til en
DetaljerR2 Funksjoner Quiz. Test, 3 Funksjoner
Test, Funksjoner Innhold. Trigonometriske definisjoner.... Trigonometriske sammenhenger... 8. Trigonometriske likninger.... Funksjonsdrøfting....5 Omforme trigonometriske uttrykk av typen a sin kx + b
DetaljerEksamen R2, Våren 2009
Eksamen R, Våren 009 Del Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave a) Deriver funksjonen f xlnx 3 uln x u x 3 u 6u g u g u f x g
DetaljerEksamen R2 høsten 2014 løsning
Eksamen R høsten 04 løsning Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave (3 poeng) Deriver funksjonene a) f x cos3x Vi bruker kjerneregelen
DetaljerR2 - Funksjoner, integrasjon og trigonometri
R - Funksjoner, integrasjon og trigonometri Løsningsskisser Del I - Uten hjelpemidler Oppgave 1 Regn ut integralene: a) x cosx dx b) x x 3x dx c) ex cose x dx a) Delvis integrasjon: x cosx dx x sin x sin
DetaljerEksamen R2, Høst 2012, løsning
Eksamen R, Høst 0, løsning Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave ( poeng) Deriver funksjonene a) cos f e Vi bruker produktregelen
DetaljerInnhold Kompetansemål Funksjoner, R Trigonometriske definisjoner... 4
3 Funksjoner Innhold Kompetansemål Funksjoner, R... 3 3.1 Trigonometriske definisjoner... 4 Sinus, cosinus og tangens til vinkler mellom 0 og 90... 4 Enhetssirkelen... 4 Vinkler med samme sinusverdi...
DetaljerEksamen R2 vår 2012, løsning
Eksamen R vår 0, løsning Oppgave ( poeng) a) Deriver funksjonene ) f sin Bruker kjerneregelen på uttrykket sin der Vi har da guu sinu u cosu cos f cos 6cos ) g sin Vi bruker produktregelen for derivasjon.
DetaljerEksamen R2 Høsten 2013 Løsning
Eksamen R Høsten 03 Løsning Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave (3 poeng) Deriver funksjonene a) f 5cos Vi bruker produktregelen
DetaljerEksamen R2, Våren 2011 Løsning
R Eksamen, Våren 0 Løsning Eksamen R, Våren 0 Løsning Del Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave (8 poeng) a) Deriver funksjonene
DetaljerEksamen R2 høst 2011, løsning
Eksamen R høst 0, løsning Oppgave (4 poeng) a) Deriver funksjonene f e ) Bruker produktregelen for derivasjon, uv uv uv f e e e e ) g sin Bruker kjerneregelen på uttrykket cos der u og g u sinu Vi har
DetaljerDEL 1. Uten hjelpemidler. Oppgave 1 (3 poeng) Oppgave 2 (5 poeng) Oppgave 3 (4 poeng) S( x) 1 e e e. Deriver funksjonene. Bestem integralene
DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (3 poeng) Deriver funksjonene a) f( x) 6cos(x 1) b) g( x) cos x sin x Oppgave (5 poeng) Bestem integralene a) (x 3 x) dx b) x cos( x ) dx c) x d x Oppgave 3 ( poeng) En
DetaljerEksamen R2, Høst 2012
Eksamen R, Høst 01 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 ( poeng) Deriver funksjonene a) x cos f x e x b) 3 g x 5 1 sinx Oppgave
DetaljerEksempelsett R2, 2008
Eksempelsett R, 008 Del Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave a) Deriver funksjonen f x x cosx f x cosx x s x f x cosx 6x sinx
DetaljerLøsning av utvalgte øvingsoppgaver til Sigma R2 kapittel 3
Løsning av utvalgte øvingsoppgaver til Sigma R kapittel.a cos + + sin + = cos cos sin sin + sin cos + cos sin = cos sin + sin + cos = cos + = cos = cos b sin + = sin sin sin = sin = sin = sin =,7 =,7 +
DetaljerEksamen R2, Våren 2015, løsning
Eksamen R, Våren 05, løsning Tid: 3 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave (4 poeng) Deriver funksjonene a) f () =- 3cos f =- 3 - sin
DetaljerTORE OLDERVOLL SIGBJØRN HALS. GeoGebra 6 for Sinus R2
TORE OLDERVOLL SIGBJØRN HALS GeoGebra 6 for Sinus R2 Sinus R2 ble skrevet med utgangspunkt i GeoGebra 5. I boka er det også lagt opp til at elevene har en enkel lommeregner i tillegg til datamaskin. I
DetaljerEksamen R2 høsten 2014
Eksamen R høsten 014 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (3 poeng) Deriver funksjonene a) f x cos3x b) gx 5e x sinx Oppgave
DetaljerOppgaver. Innhold. Funksjoner i praksis Vg2P
Oppgaver Innhold Modul 1: Lineære funksjoner... Modul : Andregradsfunksjoner... 10 Modul 3: Tredjegradsfunksjoner... 1 Modul 4: Potensfunksjoner og rotfunksjoner... 14 Modul 5: Eksponentialfunksjoner...
DetaljerR2 eksamen våren 2018 løsningsforslag
R eksamen våren 08 løsningsforslag DEL Uten hjelpemidler Oppgave ( poeng) Deriver funksjonene a) f ( x) = cos ( x ) f ( x) = sin( x ) = sin( x ) b) g ( x) = x sin x g ( x) = sin x + x cos x = sin x + x
DetaljerR2 kapittel 3 Funksjoner. Løsninger til oppgavene i boka Når sin x = 1 har f( x ) sin minste verdi. π 2. 2 k
R kapittel Funksjoner Løsninger til oppgavene i boka. a f( ) = 7 + sin, D f = R Når sin =, har f( ) sin største verdi. sin = for = + k f( ) maks = 7+ = 8 Toppunktene på grafen til f er, Z k +,8 k. Når
DetaljerHeldagsprøve R
Heldagsprøve R - 7.04. Løsningsskisser Versjon 03.05. Del - Uten hjelpemidler Oppgave a) Deriver funksjonene: ) fx x ln x ) gx 3 cos4x 3) hx ax ln x ) Produktregel: f x x ln x x x x ln x x x ln x ) Kjerneregel:
DetaljerFunksjoner oppgaver. Innhold. Funksjoner S1
Funksjoner oppgaver Innhold.1 Funksjoner.... Lineære funksjoner... 5 Ettpunktsformelen.... 9 Skjæringspunkt mellom rette linjer. Nullpunkt for en funksjon... 11.3 Andregradsfunksjon... 1.4 Tredjegradsfunksjon...
DetaljerOppgaver. Innhold. Funksjoner Vg1P
Oppgaver Innhold Innhold... 1 Modul 1. Funksjonsbegrepet... Modul. Lineære funksjoner... 6 Modul 3. Mer om lineær vekst... 10 Modul 4. Andregradsfunksjoner... 13 Modul 5. Andre funksjoner... 16 Polynomfunksjoner...
DetaljerEksamen 1T våren 2016 løsning
Eksamen T våren 06 løsning Oppgave ( poeng) Regn ut og skriv svaret på standardform,8 0 0,0005,8 0,8 0 3,6 0 0,5 0 0,5 3 3 5 Oppgave (3 poeng) A B C D E F G H I J K L På tallinjen ovenfor er det merket
DetaljerSammendrag R2. www.kalkulus.no. 31. mai 2009
Sammendrag R2 www.kalkulus.no 31. mai 2009 1 1 Trigonometri Definisjon av sinus og cosinus Sirkelen med sentrum i origo og radius 1 kalles enhetssirkelen. La v være en vinkel i grunnstilling, og la P være
DetaljerR2 eksamen høsten 2017 løsningsforslag
R eksamen høsten 017 løsningsforslag DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (5 poeng) Deriver funksjonene a) f x sin3x f x cos3x 3 6cos3x sin x x sin x x sin x x x cos x sin x g x x x b) gx h x x cos x c) h
DetaljerDEL 1. Uten hjelpemidler. Oppgave 1 (3 poeng) Oppgave 2 (3 poeng) Oppgave 3 (4 poeng) Oppgave 4 (4 poeng) Deriver funksjonene. b) g( x) 5e sin(2 x)
DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (3 poeng) Deriver funksjonene a) f( x) cos(3 x) x b) g( x) 5e sin( x) Oppgave (3 poeng) Bestem integralene a) b) 3 ( )d e 1 x x x x ln x dx Oppgave 3 (4 poeng) a) Løs
DetaljerEksamen MAT1013 Matematikk 1T Høsten 2014
Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Høsten 01 Oppgave 1 (1 poeng) Regn ut og skriv svaret på standardform 50000000000,0005 10 10 ( ) 6 7,510 5,010,55,010 1,510 1,510 Oppgave (1 poeng) Løs likningen 16 lg lg16
DetaljerEksamen R2 Høsten 2013
Eksamen R2 Høsten 203 Tid: 2 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave (3 poeng) Deriver funksjonene a) f 5cos b) g sin 2 Oppgave 2 (3
DetaljerIntegralregning. ) dx KATEGORI Antiderivert. 1.2 Ubestemt integral
Integralregning KATEGORI. Antiderivert Oppgave. En bil passerer et målepunkt ved tidspunktet t =. Bilen har da arten m/s. Etter t sekunder har bilen arten v(t) =,t + Finn arten etter ) s ) s b) Vis at
DetaljerFunksjoner 1T, Prøve 1 løsning
Funksjoner 1T, Prøve 1 løsning Del 1 Tid: 60 min Hjelpemidler: Skrivesaker Oppgave 1 Figuren viser utviklingen i en populasjon av harer på en øy fra 1880 til 000. a) Hvor mange harer var det på øya i 1880?
DetaljerTRIGONOMETRI KRISTIN LÅGEIDE OG THEA-KAROLINE NOMERSTAD
TRIGONOMETRI KRISTIN LÅGEIDE OG THEA-KAROLINE NOMERSTAD Abstract. Oppgaven tar for seg utvalgte temaer innenfor trigonometri, og retter seg mot lærere som skal undervise i fagene 1T og R2. Date: May 7,
DetaljerEksempeloppgave 2014. REA3024 Matematikk R2 Eksempel på eksamen våren 2015 etter ny ordning. Ny eksamensordning. Del 1: 3 timer (uten hjelpemidler)
Eksempeloppgave 014 REA04 Matematikk R Eksempel på eksamen våren 015 etter ny ordning Ny eksamensordning Del 1: timer (uten hjelpemidler) Del : timer (med hjelpemidler) Minstekrav til digitale verktøy
DetaljerEksamen REA3024 Matematikk R2. Nynorsk/Bokmål
Eksamen 29.11.2011 REA302 Matematikk R2 Nynorsk/Bokmål Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på Del 1: Hjelpemidler på Del 2: 5 timer: Del 1 skal leveres inn etter 2 timer. Del 2 skal leveres
DetaljerFunksjoner oppgaver. Innhold. Funksjoner R1
Funksjoner oppgaver Innhold 3.1 Funksjoner... 3. Kontinuitet, grenseverdier og asymptoter til funksjoner... 3 Grenseverdier... 3 Rasjonale funksjoner og asymptoter... 6 Kontinuitet... 8 Funksjoner med
DetaljerEksamen R2, Høsten 2015, løsning
Eksamen R, Høsten 05, løsning Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave (4 poeng) Deriver funksjonene a) f( ) 5cos( ) f 5 sin 0sin
DetaljerOppgaver i funksjonsdrøfting
Oppgaver i funksjonsdrøfting To av oppgavene er merket med *. Det betyr at de er ekstra interessante. Oppgave 1 Gitt funksjonen f(x) = x + 4. a) Finn nullpunktene til funksjonen. b) Bruk definisjonen på
DetaljerDel 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.
Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.
DetaljerFasit. Funksjoner Vg1T. Innhold
Fasit Innhold 4.1 Funksjonsbegrepet... 4. Lineære funksjoner... 6 4.3 Andre funksjoner... 15 Andregradsfunksjoner... 15 Polynomfunksjoner... 18 Rasjonale funksjoner... 19 Potensfunksjoner og eksponentialfunksjoner...
DetaljerEksamen AA6524 Matematikk 3MX Elevar/Elever AA6526 Matematikk 3MX Privatistar/Privatister. Nynorsk/Bokmål
Eksamen 05.12.2007 AA6524 Matematikk 3MX Elevar/Elever AA6526 Matematikk 3MX Privatistar/Privatister Nynorsk/Bokmål Oppgave 1 a) Deriver funksjonen: f x 2 ( ) = cos( x + 1) b) Løs likningen og oppgi svaret
DetaljerS1 eksamen våren 2017 løsningsforslag
S1 eksamen våren 017 løsningsforslag Tid: 3 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (5 poeng) Løs likningene a) x 5x 0 xx ( 5) 0 x 0 x 5 0
DetaljerFunksjoner løsninger. Innhold. Funksjoner S1
Funksjoner løsninger Innhold.1 Funksjoner.... Lineære funksjoner... 9 Ettpunktsformelen... 18 Skjæringspunkt mellom rette linjer. Nullpunkt for en funksjon... 3.3 Andregradsfunksjon... 8.4 Tredjegradsfunksjon...
DetaljerLøsningsforslag. Innhold. Funksjoner i praksis Vg2P
Løsningsforslag Innhold Modul 1: Lineære funksjoner... Modul : Andregradsfunksjoner... 1 Modul 3: Tredjegradsfunksjoner... 6 Modul 4: Potensfunksjoner og rotfunksjoner... 3 Modul 5: Eksponentialfunksjoner...
DetaljerDel 1. 3) Øker eller minker den momentane veksthastigheten når x = 1? ( )
Del Oppgave a) Deriver funksjonen f( x) = x cos( x) b) Deriver funksjonen ( ) ( 4 x f x = e + ) c) Gitt funksjonen f( x) = x 4x + x+ ) Ligger grafen over eller under x-aksen når x =? ) Stiger eller synker
DetaljerDEL 1 Uten hjelpemidler
DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (5 poeng) Deriver funksjonene a) f( x) 3sin x cos x b) c) g( x) x cosx cos x h( x). Skriv svaret så enkelt som mulig. 1 sin x Oppgave (4 poeng) Bestem integralene a) b)
DetaljerEksamen MAT1015 Matematikk 2P Va ren 2015
Eksamen MAT1015 Matematikk P Va ren 015 Oppgave 1 ( poeng) Dag Temperatur Mandag 4 C Tirsdag 10 C Onsdag 1 C Torsdag 5 C Fredag 6 C Lørdag Tabellen ovenfor viser hvordan temperaturen har variert i løpet
DetaljerFunksjoner S1, Prøve 1 løsning
Funksjoner S1, Prøve 1 løsning Del 1 Tid: 60 min Hjelpemidler: Skrivesaker, passer og linjal. Oppgave 1 Gitt funksjonen 3 f 3. a) Bestem koordinatene til skjæringspunktet mellom grafen til f og y-aksen.
DetaljerR2 - Trigonometri
R - Trigonometri - 17.11.016 Del I - Uten andre hjelpemidler enn lommeregner Oppgave 1 Gjør om vinklene til radianer: a) 18 b) 33 (Regn eksakt!) a) 18 18 b) 33 33 11 180 10 180 60 Oppgave Gjør om vinklene
DetaljerEksamen REA3024 Matematikk R2
Eksamen 03.1.009 REA304 Matematikk R Nynorsk/Bokmål Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på Del 1: Hjelpemidler på Del : Bruk av kilder: Vedlegg: Framgangsmåte: Veiledning om vurderingen:
DetaljerOppfriskningskurs i matematikk 2008
Oppfriskningskurs i matematikk 2008 Marte Pernille Hatlo Institutt for matematiske fag, NTNU 4.-9. august 2008 Velkommen! 2 Temaer Algebra Trigonometri Funksjoner og derivasjon Integrasjon Eksponensial-
DetaljerSammendrag kapittel 9 - Geometri
Sammendrag kapittel 9 - Geometri Absolutt vinkelmål (radianer) Det absolutte vinkelmålet til en vinkel v, er folholdet mellom buelengden b, og radien r. Buelengde v = b r Med v i radianer! b = r v Omregning
DetaljerTerminprøve R2 våren 2014
Terminprøve R2 våren 2014 Magne A. Myhren 30. april 2014 Delprøve 1 må leveres etter 2 timer. Det er da lov å benytte seg av hjelpemidler. Oppgavesettet er på totalt 12 oppgaver fordelt på 6 sider. Kontroller
Detaljer, men det blir svært tungvindt her.) 3 xe3x 1 9 e3x C 1 9 e3x 3x 1 C
Oppgave a) Deriver funksjonene: ) fx x sinx uv u v uv gir: f x x sinx x cosx x sinx x cosx ) gx sinx sinxcosx sinx, x k cosx cosx g x cosx (x k) (Kan også bruke u v u vuv, men det blir svært tungvindt
DetaljerDEL 1 Uten hjelpemidler
DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 ( poeng) Løs likningssystemet 5x y x y 9 Oppgave ( poeng) Skriv så enkelt som mulig x x x 1 Oppgave 3 ( poeng) Løs ulikheten x x 3 10 Oppgave 4 ( poeng) Løs likningen
DetaljerR1 eksamen høsten 2015 løsning
R1 eksamen høsten 15 løsning Løsninger laget av Tid: 3 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (5 poeng) Deriver funksjonene a) f
DetaljerOppgaver. Innhold. Funksjoner Vg1T. Innhold
Oppgaver Innhold Innhold 4.1 Funksjonsbegrepet... 4. Lineære funksjoner... 10 4.3 Andre funksjoner... 18 Polynomfunksjoner... 1 Rasjonale funksjoner... Potensfunksjoner og eksponentialfunksjoner... 3 4.4
DetaljerStudieretning: Allmenne, økonomiske og administrative fag
Eksamen Fag: AA6526 Matematikk 3MX Eksamensdato: 3. mai 2005 Vidaregåande kurs II /Videregående kurs II Studieretning: Allmenne, økonomiske og administrative fag Privatistar / Privatister Oppgåva ligg
DetaljerModellering oppgaver. Innhold. Modellering Vg2
Modellering oppgaver Innhold Modul 1: Lineære modeller og lineær regresjon... 2 Modul 2: Potensfunksjon som modell... 5 Modul 3: Eksponentialfunksjon som modell... 6 Modul 4: Polynomfunksjon som modell...
DetaljerLøsningsforslag Matematikk 2MX - AA mai 2006
Løsningsforslag Matematikk 2MX - AA6516-3. mai 2006 eksamensoppgaver.org September 21, 2008 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 2MX er gratis, og det er lastet ned på eksamensoppgaver.org.
DetaljerLøsningsforslag R2 Eksamen Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik
Løsningsforslag R2 Eksamen 6 Vår 3.05.20 Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Sammendrag De fleste forlagene som gir ut lærebøker til den videregående skolen, gir ut løsningsforslag til tidligere
DetaljerR2 eksamen våren 2017 løsningsforslag
R eksamen våren 07 løsningsforslag DEL Uten hjelpemidler Oppgave (5 poeng) Deriver funksjonene a) f 3sin cos f 3cos sin 3cos sin b) g cos uv uv uv der u og v cos Vi bruker produktregelen for derivasjon
DetaljerEksempeloppgave 1T, Høsten 2009
Eksempeloppgave 1T, Høsten 009 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 ( poeng) a) Bruk opplysningene nedenfor til å finne
DetaljerHELDAGSPRØVE. Fredag 9 Mai Løsningsskisse (versjon )
HELDAGSPRØVE Oppgave Fredag 9 Mai 4 Løsningsskisse (versjon 4.5.8) a) Deriver funksjonen fx cosx Kjerneregel: fu cosu, u x f x sinu x x sinx b) Bestem integralet x lnx dx Delvis integrasjon: u x u x 4
DetaljerLøsningsskisser eksamen R
R 9.. Løsningsskisser eksamen R 9.. Del - Uten hjelpemidler Oppgave a) ) Produktregel: f x e x xe x e x x ) Kjerneregel: g x sin u, u x g x cosu cosx ) Kjerneregel: h x u, u sin x h x u cosx sin x cosx
DetaljerHeldagsprøve R2. Våren Onsdag 6. Mai Løsningsskisser - Versjon Del 1 - Uten hjelpemidler - 3 timer. Oppgave 1.
Heldagsprøve R Våren 015 Onsdag 6. Mai 09.00-14.00 Løsningsskisser - Versjon 1.05.15 Del 1 - Uten hjelpemidler - timer Oppgave 1 Deriver funksjonene: a) fx tanx Kjerneregel: fx tanu, u x f 1 x cos u x
Detaljer1T eksamen våren 2018 løsningsforslag
1T eksamen våren 018 løsningsforslag DEL 1 Uten hjelpemidler Tid: Del 1 skal leveres inn etter timer. Hjelpemidler: Del 1 Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler. Oppgave 1
DetaljerLøsninger. Innhold. Funksjoner Vg1P
Løsninger Innhold Innhold... 1 Modul 1. Funksjonsbegrepet... Modul. Lineære funksjoner... 9 Modul 3. Mer om lineær vekst... 16 Modul 4. Andregradsfunksjoner... 5 Modul 5. Andre funksjoner... 30 Polynomfunksjoner...
DetaljerEksamen REA3024 Matematikk R2. Nynorsk/Bokmål
Eksamen 30..00 REA304 Matematikk R Nynorsk/Bokmål Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på Del : Hjelpemidler på Del : Framgangsmåte: 5 timer: Del skal leveres inn etter timer. Del skal
DetaljerLøsningsforslag. Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver teller like mye.
Eksamen i FO929A - Matematikk Dato: 2013 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 5 (20 deloppgaver) Antall sider: 3 Vedlegg: Formelsamling Hjelpemiddel: Kalkulator Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver teller
DetaljerEksamen MAT1013 Matematikk 1T Våren 2013
DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (1 poeng) Regn ut og skriv svaret på standardform 750 000 0,005 5 7,510 7,5 5 3 8 3 10 1,5 10 510 5 Oppgave (1 poeng) Løs likningssystemet x3y7 5xy8 Velger å løse likningen
DetaljerEKSAMENSSAMARBEIDENDE FORKURSINSTITUSJONER
EKSAMENSSAMARBEIDENDE FORKURSINSTITUSJONER Forkurs for ingeniørutdanning og maritim høgskoleutdanning Universitetet i Stavanger, Universitetet i Tromsø, Høgskolen i Buskerud, Høgskulen i Sogn og Fjordane,
Detaljer1T eksamen våren 2017 løsningsforslag
1T eksamen våren 017 løsningsforslag Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 ( poeng) Regn ut og skriv svaret på standardform 0,710 6010
DetaljerS1 eksamen våren 2016 løsningsforslag
S1 eksamen våren 016 løsningsforslag Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (4 poeng) Løs likningene a) x x 0 4 1 x 1 9 8 x 1 x x 1
Detaljer4 Differensiallikninger R2 Oppgaver
4 Differensiallikninger R2 Oppgaver 4.1 Førsteordens differensiallikninger... 2 4.2 Modellering... 7 4.3 Andreordens differensiallikninger... 13 Aktuelle eksamensoppgaver du finner på NDLA... 16 Øvingsoppgaver
DetaljerLøsningsforslag til underveisvurdering i MAT111 vår 2005
Løsningsforslag til underveisvurdering i MAT111 vår 5 Beregn grenseverdien Oppgave 1 (x 1) ln x x x + 1 Svar: Merk at nevneren er lik (x 1), så vi kan forkorte (x 1) oppe og nede og får (x 1) ln x ln x
Detaljer1T eksamen høsten 2017 løsning
1T eksamen høsten 017 løsning Tid: 3 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 ( poeng) Regn ut og skriv svaret på standardform. 105000 0,15
Detaljer1 Geometri R2 Oppgaver
1 Geometri R2 Oppgaver Innhold 1.1 Vektorer... 2 1.2 Regning med vektorer... 15 1.3 Vektorer på koordinatform... 19 1.4 Vektorprodukt... 22 1.5 Linjer i rommet... 27 1.6 Plan i rommet... 30 1.7 Kuleflater...
DetaljerLøsningsforslag for Eksamen i Matematikk 3MX - Privatister - AA6526 16.05.2008. eksamensoppgaver.org
Løsningsforslag for Eksamen i Matematikk 3MX - Privatister - AA656 16.05.008 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for eksamen i matematikke 3MX er gratis, og
DetaljerLøsningsforslag AA6524 Matematikk 3MX 3. juni 2005. eksamensoppgaver.org
Løsningsforslag AA654 Matematikk 3MX 3. juni 005 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 3MX er gratis, og det er lastet ned på eksamensoppgaver.org.
DetaljerEksempeloppgave 2008. REA3024 Matematikk R2. Bokmål
Eksempeloppgave 008 REA04 Matematikk R Bokmål Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på Del : Hjelpemidler på Del : Bruk av kilder: Vedlegg: Framgangsmåte: Veiledning om vurderingen: 5 timer:
DetaljerOppgavesamling. Innhold. Funksjoner Vg1T Y
Oppgavesamling Innhold 4.1 Funksjonsbegrepet... 4. Lineære funksjoner... 8 4.3 Andre funksjoner... 17 4.4 Vekstfart... 0 4.5 Eksamensoppgaver... 4 Noen av oppgavene er merket med symbolet Disse oppgavene
DetaljerHeldagsprøve i matematikk. Svar og løsningsforslag
Heldagsprøve i matematikk Svar og løsningsforslag Mandag 19. desember 005 Forkurset, Høgskolen i Oslo Tillatte hjelpemidler: Lommeregner. Formelsamling i matematikk. Tid: 5 klokketimer Alle svar må være
DetaljerEksamen i FO929A Matematikk Underveiseksamen Dato 30. mars 2007 Tidspunkt Antall oppgaver 4 Sirkelskive i radianer.
Eksamen i FO99A Matematikk Underveiseksamen Dato 30. mars 007 Tidspunkt 09.00-14.00 Antall oppgaver 4 Vedlegg Tillatte hjelpemidler Sirkelskive i radianer Godkjent kalkulator Godkjent formelsamling Oppgave
DetaljerForkurs, Avdeling for Ingeniørutdanning
Eksamen i FO99A Matematikk Ordinær Eksamen Dato 8. mai 8 Tidspunkt 9. - 14. Antall oppgaver 4 Vedlegg Formelsamling Tillatte hjelpemidler Godkjent kalkulator Løsningsforslag Oppgave 1 Deriver følgende
DetaljerPrøve i R2 Integrasjonsmetoder
Del 1 Hjelpemidler: ingen 1 Oppgave 1 Prøve i R Integrasjonsmetoder Caspar W. Hatlevik 19. oktober 1 Finn de ubestemte integralene og regn ut det bestemte integralet a. x + x + 1dx b. e 4x + x dx c. 1
DetaljerDel 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.
Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.
DetaljerEksamen 1T våren 2015 løsning
Eksamen T våren 05 løsning Tid: 3 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave ( poeng) Regn ut og skriv svaret på standardform 5 7,5 0 0,003
DetaljerR2 kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka
R kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka E Bruker formelen cos 36 cos( 8 ) E sin 8 v og sin8 5 cos v sin sin8 5 5 6 5 5 8 5 5 8 6 5 8 6 5 8 8 3 5 5 5 a f ( ) sin 5 cos f ( ) 5cos
DetaljerEksamen REA3024 Matematikk R2. Nynorsk/Bokmål
Eksamen 28.11.2014 REA3024 Matematikk R2 Nynorsk/Bokmål Nynorsk Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemiddel på Del 1: Hjelpemiddel på Del 2: 5 timar: Del 1 skal leverast inn etter 2 timar. Del 2 skal
DetaljerHeldagsprøve R2 - Våren
Heldagsprøve R - Våren 07-0.05.7 Løsningsskisser (versjon.05.7) Del - Uten hjelpemidler - timer Oppgave Deriver funksjonene: a) fx x ln x b) gx sinln x c) hx x cos x a) Produktregel: f x ln x x x ln x
DetaljerDEL 1 Uten hjelpemidler
DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 ( poeng) Regn ut og skriv svaret på standardform 10 5 000 0,15 Oppgave ( poeng) Løs likningen grafisk 1 1 9 x x Oppgave 3 ( poeng) Løs ulikheten x x 1 0 Oppgave 4 ( poeng)
DetaljerR2 - K4: Funksjoner. I Deriver de trigonometriske funksjonene: a) f x sinx x b) f x sin 2 x c) f x sinxtanx d) f x sin x. II Gitt funksjonen f x sin x
R2 - K4: Funksjoner 19.02.10 Løsningsskisser I Deriver de trigonometriske funksjonene: a) fx sinx x b) fx sin 2 x c) fx sinxtanx d) fx sin x 2cos x a) f x cosx 1 b) Kjerneregel: fx u 2, u sinx f x 2u cosx
DetaljerMatematikk 1 Første deleksamen. Løsningsforslag
HØGSKOLEN I ØSTFOLD, AVDELING FOR INFORMASJONSTEKNOLOGI Matematikk Første deleksamen 4. juni 208 Løsningsforslag Christian F. Heide June 8, 208 OPPGAVE a Forklar kortfattet hva den deriverte av en funksjon
DetaljerEksamen 1T våren 2016
Eksamen 1T våren 016 Oppgave 1 (1 poeng) Regn ut og skriv svaret på standardform 1 1,8 10 0,0005 Oppgave (3 poeng) A B C D E F G H I J K L På tallinjen ovenfor er det merket av 1 punkter. Hvert av tallene
DetaljerI Katalog velger du: Ny eksamensordning i matematikk våren 2015
CAS teknikker H-P Ulven 10.12.2014 Innledning Våren 2015 gjelder nye regler for bruk av digitale hjelpemidler: Når det står "Bruk CAS", så må kandidaten bruke CAS, og når det står "Bruk graftegner", så
DetaljerEksamen REA3024 Matematikk R2. Nynorsk/Bokmål
Eksamen 3.05.0 REA304 Matematikk R Nynorsk/Bokmål Nynorsk Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemiddel på Del : Hjelpemiddel på Del : 5 timar: Del skal leverast inn etter timar. Del skal leverast inn
DetaljerLøsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX - 5. mai eksamensoppgaver.org
Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX - 5. mai 2004 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 2MX er gratis, og det er lastet ned på eksamensoppgaver.org.
DetaljerDel 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.
Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.
Detaljer