R2 Eksamen V

Transkript

1 R V011 R Eksamen V Del 1 - Uten hjelpemidler Oppgave 1 a) 1) Kjerneregel: fx sin u, u x f x cosu 4 cosx ) Produktregel (og kjerneregel på cosx): g x x cosx x sin x xcosx x sin x ) Kjerneregel: hx 1 u, u x 4x h x 1 1 x 4 x u x 4x 1) Delvis integrasjon: xe x dx xe x e x dx xe x e x C x 1e x C ) Delbrøkoppspaltningen 5x x 9 x x gir: 5x dx x 9 x ln x x C dx x dx ln x ln x C (Kontroller integrasjoner ved å derivere svaret og se om du kommer tilbake til utgangspunktet.) c) Sirkelligning: x y 1 y 1 x Øverste halvdel av sirkelen er funksjonen fx 1 x x dx er arealet avgrenset av øverste halvdelen av sirkelen og x-aksen, altså halvparten av sirkelarealet; x dx 1 d) 1) a b 0 a b Lag figur med to vektorer som står normalt på hverandre. Bør også nevne at hvis en eller begge vektorene er 0, H-P Ulven av 8 R_V11_ls.tex

2 R V011 er også ligningen oppfyllt. (Null-vektorer "har alle retninger".) ) a b 0 a b Lag figur med to parallelle vektorer. (Også her kan en eller begge være null-vektorer.) e) AB 1,, 4, AC, 1, AB AC e x e y e z , 5, 5 AB AC AB AB AC AB 0 : AB AC AB 10, 5, 5 1,, AB AC AC AB AC AC 0 : AB AC AC 10, 5, 5, 1, f) n 1 : VS 1, HS OK n n 1 : Må vise at S n1 4n1 1 44n 1 S n1 S n a n1 4n 1 4 n 4n 14 n 44n 1 OK Oppgave a) Kan løses med integrerende faktor eller separasjon. y Separasjon gir: y 1 og vi har: dx 1dx 5y 5y Variabelskifte (kjerneregel) gir: 1 dy 1dx 1 ln 5 y x C 5y 1 ln 5 y x C 5 y e xc 5 y C e x y Ce x 5 (Generell løsning.) 1) y0 Ce 0 5 C 5 9 y 9 ex 5 (Spesiell løsning.) ) y 49 9 ex 5 x ln e x 6 x ln 6 H-P Ulven av 8 R_V11_ls.tex

3 R V011 c) y 0 5 y0 5 9 Ett-punktsformel: y 9x 0 y 9x Pass på å bruke y 5 y her, istedenfor å derivere y 9 ex 5! (Kan eventuelt derivere på kladd for å kontrollere at ting stemmer.) Del - Med hjelpemidler Oppgave a) Ggb: f(x)funksjon[*sqrt(x)*e ^(-x/),0,4] Produktregel gir: f x 1 x e x x e x 1 e x 1 x x f x 0 1 x x 0 1 x x x r f e 1 e 6 e Maks. diameter: r. 97 V 0 4 f xdx xe x dx Delvis integrasjon: x xe dx x 1 x e 1 x x e 4 e x 1 x C x e dx x x e x e C x x e 9 x e C 4 V x e x 4 x 4 0 e x e 8 11 e 0 9 e 8 11e Sjekk av svar: GGB: integral[pi*f(x) ^,0,4] LR: fnint(y1 ^,X,0,4) e x dx H-P Ulven av 8 R_V11_ls.tex

4 R V011 Oppgave 4 a) 1) Likeformede trekanter og forholdstall gir oss at: A 1 B 1 AB, A B A 1B 1, A B A B,... Arealene blir, med AB a og BC b: a 1 A ABB1 A 1 AB A 1 B 1 BC a a b 8 ab a A A1 B 1 B A a a 4 b 4 ab... a n A An1 B n1 B na n 1 1 n n a n1 a ab n1 n b n n1 ab 1 Utregnet med AB a 8 og BC b 16: a a a a n n1 n1 1 1 n1 n ) Geometrisk rekke med a 1 48 og kvotient k k 1 : Rekken konvergerer. n1 ab S a 1 1k Geometrisk må den uendelige summen til slutt fylle ut hele trekanten ABC, så: S A ABC ABBC Oppgave 5 a) Linje l gjennom 5,, 4 med retningsvektor r l, 1, Skjæring xy-plan, A: z t t x 5 9, y 1 A 9, 1, 0 Skjæring xz-plan, B: y 0 0 t t x 5 11, z 4 B 11, 0, Avstand: AB,1, 1 H-P Ulven av 8 R_V11_ls.tex

5 R V011 Kunne regnet ut avstanden direkte uten å regne ut punktene, "tidsdifferansen" er t 1 Beveger seg i dette intervallet en retningsvektor, så avstanden blir r l 1 Regningsvektor for m: r m 1,1, 1 Nokså åpenbart at r m ikke er parallell med r l, men kan sjekke med vektorprodukt: r l r m, 1, 1,1, 1, 4, 1 Da vektorproduktet ikke er 0 er ikke retningsvektorene (eller linjene) parallelle. (Vektorproduktet har en lengde som lik arealet av utspendt parallellogram og dette arealet er null hvis vektorene er parallelle.) c) PQ x Q x P, y Q y P, z Q z P s5 t, 1 s t, 1 s4 t st 5,st, st QED d) PQ l PQr l 0 st 5,st, st, 1, 0 s9t I PQ m PQr m 0 st 5,st, st 1,1, 1 0 st 6 II Løser I og II: s, t 0 I dette tilfelle har vi: P 5 0, 0, 4 0 5,, 4 Q, 1, 1,1, og PQ,4,1 (Egentlig bare PQ vi trenger, så uklart hvorfor vi skal gå veien om P og Q...) e) Når PQ,4,1 står normalt på begge linjene er avstanden lik lengden av PQ: a PQ c), d) og e) viser den klønete og tungvindte måten å regne ut denne avstanden på. I praksis bruker vi formelen som gir avstanden som projeksjonen av en vilkårlig vektor PQ på normalvektoren som vi lager som vektorprodukt av retningsvektorene: a PQr lr m r l r m Velger t 0 og får et punkt P 5,, 4. Velger m 0 og får et punkt Q 0, 1, 1. Da har vi en PQ 5,, H-P Ulven av 8 R_V11_ls.tex

6 R V011 r l r m, 1, 1,1, 1, 4, 1 Avstand: a 5,,,4, Kan bruke denne metoden for å kontrollere svaret. Oppgave 6 Igjen en oppgave som bruker derivasjon for å finne ekstremalpunkter på en sinus-funksjon. Bedre å gjøre om til a sinbx c d og finne ekstremalpunkter direkte uten derivasjon, men vi må jo gjøre som de ber om... Helt idiotisk blir det jo i, der ville det også være naturlig å gjøre denne omformingen med den deriverte... a) Ggb: f(x)funksjon[-5 sin(pi/1*x)-5 cos(pi/1*x),0,4] Avlest: Amplitude: 7, periode: 4 Står ikke "ved regning", så mulig å spare tid ved å få feks. GeoGebra til å derivere funksjonen for oss og tegne fortegnslinjer direkte ut fra det grafiske bildet av den deriverte? f x 5 cos x 5 sin x sin 1 x 5 1 cos 1 x For å tegne fortegnslinjer må vi løse f x 0, enten ved å omforme til a sinbx c d eller ved å dividere med cos slik at vi får: tan x 1 x k x k Testing av verdier mellom i intervaller avgrenset av og 15 gir fortegnslinjer: (Eller mener man å bruke grafen? Hva er da vitsen med å tegne fortegnslinjer, da kan man jo lese av ekstremalpunktene like lett som fortegnslinjene?) 15 f x : - - -o o BP :, f,5 4, f4 4,5 (Endepunkt) TP : H-P Ulven av 8 R_V11_ls.tex

7 R V011 15, f15 15, 5 0, f0 0,5 (Endepunkt) c) gx fx, altså fx flyttet oppover. Høyeste temp: [ C], 15 timer etter midnatt. (15:00) Laveste temp: [ C], timer etter midnatt. (0:00) En mer naturlig måte å løse denne oppgaven på, hvis ikke oppgaven hadde bedt oss om å gjøre det på den tungvindte måten: fx 5 5 sin x, der tan 1, Kv 1 Dette gir (eller eventuelt 5 ) 4 4 fx 5 sin x 5 sin x Altså amplitude , likevektslinje 0 Periode: T 4 T 1 Faseforskyving: 8 mot høyre (eller 16 mot venstre) Maksverdi: f max 5 når x k 1 4 x 15 k4 ): x 15 Minverdi: f min 5 når x k 1 4 x 7 k4 ): x Kan gjøre dette på kladd for å kontrollere svarene. Kan også gjøre alt i GeoGebra, da det ikke står at det skal gjøres ved regning... Oppgave 7 a) 1) Produktregel: f x 10xe x 5x e x 1 5x xe x eller 5x x e x QED ) Definisjonsområde: 0, e x x x o f x o H-P Ulven av 8 R_V11_ls.tex

8 R V011 fx voksende for x 0, fx avtagende for x, (, 0 ikke med i definisjonsområdet.) TP, f, 0 e. 00,. 71 (Bunnpunktet BP 0, f0 0, 0 ikke med i definisjonsområdet.) c) Vi bruker: fxdx Fx C F x fx Fx 5x e x 10xe x 10e x C 5x 10x 10e x C Produktregel: F x 10x 10e x 5x 10x 10e x 1 10x 10 5x 10x 10e x 5x e x fx QED d) 0 a fxdx 0 a 5x e x dx 0 a 5x 10x 10e x 5a 10a 10e a 10e 0 5a 10a 10e a 10 lim a 0 a fxdx lima 5a 10a 10e a 10 5 lim a a e a 10 lim a ae a 10 lim a e a (Kan teste svaret ved å gjøre: Ggb: integral[f,0,100] LR: fnint(y1,x,0,100) og se om det blir ca. 10. (Konvergerer ganske raskt.) ) H-P Ulven av 8 R_V11_ls.tex